资料简介
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16/9/21 旋转构图，聚拢条件（1） 姓名：
1.正三角形类型
在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600，使得 AB 与 AC
重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的 PA、PB、PC 三条线段集中于图（1-1-b）中的一
个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP 也为正三角形。
例 1. 图 1-1，设 P 是等边ΔABC 内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，求∠APB 的度数
解：将△APC 绕 A 点逆时针旋转 60°，使得 AC 与 AB 重合并连接 PP’，
2.正方形类型
在正方形 ABCD 中，P 为正方形 ABCD 内一点，将ΔABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 900，使得
BA 与 BC 重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的 PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中
的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
例 2.如图（2-1），P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到正方形的三个顶点 A、B、C 的距离分别为
PA=1，PB=2，PC=3。求∠APB 的度数。
图 2-1
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3.等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC 中， ∠C=900 , P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕 C 点按逆时针方向
旋转 900，使得 AC 与 BC 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP' CP 为等腰直
角三角形。
例 3．如下图，在ΔABC 中，∠ ACB =900，BC=AC，P 为ΔABC 内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2。
求∠ BPC 的度数。
解：
练习：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点 O 为 Rt△ABC 内一点，连接 A0、BO、CO，且
∠AOC=∠COB=BOA=120°，
（1）按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点 B 为旋转中心，将△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转
60°，得到△A′O′B（得到 A、O 的对应点分别为点 A′、O′），
（2）分别求∠A′BC、OA+OB+OC 的大小。
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16/9/23 旋转构图，聚拢条件(2) 姓名：
例 1．如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点，F 是边 AD 上的点，且 FB 平分∠ABE．
求证：BE=AF＋CE．
例 2．如图，正方形 ABCD 中，∠EAF=45, 当∠EAF 绕点 A 旋转时，分别交 BC、CD 于点 E、F，
求证：BE+DF=EF．
【变式 1】 如上图，已知正方形 ABCD 中，∠EAF=45, 当∠EAF 绕点 A 旋转时，分别交 BC、CD
于点 E、F，如果正方形的边长为 1，求△EFC 的周长．
【变式 2】如图 3，设点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上滑动且保持∠EAF=45，AP⊥EF
于点 P，（1）求证：AP=AB， （2）若 AB=5，求ΔECF 的周长。
【变式 3】如图，正方形 ABCD 的边长为 1，BC、CD 上各有一点 E、F，如果△EFC 的周长为 2，
求∠EAF 的度数．
A
B C
D
E
F
A
B C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
图 3
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【变式 4】（09 广州）如图 12，边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF、GH 分割为
四个小矩形，EF 与 GH 交于点 P。
（1）若 AG=AE，证明：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；
【变式 5】（09 山东济宁）如图，在坐标中，边长为 2 的正方形OABC 的两顶点 A 、C 分别在
y 轴、 x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落
在直线 y x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y x 于点 M ，BC 边交 x 轴于点 N .
（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形
OABC 旋转的度数；
（3）设 MBN 的周长为 p ，在旋转正方形OABC
的过程中， p 值是否有变化？请证明你的结论.
O
A
B
C
M
N
y x
x
y
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16/9/23 《图形的旋转》专项练习 1 姓名：
1．如左 1 图，如图 3，等腰直角△ABC 绕直角顶点 A 按逆时针方向旋转 60°后得到△ADE，
且 AB＝1，则 EC 的长为______
2.如左 2 图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿 AD 对折，点 C 落在点 C′的位置，如
果 BC＝2，则 BC′＝ .
3.如左 3 图，在△ABC 中，以 AB、AC 为边分别作正方形 ADEB、ACGF，连接 DC、BF，
则 CD 与 BF 的关系是( ).
(A)相等但不垂直 (B)垂直但不相等 (C)相等且垂直 (D)没有任何关系
4．如左 4 图,四边形 ABCD 中，∠BAD=∠C=90º，AB=AD，AE⊥BC 于 E，若线段 AE=5，
则 S 四边形 ABCD＝ 。
5．如下中图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，△ABC 以点 C 为中心旋转到△A′B′C
的位置，使 B 在斜边 A′B′上，A'C 与 AB 相交于点 D，求∠ADC 的度数．
6．如图，△ABC 的直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与△ACP′重合，
如果 AP=3，求 PP′的长．
E
D
CB
A
6
7．如左 1 图图，在正方形 ABCD 中，AD=1，将△ABD 绕点 B 顺时针旋转 45°得到△A′BD′，此
时 A′D′与 CD 交于点 E，则 DE 的长度为 ．
8．如左 2 图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45°后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1
与 CD 交于点 O，则四边形 AB1OD 的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如左 3 图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C 可以由△ABC 绕点 C
顺时针旋转得到，其中点 A′与点 A 是对应点，点 B′与点 B 是对应点，连接 AB′，且 A、B′、
A′在同一条直线上，则 AA′的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．3
10．如左 4 图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°
到△AB′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为（ ）
A． 2﹣ B． C． ﹣1 D．1
11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 n 度后，
得到△DEC，点 D 刚好落在 AB 边上．
（1）求 n 的值；
（2）若 F 是 DE 的中点，判断四边形 ACFD 的形状，并说明理由．
12．如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至△DBE 后，再
把△ABC 沿射线平移至△FEG，DE、FG 相交于点 H．
（1）判断线段 DE、FG 的位置关系，并说明理由；
（2）连结 CG，求证：四边形 CBEG 是正方形．
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