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挑战满分大题专练（三十四）—综合练习（20）
1．等差数列{ }na 的前 n 项和为 nT ，已知 4 4a ， 5 8 13a a ．
（1）求{ }na 的通项公式及 nT ；
（2）求数列 1{ 2 }n
nT
的前 n 项和 nS ．
解：（1）由题意，设等差数列{ }na 的公差为 d ，
则 4 1
5 8 1 1
3 4
4 7 11
a a d
a a a d a d
，
整理，得 1
1
3 4
2 11 13
a d
a d
，
解得 1 1
1
a
d
，
1 1 ( 1)na n n ， *n N ，
( 1) ( 1)1 12 2n
n n n nT n ．
（2）由（1）知， 1 2 1 12 2 2( ) 2( 1) 1
n n n
nT n n n n
，
1 2
1 2
1 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n
n
n
S T T T
1 2
1 2
1 1 1( ) (2 2 2 )n
nT T T
11 1 1 1 1 2 22 (1 ) 2 ( ) 2 ( )2 2 3 1 1 2
n
n n
11 1 1 1 1 2 22 (1 )2 2 3 1 1 2
n
n n
11 2 22 (1 )1 1 2
n
n
1 22 1
n
n
．
2．在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知 5, 2b c ， 45B ．
（1）求边 BC 的长；
（2）在边 BC 上取一点 D ，使得 4cos 5ADB ，求 sin DAC 的值．
解：（1）在 ABC 中，因为 5, 2, 45b c B ，
由余弦定理知， 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
所以 2 25 2 2 2 2a a ，即 2 2 3 0a a ，
解得 3a 或 1a （舍 ) ，
所以 3BC ．
（2）在 ABC 中，由正弦定理知，
sin sin
b c
B C
，
所以 5 2
sin 45 sin C
，解得 5sin 5C ，
因为 4cos 5ADB ，
所以 4cos 5ADC ，即 ADC 为钝角，且 3sin 5ADC ，
又 180ADC C CAD ，
所以 C 为锐角，
所以 2 2 5cos 1 sin 5C C ，
所以 sin sin(180 ) sin( )DAC ADC C ADC C
sin cos cos sinADC C ADC C
3 2 5 4 5 2 5
5 5 5 5 25
．
3．如图所示，PA 平面 ABCD ， ABCD 为正方形，PA AB a ，E 、F 、G 分别为 PA 、
PD 、 CD 的中点．
（1）求证：直线 / /PB 平面 FEG ；
（2）求直线 PB 与直线 EG 所成角余弦值的大小．
解：（1）证明：取 AB 中点 H ，连接 EH 、 HG ，
E 、 F 为 PA 、 PD 的中点， / /EF AD ，
又 H 、G 为 AB 、CD 中点，
/ /GH AD ， / /EF GH ， E 、 F 、G 、 H 四点共面，
又在 PAB 中， / /EH PB ， EH 平面 EFG ，
PB 平面 EFG ， / /PB 平面 EFG ．
（2）解： / /PB EH ， PB 与GE 所成角的大小等于 EH 与 EG 所成角的大小，
即为 HEG ，
PA 平面 ABCD ， PA HG ，又 HG AB ， PA AB A ，
HG 平面 PAB ，
HG EH ，在 Rt EHG 中， HG a ， 1 2
2 2EH PB a ，
6
2EG a ， tan 2HEG ， 3cos 3
，
故直线 PB 与直线 EG 所成角的余弦值为 3
3
．
4．2020 年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者 8 万多人.2019 年 7 月份以来，共
完成 1931 个志愿服务项目，8900 多名志愿者开展志愿服务活动累计超过 150 万小时．为了
了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了 500 名志愿者每月的志愿服务时长
（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这 500 名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数 x 和样本方差 2s （同一组中的数据
用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长 X 服从正态分布 2( , )N ，其中
近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s ．
一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若 2~ ( , )X N ，令
XY
，则 ~ (0,1)Y N ，且 ( ) ( )aP X a P Y
．
( )i 利用直方图得到的正态分布，求 ( 10)P X ；
( )ii 从该地随机抽取 20 名志愿者，记 Z 表示这 20 名志愿者中每月志愿服务时长超过 10 小
时的人数，求 ( 1)P Z
（结果精确到 0.001) 以及 Z 的数学期望．
参考数据： 1.64 1.28 ， 200.7734 0.0059 ．若 ~ (0,1)Y N ，则 ( 0.78) 0.7734P Y ．
解：（1）由已知可得 6 0.02 7 0.1 8 0.2 9 0.38 10 0.18 11 0.08 12 0.04 9x ，
所以 2 2 2 2 2 2(6 9) 0.02 (7 9) 0.1 (8 9) 0.2 (9 9) 0.38 (10 9) 0.18S
2 2(11 9) 0.08 (12 9) 0.04 1.64 ；
（2）①由题意可知 9 ， 2 1.64 ，
所以 ~ (9,1.64)X N ， 1.64 1.28 ，
所以 10 9( 10) ( ) ( 0.78) 0.77341.28P X P Y P Y ；
②由①知， ( 10) 1 ( 10) 1 0.7734 0.2266P X P X ，
可得 ~ (20,0.2266)Z B ，
20( 1) 1 ( 0) 1 0.7734 1 0.0059 0.9941 0.994P Z P Z
，
故 Z 的数学期望为 ( ) 20 0.2266 4.532E Z ．
5．设椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的离心率为 2 2
3
， 1F ， 2F 分别为椭圆 E 的左、右焦点，
P 为椭圆上异于左、右顶点的任一点，△ 1 2PF F 的周长为 6 4 2 ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）直线 3( )2y k x 交椭圆 E 于 C ，D 两点，A ，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点，直线 AC
和直线 BD 交于点 M ，求证：点 M 到 y 轴的距离为定值 6．
（1）解：设椭圆 E 的焦距为 2c ，
则根据题意知 2 2 ,2 2 6 4 23
c a ca
，解得 3, 2 2a c ，故 1b ，
因此椭圆 E 的方程为
2
2 19
x y ．
（2）证明：设 1(C x ， 1)y ， 2(D x ， 2 )y ，由（1）可知 ( 3,0)A ， (3,0)B ，
则直线 AC 的方程为 1
1
( 3)3
yy xx
，
直线 BD 的方程为 2
2
( 3)3
yy xx
，
所以直线 AC 与 BD 的交点 M 的横坐标为 1 2 2 1
2 1 1 2
3 ( 3) 3 ( 3)
( 3) ( 3)M
y x y xx y x y x
，
将 1 1 2 2
3 3( ), ( )2 2y k x y k x 代 入 上 式 化 简 得 ，
1 2 2 1
1 2 2 1
2 1
2 1
3 93(2 ) 4 3 92 2
9 3 3 692 2
M
x x x x x x x xx x xx x
．
将 3( )2y k x 代入椭圆方程
2
2 19
x y 整理得， 2 2 2 2(36 4) 108 81 36 0k x k x k ，△ 0 ，
所以
2 2
1 2 1 22 2
108 81 36,36 4 36 4
k kx x x xk k
，
所 以
2 2
2 2
1 2 2 1 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
81 36 1084 15 364 3 9 4 15( ) 36 36 4 36 46 6 03 6 3 6 3 6M
k k
x x x x x x x x k kx x x x x x x
．
因此，点 M 的横坐标为 6，即点 M 到 y 轴的距离为定值 6．
6．已知函数 ( ) lnxf x x
．
（1）设 ( ) ( ) ( )1
xg x f x f x
，求函数 ( )g x 的最小值；
（2）设 1( ) ( )h x f x
，对任意 1x ， 2 (0, )x ， 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )h x h x h x x k x x
恒成立，
求 k 的最大值．
解：（1） 1 1( ) lnxf x lnx x x
，
令 1t x
，则 ( ) ( ) (1 ) (1 )F t g x tlnt t ln t ， (0,1)t ，
则 ( ) 1 [ (1 ) 1] 1
tF t lnt ln t ln t
，
当 1(0, )2t 时， ( ) 0F t ， ( )F t 单调递减，
当 1(2t ，1) 时， ( ) 0F t ， ( )F t 单调递增，
故 ( )F t 的最小值是 1( ) 22F ln ，
即 ( )g x 的最小值是 2ln ；
（2） 1( ) ( )h x f xlnxx
，
则 1 2 1 2( ) ( ) ( )h x h x h x x
1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )x lnx x lnx x x ln x x
1 2
1 2
1 2 1 2
x xx ln x lnx x x x
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
( )[ ]x x x xx x ln lnx x x x x x x x
1 2
1 2
1 2 1 2
( )[ ( ) ( )]x xx x h hx x x x
，
由（1）知 1 2 1
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) 2x x xh h F lnx x x x x x
，
故 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2h x h x h x x x x ln
，
故 2k ln ，
故 k 的最大值是 2ln ．
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