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挑战满分大题专练（三十五）—综合练习（21）
1．已知等比数列{ }na 各项均为正数， nS 为其前 n 项和．若对任意正整数 n ，有 2 4 3n nS S
恒成立，且 2 2logn nb a ．
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）令
1
1
n
n n
c b b
，求数列{ }nc 的前 n 项和 nT ．
解：（1）由题意，设等比数列{ }na 的公比为 q ，首项为 1a ，
等比数列{ }na 各项均为正数，
1 0a ， 0q ，
由 2 4 3n nS S ，可得 1 14 3n nS S ，
两式相减，可得 2 4n na a ，
则 2 4q ，即 2q ，
当 1n 时，有 3 14 3S S 恒成立，
即 1 2 3 14 3a a a a ，
2 12a a ， 3 14a a ，
1 1 12 4 3 3a a a ，解得 1 1a ，
1 11 2 2n n
na ， *n N ．
（2）由（1）知， 2 2 2log log 2n nb a 2 1 2 1n n ，
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n
n n
c b b n n n n
，
则 1 2n nT c c c
1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 3 2 3 5 2 2 1 2 1n n
1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1n n
1 1(1 )2 2 1n
2 1
n
n
．
2．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 sin 4 sina A b B ，
2 2 23( )ac a b c ．
（Ⅰ）求 cos A 的值；
（Ⅱ）求 sin(2 )B A 的值．
解：（1）由正弦定理知，
sin sin
a b
A B
，
sin 4 sina A b B ，
2 24a b ，即 2a b ，
2 2 23( )ac a b c ，
2 2 2 1 2
3 3
b c a ac bc ，
由余弦定理知，
2 2 2 3cos 2 3
b c aA bc
．
（2）由（1）知， 3cos 3A ，
(0, )A ， 2 6sin 1 3A cos A ，
由正弦定理知，
sin sin
a b
A B
，
sin 4 sina A b B ，
2 2sin 4sinA B ，
A ， (0, )B ，
sin 2sinA B ，即 1 6sin sin2 6B A ，
又 A 为钝角， B 为锐角， 2 30cos 1 6B sin B ，
5sin 2 2sin cos 3B B B ， 2 2cos2 1 2sin 3B B ，
故 5 3 2 6 2 6 15sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin ( )3 3 3 3 9B A B A B A ．
3．如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，
3ABC ， PA 平面
ABCD ， 3PA ， 2PF FA ， E 为 CD 的中点．
（Ⅰ）求证： BD PC ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 DF 所成角的余弦值；
（Ⅲ）判断直线 EF 与平面 PBC 的位置关系，请说明理由．
解：（Ⅰ）证明：连结 AC ．因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD AC ．
又因为 PA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 PA BD ．
又因为 PA AC A ，所以 BD 平面 PAC ．
又因为 PC 平面 PAC ，所以 BD PC ．
（Ⅱ）解：设 AC ， BD 交于点 O ．因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC BD ，
又因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA AC ， PA BD ．
如图，以 O 为坐标原点，以 OB 为 x 轴，以 OC 为 y 轴，以过点 O 且与 AP 平行的直线为 z 轴，
建立空间直角坐标系 O xyz ，
则 (0A ， 1 ，0) ， ( 3,0,0)B ， (0C ，1，0) ， ( 3,0,0)D ， 3 1( , ,0)2 2E ， (0P ， 1 ，3) ，
(0F ， 1 ，1) ．
则 ( 3,1,0)AB ， ( 3, 1,1)DF ，
设异面直线 AB 与 DF 所成角为 ，则 (0, ]2
，
| | 5cos | cos , | 5| | | |
AB DFAB DF
AB DF
，
所以 AB 与 DF 所成角的余弦值为 5
5
．
（Ⅲ）解：直线 EF 与平面 PBC 相交．证明如下：
由（Ⅱ）可知， 3 3( , ,1)2 2EF ， ( 3,1,0)BC ， ( 3, 1,3)BP ，
设平面 PBC 的一个法向量为 (n x ， y ， )z ，
则 0
0
n BC
n BP
，即 3 0,
3 3 0,
x y
x y z
令 3x ，得 ( 3,3,2)n ．
则 1 0EF n ，
所以直线 EF 与平面 PBC 相交．
4．某校团委组织“航天知识竞赛”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题
回答正确得 10 分，回答错误得 0 分；第二个问题回答正确得 10 分，回答错误得 10 分；第
三个问题回答正确得 10 分，回答错误得 10 分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得
分不低于 20 分就算闯关成功．若每位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 2
3
，回答第三
个问题正确的概率都是 1
2
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（1）求参赛者甲仅回答正确两个问题的概率；
（2）求参赛者甲回答这三个问题的总得分 的分布列、期望和闯关成功的概率．
解：（1）设事件 iA 为参赛者甲回答正确第i 个问题 ( 1i ，2， 3) ，
所以 1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 1 2 1 1 1 2 1 4( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 3 3 2 9P P A A A P A A A P A A A ．
（2）由题意， 所有可能取值为 20 ， 10 ，0，10，20，30，
1 2 3
1 1 1 1( 20) ( ) 3 3 2 18P P A A A ，
1 2 3
2 1 1 1( 10) ( ) 3 3 2 9P P A A A ，
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 2 1 1( 0) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 6P P A A A P A A A ，
1 2 3 1 2 3
2 2 1 2 1 1 1( 10) ( ) ( ) 3 3 2 3 3 2 3P P A A A P A A A ，
1 2 3
1 2 1 1( 20) ( ) 3 3 2 9P P A A A ，
1 2 3
2 2 1 2( 30) ( ) 3 3 2 9P P A A A ，
所以 的分布列为：
20 10 0 10 20 30
P 1
18
1
9
1
6
1
3
1
9
2
9
1 1 1 1 1 2( ) ( 20) ( 10) 0 10 20 30 1018 9 6 3 9 9E ．
由分布列可知参赛者甲闯关成功的概率为 1( 20) ( 30) 3P P ．
5．已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦点是 1F ， 2F ，且 1 2| | 2F F ，离心率为 2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点 2F 的直线l 交椭圆于 1(A x ， 1)y ， 2(B x ， 2 1 2)( )y x x 两点，点 Q 是直线
l 上异于 2F 的一点，且满足 AQ BQ ， 2 2F A BF ．求证：点 Q 的横坐标是定值．
解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点是 1F ， 2F ，且 1 2| | 2F F ，所以 1c ．（2 分）
因为离心率为 2
2
，所以 2a ．所以 1b ．（4 分）
所以椭圆的方程是
2
2 12
x y ．（5 分）
（Ⅱ）证明：因为 1 2x x ，故直线 AB 存在斜率，
设直线 l 斜率为 k ，所以直线 l 方程可设为： ( 1)y k x ，
2
2 1,2
( 1),
x y
y k x
消去 y ，整理得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k ．
所以
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
．（8 分）
因为点 Q 在直线 l 上，所以设点 Q 的坐标是 ( , )x y ，则有 ( 1)y k x ，
因 为 2 2,AQ BQ F A BF ， 所 以 1 1 2 2 1 1
1 1 2 2 2 2
( , ) ( , ) 1
( 1, ) (1 , ) 1
x x y y x x y y x x x
x y x y x x x
，
（11 分）
所以 1 2 1 2( 1)( ) 2 2 0x x x x x x ．
所以 1 2 1 2
1 2
2 ( ) 22
x x x xx x x
，因为 ( 1)y k x ，所以 2y k ，（15 分）
所以点 Q 的坐标是 (2, )k ．所以点 Q 在定直线 2x 上．
6．已知函数 2( ) xf x e kx ，其中 k 为实数， e 为自然对数的底数． ( )g x 是 ( )f x 的导数．
（1）试讨论 ( )g x 的极值点；
（2）（Ⅰ）若 1
2k ，证明：当 0x
时， ( ) 1f x x
恒成立；
（Ⅱ）当 0x
时， ( ) 2 1 sinf x x x
恒成立，求 k 的取值范围．
解：（1） ( ) ( ) 2xg x f x e kx ，则 ( ) 2xg x e k ，
当 0k 时， ( ) 0g x
， ( )g x 单调递增，无极值点，
当 0k 时，令 ( ) 0g x ，则 2x ln k ，
令 ( ) 0g x ，则 2x ln k ， ( )g x 单调递增，
令 ( ) 0g x ，则 2x ln k ， ( )g x 单调递减，
( )g x 的极小值点为 2ln k ，无极大值点，
综上：当 0k 时， ( )g x 无极值点，
当 0k 时， ( )g x 的极小值点为 2ln k ，无极大值点．
（2）（Ⅰ）证明：当 1
2k 时，设 1( ) 2
xg x e 2 1( 0)x x x
，
( ) 1xg x e x ，
则 ( ) 1 0xg x e
，故 ( )g x 在[0 ， ) 上单调递增，
故当 0x
时， ( ) (0) 0g x g
，故 ( )g x 在[0 ， ) 上单调递增，
故当 0x
时， ( ) (0) 0g x g
，
故当 0x
时， ( ) 1f x x
恒成立．
（Ⅱ）设 2( ) 2 1 sin ( 0)xh x e kx x x x
，
则 ( ) 0minh x
，且 (0) 0h ，
则 ( ) 2 2 cos ( 0)xh x e kx x x
，且 (0) 0h ，
( ) 2 sinxh x e k x ， (0) 1 2h k ，
( ) cos 0xh x e x
，则 ( )h x 在[0 ， ) 上单调递增，
当 1
2k 时， (0) 1 2 0h k
，由于 ( )h x 在[0 ， ) 上单调递增，
则当 0x
时， ( ) (0) 0h x h
，则 ( )h x 在[0 ， ) 上单调递增，
故 ( ) (0) 0h x h
，则 ( )h x 在[0 ， ) 上单调递增，
故 ( ) (0) 0h x h
，符合题意，
当 1
2k 时， (0) 1 2 0h k ，
利用（Ⅰ）中已证结论可得
由于 ( )h x 在[0 ， ) 上单调递增， 1 2(1 2 ) 2 sin(1 2 ) 1 (1 2 ) 2 1 0kh k e k k k k
，
故必然存在 0 (0,1 2 )x k ，使得 0(0, )x x 时， (0) 0h ，
则 ( )h x 在 0(0, )x 上单调递减，
故当 0(0, )x x 时， ( ) (0) 0h x h ，
则 ( )h x 在 0(0, )x 上单调递减，
则当 0(0, )x x 时， ( ) (0) 0h x h ，
综上， k 的取值范围为 ( ， 1]2
．
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