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第 16 题、 导数综合 1.已知函数 y=f(x)为 R 上的奇函数,满足 f'(x)>﹣2,则不等式 f(x﹣1)<x2(3﹣ 2lnx)+3(1﹣2x)的解集为 (0,1) . 【解答】解:设 g(x)=f(x﹣1)﹣x2(3﹣2lnx)﹣3(1﹣2x),其定义域为(0,+∞), 则 g′(x)=f′(x﹣1)+4xlnx﹣4x+6, 设 h(x)=4xlnx﹣4x+6,则 h′(x)=4lnx, 由 h′(x)>0 得 x>1, 由 h′(x)<0 得 0<x<1, 即当 x=1 时,函数 h(x)取得极小值同时也是最小值 h(1)=2, ∵f′(x﹣1)>﹣2,h(x)≥2, ∴g′(x)=f′(x﹣1)+h(x)>﹣2+2=0, 即 g(x)在(0,+∞)上为增函数, 则当 x=1 时,g(1)=f(1﹣1)﹣12(3﹣2ln1)﹣3(1﹣2)=0, 则不等式 f(x﹣1)<x2(3﹣2lnx)+3(1﹣2x)等价为 g(x)<0,即 g(x)<g(1), 又 x>0, 则 0<x<1, 即不等式 f(x﹣1)<x2(3﹣2lnx)+3(1﹣2x)的解集是(0,1), 故答案为:(0,1). 2.设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f'(x),对任意的实数 x 都有 f(x)=f(﹣x)+2x,当 x>0 时,f'(x)>2x+1.若 f(a+1)≥f(﹣a)+2a+1,则实数 a 的取值范围是 [ , +∞) . 【解答】解:设 g(x)=f(x)﹣x, 则 g(x)﹣g(﹣x)=f(x)﹣x﹣[f(﹣x)+x]=0, ∴g(x)=g(﹣x),∴g(x)是偶函数, 当 x>0 时,g′(x)=f′(x)﹣1, 而 f'(x)>2x+1,则 g′(x)=f′(x)﹣1>2x>0, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数, ∵f(a+1)≥f(﹣a)+2a+1, ∴f(a+1)﹣(a+1)≥f(﹣a)﹣(﹣a), 即 g(a+1)≥g(﹣a), ∴|a+1|≥|﹣a|, 即 a , 故答案为:[ ,+∞). 3.已知函数 f(x)=alnx x2+bx 存在极小值,且对于 b 的所有可能取值,f(x)的极小值 恒大于 0,则 a 的最小值为 ﹣e3 . 【解答】解:函数的定义域为(0,+∞), 则函数的导数 f′(x) x+b, 若函数 f(x)=alnx x2+bx 存在极小值, 则 f′(x) x+b=0 有解, 即﹣x2+bx+a=0 有两个不等的正根, 则 △ 香 > > > ,得 b>2 ,(a<0), 由 f′(x)=0 得 x1 香 ,x2 香 , 分析易得 f(x)的极小值点为 x1, ∵b>2 ,(a<0), ∴x1 香 香∈ (0, ), 则 f(x)极小值=f(x1)=alnx1 x12+bx1=alnx1 x12+x12﹣a=alnx1 x12﹣a, 设 g(x)=alnx x2﹣a,x ∈ (0, ), f(x)的极小值恒大于 0 等价为 g(x)恒大于 0, ∵g′(x) x <0, ∴g(x)在(0, )上单调递减, 故 g(x)>g( )=aln a≥0, 得 ln ,即﹣a≤e3,则 a≥﹣e3, 故 a 的最小值为是﹣e3, ,即为 ax3﹣6x2+2=0 【解答】解:由题意可得 f(x)=0, 值范围是 (4,+∞) . 6.已知函数 f(x)=ax3﹣6x2+2,若函数 f(x)存在唯一零点 x0,且 x0<0,则实数 a 的取 故选:C. , 香 由于存在 x0 使得 f(x0)≤b,则 f(x)min≤b,即 b . 香 曲线之间最小的距离,故 f(x)min=d2 即为直线与 ݐ 则 M(1,0),所以点 M(1,0)到直线 y=2x 的距离 d ,令 y′=2,解得 x=1,此时 y=2ln 1=0, 离的最小值,由 y=2ln x 求导可得 y′ P 在曲线 y=2ln x 上,点 Q 在直线 y=2x 上,问题转化为直线上的点到曲线上的点的距 【解答】解:函数 f(x)可以看作动点 P(x,ln x2)与点 Q(a,2a)的距离的平方,点 D.1 香 C. B. A. 成立,则实数 b 的最小值为( ) R,存在 x0 使得 f(x0)≤b ∈ 5.设函数 f(x)=(x﹣a)2+(ln x2﹣2a)2,其中 x>0,a 故选:D. 即为所求. 香 ,即 ,所以 所以 g(x)> , → 故 g(x)是增函数,又因为当 x→0 时, , > ݐ 쳌ݐ ݐ (x>0),∵ 令 g(x) (x>0)恒成立. 即 (0,+∞)上恒成立即可. 显然 x=1 是 f′(x)的变号零点,即为原函数的极值点,所以只需 ex﹣2t(x+2)≥0 在 . ݐ ݐ ݐ 쳌ݐ 香 【解答】解:由已知得 ∞, ݐ D. 香 , C. ∞, ݐ B. 香 ∞, ݐ A. 恰有一个极值点为 1,则 t 的取值范围是( ) ݐሺ 4.已知 f(x) 故答案为:﹣e3. . 或 < < ሺ 或 ሺ 故答案为: . 或 < < ሺ 或 ሺ 由临界分析得: ; ሺ ,l4 的斜率为 ,l3 的斜率为 ሺ ,l2 的斜率为 同时 l3 也符合题意,而 l1 的斜率为 可得直线 y=ax 应在图中虚线 l1 和 l2 之间,虚线 l4 和 x 轴之间(包括直线 l4 和 x 轴), 示, y=f(x)与 y=ax 有两个不同交点,如图所 ⇔ 而 g(x)=f(x)﹣ax 有两个不同的零点 , < , ሺ < , ሺ ݐ 所以 , ሺ ݐ ݐ [3,9)时, ∈ ,当 x ݐ ݐ ݐ ݐ 【解答】解:∵ . . 或 < < ሺ 或 ሺ 函数 g(x)=f(x)﹣ax 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 [1,3),f(x)=lnx,若在区间[1,9)内, ∈ 7.已知函数 f(x)满足 f(x)=f(3x),当 x 故答案为:(4,+∞). 由题意 可得当 a>4 时,f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0<0, 作出 g(x)的图象,可得 g(x)的极大值为 g(1)=4, 当﹣1<x<0,0<x<1 时,g(x)递增. 可得 x<﹣1,x>1 时,g(x)递减; , 香 香 ݐݐ g′(x) , ,令 g(x) 可得 a 8.已知函数 f(x)=x+ex﹣a,g(x)=ln(x+2)﹣4ea﹣x,其中 e 为自然对数的底数,若存 在实数 x0,使 f(x0)﹣g(x0)=3 成立,则实数 a 的值为( ) A.﹣ln2﹣1 B.﹣1+ln2 C.﹣ln2 D.ln2 【解答】解:令 f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣ln(x+2)+4ea﹣x, 令 y=x﹣ln(x+2),y′=1 , 故 y=x﹣ln(x+2)在(﹣2,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数, 故当 x=﹣1 时,y 有最小值﹣1﹣0=﹣1, 而 ex﹣a+4ea﹣x≥4, (当且仅当 ex﹣a=4ea﹣x,即 x=a+ln2 时,等号成立); 故 f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立); 故 x=a+ln2=﹣1, 即 a=﹣1﹣ln2. 故选:A. 9.已知函数 g(x)=x2﹣2ax,f(x) ln(x+1),若存在 x1 ∈ [0,1],存在 x2 ∈ [1,2] 使得 f′(x1)≥g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 a> 香 . 【解答】解:根据任意 x1 ∈ [0,1],存在 x2 ∈ [1,2],使 f′(x1)>g(x2)成立, 只需满足:f'(x)max≥g(x)min, 而 f'(x)=x2 ,x ∈ [0,1]时为增函数, 所以,f'(x)max=f(1) , g(x)=x2﹣2ax 的图象是开口朝上,且以直线 x=a 为对称轴的抛物线, ① 若 a<1,则 x ∈ [1,2]时函数单调递增, 所以,g(x)min=g(1)=1﹣2a, 因此, 1﹣2a, 解得 a 香 , ∴ 香 <a<1; ② 若 1≤a≤2,则 x ∈ [1,a]时,函数单调递减,x ∈ [a,2]时函数单调递增, 所以,g(x)min=g(a)=﹣a2, .∴x=1 时,函数 g(x)取得最小值,g(1)=﹣1﹣2a+4=3﹣2a [1,2]上单调递减, ∈ ﹣a≥2,即 a≤﹣2 时,函数 g(x)在 x ② . , 1.此时 a 的取值范围是 > 4a,解得 a ∴ 取得最小值,g(2)=﹣4﹣4a+4=﹣4a. [1,2]上单调递减,∴x=2 时,函数 g(x) ∈ ﹣a≤1,即 a≥﹣1 时,函数 g(x)在 x ① g(x)=﹣(x+a)2+a2+4.对称轴 x=﹣1,抛物线开口向下. [1,2], ∈ g(x)=﹣x2﹣2ax+4,x . ∴x=1 时,函数 f(x)取得极小值即最小值,f(x)min=f(1) 2]内单调递增. ,可得:函数 f(x)在(0,1)内单调递减,在[1, 香 香 ݐݐ 香 f′(x) (0,2], ∈ ,x 香 香 f(x)=ln x [1,2], ∈ (0,2],x2 ∈ ∴f(x1)min≥g(x2)min,x1 [1,2],使得 f(x1)≥g(x2)成立, ∈ (0,2],存在 x2 ∈ 【解答】解:对任意的 x1 . , 2],使得 f(x1)≥g(x2)成立,则 a 的取值范围是 [1, ∈ (0,2],存在 x2 ∈ ,g(x)=﹣x2﹣2ax+4,若对任意的 x1 香 香 香10.已知 f(x)=lnx 香故答案为:a> 综上可得:a> 故此时 a>2; , 解得 a 4﹣4a:, 因此 所以,g(x)min=g(2)=4﹣4a, [1,2]时函数单调递减, ∈ 若 a>2,则 x ③ 故此时 1≤a≤2; 不等式恒成立 a2, 因此, ∴ 3﹣2a,解得 a 香 .此时 a 的取值范围是[ 香 ,+∞). ③ 2>﹣a>1,即﹣2<a<﹣1 时,函数 g(x)在 x ∈ [1,a]上单调递增,在 x ∈ [a,2]上单 调递减, 又 g(2)=﹣4a.g(1)=3﹣2a.∴g(x)min={g(1),g(2)}min. 综上可得:a 的取值范围是[ 香 ,+∞). 故答案为: , . 11.已知函数 f(x)=x•ex﹣ex,若 f(x)<a 有且仅有两个不同的整数解,则函数 f(x) 的最小值为 ﹣1 ;实数 a 的取值范围是 ( , ] . 【解答】解:∵f(x)=x•ex﹣ex, ∴f′(x)=(1+x)ex﹣ex=xex, 当 x<0 时,f′(x)<0,故 f(x)在(﹣∞,0)上单调递减; 当 x>0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值 f(0)=﹣1,也是最小值. 又 f(1)=0,f(0)=﹣1, 当 x→﹣∞时,f(x)→0,当 x→∞时,f(x)→+∞, ∵f(x)<a 有且仅有两个不同的整数解, ∴这两个整数解只能是﹣1 和 0, ∴f(﹣1)<a≤f(﹣2), 即 <a , 故答案为:﹣1;( , ]. 12.已知函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)的图象在(0,1)处的切线方程为 y=2x+1,若 f (x)≥mx+x 恒成立,则实数 m 的取值范围为 [﹣1,2e﹣1]. . .[故答案为:[﹣1,2e﹣1 ∴m 的取值范围为[﹣1,2e﹣1]. 综上,﹣1≤m≤2e﹣1; 1<﹣1,则 m≥﹣1, 1 恒成立,而 当 x<0 时,m )=2e﹣1, 1)min=g( 1 恒成立,∴m≤( 当 x>0 时,m ,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, ( ∈ 当 x 递减, )上单调 )时,g′(x)<0,g(x)在(﹣∞,0)和(0, (﹣∞,0)∪(0, ∈ 当 x , ݐ 1,则 g′(x) 当 x≠0 时,令 g(x) 当 x=0 时,e0≥0 成立, ∵f(x)≥mx+x 恒成立,∴e2x≥mx+x 恒成立, ∴f′(0)=a0lna=2,即 a=e2,则 f(x)=e2x, 又函数 f(x)在(0,1)处的切线方程为 y=2x+1, 解答】解:∵f(x)=ax,∴f′(x)=axlna,】 查看更多

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