资料简介
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.回顾与思考(1) 证明(三)小结
阳泉市义井中学 高铁牛
驶向胜利
的彼岸
挑战“记忆”
w说说平行四边形,矩形,菱形,正方形之间的关系.
w“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰
三角形的两个底角”角的证明过程有什么联系?
w依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边
形是特殊四边形吗?你能证明你的结论吗?
回顾 思考
驶向胜利
的彼岸
“公理”知多少
w本套教材选用如下命题作为公理 :
w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么
这两条直线平行;
w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;
w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;
w5.三边对应相等的两个三角形全等;
w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
回顾 思考
驶向胜利
的彼岸
学好几何标志是会
“证明”
w证明命题的一般步骤:
w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
w(2)根据题意,画出图形;
w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求
证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,
执“果”索“因”.);
w(5)依据思路,运用数学符号和数学语
言条理清晰地写出证明过程;
w(6)检查表达过程是否正确,完善.
回顾 思考
平行四边形的性质
w定理:平行四边形的对边相等.
′
驶向胜利
的彼岸
w证明后的结论,以后可以直接运用.
B
D
C
A
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,BC=DA.
w定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
定理:平行四边形的对角线互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴CO=AO,BO=DO.
B
D
C
A
O
定理:夹在两条平等线间的平等线段相等.
∵MN∥PQ,AB∥CD,
∴AB=CD.
B
D
C
AM N
P Q
回顾 思考
平行四边形的判定
′
驶向胜利
的彼岸
w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.
回顾 思考
w∵AB=CD,AD=BC,
w∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
C
A
B
D
C
A
O
w∵AB∥CD,AB=CD,
w∴四边形ABCD是平行四边形.
w∵AO=CO,BO=DO,
w∴四边形ABCD是平行四边形.
w∵∠A=∠C,∠B=∠D.
w∴四边形ABCD是平行四边形.
等腰梯形的性质
w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.
w定理:等腰梯形的两条对角线相等.
w在梯形ABCD中,AD∥BC,
w∵AB=DC,
w∴AC=DB..
w在梯形ABCD中,AD∥BC,
w∵AB=DC,
w∴∠A=∠D, ∠B=∠C.
B
D
C
A
B
D
C
A
w证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾 思考
等腰梯形的判定
定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵∠A=∠D或∠B=∠C,
∴AB=DC.
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
∵AC=DB.
∴AB=DC.
B
D
C
A
B
D
C
A
w证明后的结论,以后可以直接运用.
回顾 思考
三角形中位线的性质
′
驶向胜利
的彼岸
w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三
边的一半.
w这个定理提供了证明线段平行,和线
段成倍分关系的根据.
模型:连接任意四边形各边中点
所成的四边形是平行四边形.
要重视这个模型的证明过程反映出来的
规律:对角线的关系是关键.改变四边形
的形状后,对角线具有的关系(对角线相
等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决
定了各中点所成四边形的形状.
回顾 思考
w∵DE是△ABC的中位,
D E
B C
A
.2
1 BCDE ∴DE∥BC,
A
B
C
H
D
E
F
G
驶向胜利
的彼岸
四边形之间的关系
w四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？
w还记得它们与平行四边形的关系吗?
w能用一张图来表示它们之间的关系吗?
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
两组对边
分别平行
有一个角是直角
有一组
邻边相等
有一个角是直角
有一组
邻边相等
一组对边平行另
一组对边不平行
梯形
两腰相等
等腰梯形
腰与底垂直
直角梯形
回顾 思考
矩形的性质,推论
驶向胜利
的彼岸
w定理:矩形的四个角都是直角.
w定理:矩形的两条对角线相等.
推论(直角三角形性质):直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半.
回顾 思考
w∵四边形ABCD是矩形,
.2
1 ABCD
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
D
B C
A
D
B C
A
w∵AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
∴AC=BD.
在△ABC中,∠ACB=900,
∵AD=BD,
A
BC
D
矩形的判定,直角三角形的
判定
驶向胜利
的彼岸
w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
w定理:如果一个三角形一边上的中
线等于这边的一半,那么这个三角
形是直角三角形.
回顾 思考
w∵∠A=∠B=∠C=900,
∴四边形ABCD是矩形.
D
B C
A
D
B C
A
w∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AC=DB.
∴四边形ABCD是矩形.
A
BC
D
∴ ∠ACB=900.
.2
1 ABCD
在△ABC中,
∵AD=BD,
菱形的性质
驶向胜利
的彼岸
w定理:菱形的四条边都相等.
w定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对
角线平分一组对角.
回顾 思考
w∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
w∵AC,BD是菱形ABCD的两条对角线.
∴AC⊥BD..
C
B
D
A
D
B
CA O
菱形的判定
驶向胜利
的彼岸
w定理:四条边都相等的四边形是菱形.
w定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
回顾 思考
w在四边形ABCD中,
w∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
w∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
C
B
D
A
D
B
CA O
正方形的性质
驶向胜利
的彼岸
w定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
w定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直
平分,每条对角线平分一组对角.
回顾 思考
w∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.
w∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD;AC⊥BD;AO=CO,BO=DO;AC平
分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和
∠ABC.
A
B C
D A
B C
D
O
正方形的判定
驶向胜利
的彼岸
w定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
w定理:对角线相等的菱形是正方形.
w定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.
回顾 思考
w∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
∴四边形ABCD是正方形.
w∵四边形ABCD是菱形,AC=DB.
∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形ABCD是正方形.
A
B C
D
A
B C
D
O
w∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD,
复习题(A组)
w1.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角
线BD上的两个点,且BP=DQ.
w求证:AP和QC互相平行且相等.
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w2.证明:如果四边形两条对角线互相
垂直且相等，那么依次连接它的四边
中点得到一个正方形.
A B
CD
PQ
D
B
CA
G E
FG
复习题(A组)
驶向胜利
的彼岸
我思,我进步
w3.已知:如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延
长线上的一个点,且AC=EC.
w求:∠DAE的度数.
w4.如图,在□ABCD中,已知AB＝4cm,BC＝9cm,B=300.
w求：□ABCD的面积.
B
D
E
A
C
CD
A B
复习题(A组)
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w5.如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,
重合部分是什么图形?试说明理由.
w6.一个菱形对角线的长是60cm,周
长是200cm.
w求:(1)另一条对角线的长度；
(2)这个菱形的面积.
A D
CB C
A D
B
E
F
复习题(A组)
w7.已知:如图,AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，交
AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.
w求证: 四边形AEDF是菱形.
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w8.已知:如图, △ABC的两条高为BE，
CF，点M为BC的中点.
w求证:ME＝MF.
A
CB
E
F
D
A
CB
E
F
M
复习题(A组)
w9.已知:正方形的对角线的长为l.
w求:它的周长和面积.
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w10.已知:如图,△ABC的三边长分别为
a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个
新三角形;以这个新三角形三边中点为
顶点又组成一个小三角形.
w求:这个小三角形的周长.
D
B C
A
G E
F
HK
复习题(B组)
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w1.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,F,G是AB
边上的两个点,且FC平分∠BCD,GD平分∠ADC, FC与
GD相交于点E.
w求证:AF=GB.
w2.已知:如图,□ABCD各角的平分线相
交于点E,F,G,H.
w求证:四边形EFGH是矩形.
A B
CD
GF
E
D C
BA
GE H
F
复习题(C组)
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w1.已知两条对角线,利用尺规作一个菱形.
w2.已知:如图,△ABC的三边长分别为
a,b,c,以它的三边中点为顶点组成一个
新三角形;以这个新三角形三边中点为
顶点又组成一个小三角形;……
w求:(1)这两个小三角形的周长和面积;
(2)第n个小三角形的周长和面积.
D
B C
A
G E
F
HK
随堂练习
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w求证: △ABC是等腰三角形.
w已知:D,E,F分别是△ABC中AB,BC,CA的中点,四边
形DECF是菱形.
A B
C
D
EF
三角形的重心
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w我们知道,三角形的三条中线交于一点.
w这一点叫做三角形的重心.
w三角形的重心分每一条中线的比为
1∶ 2(重心到每边的中点距离∶ 重心
到所对角的顶点的距离).
w你能证明这个命题吗?
w与同伴交流你的想法和具
体的证明方法.
w三角形的重心有一个重要的几何性质:
A B
C
D
EF G
心动 不如行动
三角形重心的几何性质
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交
于点G.
w分析:要证明GE∶ GA=1∶ 2,可以考虑折半法(如取
GA的中点M,GB的中点N).
w转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.
w分别连接FE,EN,NM,MF.
w求证:GE∶ GA=GF∶ GB=GD∶ GC=1∶ 2.
A B
C
D
EF G
M ● ● N
w从而借助于三角形的中位线构
造平行四边形来获得证明.
w怎么样,在老师的帮助下,你可
以写出证明过程了吗?
w由此你又悟出了些什么?
三角形重心的几何性质
驶向胜
利的彼
岸
我思,我进步
w已知:如图,AE,BF,CD是△ABC的三条中线,且相交
于点G.
w证明:取GA的中点M,GB的中点N,分别连接
FE,EN,NM,MF.
w∵F,E是AC,BC的中点,
w∴ FE∥MN,FE=MN.
w求证:GE∶ GA=GF∶ GB=GD∶ GC=1∶ 2.
A B
C
D
EF G
M ● ● Nw∴四边形FENM是平行四边形.
w∴MG=GE,NG=GF.
.2
1 ABFE ∴FE∥AB, MN∥AB, .2
1 ABMN
w∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
w∴ GE∶ GA=GF∶ GB=1∶ 2.
w同理,GD∶ GC=1∶ 2..
w∴GE∶ GA=GF∶ GB=GD∶ GC=1∶ 2.
知识的升华
独立
作业
P93习题3.6 1,2题.
祝你成功！
P93习题3.6 1题.
独立
作业
1.如图,四边形ABCD是正方形,△ABC是等边
三角形.
求:∠θ的度数.
D
B C
A
E
θ
P93习题3.6 2题.
独立
作业
2.已知:如图,四个小朋友分别站在正方形ABCD的
四条边的点A1,B1,C1,D1处,并且AA1=BB1=CC1=DD1,那
么四个小朋友分别所站点为顶点的四边形A1B1C1D1
是一个怎样的图形?请证明你的结论.
A
B C
D
A1
◎
◎
◎
◎
B1
C1
D1
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之
于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据
.是初学证明者谨记和遵循的原
则.
下课了!
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