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专练 11 解三角形解答题（30 题）（山东、海南专用）
1．（2020·山东高三专题练习） 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 ABC 的面积为 S ，
2 2 23 16 3c S b a= - .
（1）求 tan B 的值；
（2）若 42S ， 10a ，求b 的值．
【答案】（1） 3
4
；（2） 6 2b
【详解】
（1）在 ABC 中，
由三角形面积公式得， 1 sin2S ac B ，
由余弦定理得，
2 2 2
cos 2
c a bB ac
，
2 2 23 16 3c S b a ，
2 2 23
16S c a b ，
整理可得 2 2 23 3sin cos8 4
c a b
B Bac
，
又 0,B ， sin 0B ，故 cos 0B ，
sin 3tan cos 4
BB B
.
（2）由（1）得 3tan 4B ，
0,B ,
3sin 5B ，
42S ， 10a ，
1 1 3sin 10 3 422 2 5S ac B c c ，
解得 14c ，
2 2 23 16 3c S b a= - ，
2 2 2 216 1614 10 42 6 23 3c a Sb .
2．（2018·山东泰安市·高三一模（文）） ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且 ABC 的面积
3S ac tanB4
.
（1）求 B ；
（2）若 a 、b 、 c 成等差数列， ABC 的面积为 3
2
，求b .
【答案】（1）
6B ；（2） 2 4 2 3b .
【解析】（1） 1 3sin tan2 4S ac B ac B 可得 3cos 2B ，求得 B 值；
（2）由 a、b、c 成等差数列，可得 2b=a+c，两边同时平方得：a2+c2=4b2-2ac，又由 1 1 3sin2 4 2S ac B ac ，可
得 ac=6，a2+c2=4b2-12，由余弦定理 cosB 即可求得 b.
详解：
（1）∵ 1 3sin tan2 4S ac B ac B ，
∴ 1 3 sinsin2 4 cos
BB B
，即 3cos 2B ，
∵ 0 B ，∴
6B .
（2）∵ a 、b 、 c 成等差数列，
∴ 2b a c ，两边同时平方得： 2 2 24 2a c b ac ，
又由（1）可知：
6B ，∴ 1 1 3sin2 4 2S ac B ac ，
∴ 6ac ， 2 2 24 12a c b ，
由余弦定理得，
2 2 2 2 2 24 12 4 3cos 2 12 4 2
a c b b b bB ac
，解 2 4 2 3b ，
∴ 1 3b .
3．（2012·山东青岛市·高三一模（理））在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ， b ， c ，
2 2 6 cosa b ab C ，且 2sin 2sin sinC A B ．
（1）求角C 的值；
（2）设函数 sin 3cos ( 0)f x x x ，且 f x 图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f A 的取值范
围．
【答案】Ⅰ）因为 ,由余弦定理知
所以 ……………………2 分
又因为 ,则由正弦定理得: ……………4 分
所以 所以 ………………6 分
（Ⅱ） 3 3sin cos sin cos 3sin6 2 2 3f x x x x x x
由已知 ,则 3sin 2 ,3f A A
…………………8 分
因为
3C , 2
3B A ,由于 0 ,02 2A B ,所以
6 2A ……………10 分
所以 20 2 3 3A
根据正弦函数图象,所以
4．（2021·山东临沂市·高三其他模拟）在 ① sin cos 6a A C b A
；
② 1 2cos cos cos cosC B C B C B ； ③ 2tan
tan tan
B b
A B c
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.
问题:在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 3, 6b c a ， 求 ABC 的面积.
【答案】条件性选择见解析， 3
2
【详解】
选①，由正弦定理得sin sin sin cos 6A B B A
，
因为 0 B ，所以sin 0B ，
所以sin cos 6A A
，化简得 3 1sin cos sin2 2A A A ，
所以 cos 06A
，因为 0 A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos =( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选②因为 1 2cos cos cos cosC B C B C B ，
所以 1 cos cos 2cos cos 1 2cos 1 2cos 0C B C B C B C B A ，
所以 1cos 2A ，
因为C 为三角形的内角，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
；
选③因为 2tan
tan tan
B b
A B c
，
所以由正弦定理可得: 2tan sin
tan tan sin
B B
A B C
，
可得
sin2 sincos
sin sin sin
cos cos
B
BB
A B C
A B
，
可得
2sin 2sin
2sin cos sincos cos
sin cos sin cos sin sin sin
cos cos cos cos
B B
B A BB B
A B B A C C C
A B A B
，
因为sin 0,sin 0B C ，
所以解得 1cos 2A ，
因为 0,A ，所以
3A ，
因为 2 2 2 22 cos ( ) 2 2 cos , 6, 2 33 3a b c bc b c bc bc a b c ，
所以 2bc ，
所以 1 1 3sin 2 sin2 2 3 2ABCS bc A
.
5．（2021·山东青岛市·高三一模）如图，在 ABC 中， AB AC ， 2AB AC ，点 E ， F 是线段 BC （含端
点）上的动点，且点 E 在点 F 的右下方，在运动的过程中，始终保持 π
4EAF 不变，设 EAB 弧度．
（1）写出 的取值范围，并分别求线段 AE ， AF 关于 的函数关系式；
（2）求 EAF△ 面积S 的最小值．
【答案】（1） π0 4
，
2
πsin 4
AE
； 2
cosAF ；（2） 2 2 1 ．
【详解】
（1）由题意知 π0 4
，
2
π π πsin sin sin4 4 4
AE AB AE
2
π π cossin sin4 2
AF AC AF
．
（2）
1 2 2 2 2 1
π2 cos 2 2 2 2sin sin cos cos4 2 2
EAFS
△
1 2 2 2 2 11 1 cos2 π 2 1sin 2 2 sin 2 12 2 4
．
当且仅当 π
8
时，取“ ”．
6．（2021·山东泰安市·高三一模）已知函数 2sin cos cos6f x x x x .
（1）求 f x 在 0, 4
上的最值；
（2）在 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ， 12
Af
， 2 3a ， ABC 的面积为 3 ，
求 sin sinB C 的值.
【答案】（1） min
3 1
4f x ， max
2 3 1
4f x ；（2） 6
2
.
【详解】
（1） 23 1sin cos sin cos2 2f x x x x x
2 23 1sin cos sin cos2 2x x x x
3 1 cos2 1 cos2sin 24 4 2
x xx
3 3 1sin 2 cos24 4 4x x
3 1sin 22 3 4x
0, 4x
523 3 6x
1 sin 2 12 3x
当 0, 4x
时，
3 1
4minf x ， 2 3 1
4maxf x .
（2） 3 1sin 12 2 3 4
Af A
3sin 3 2A
0,A
4,3 3 3A
3A
1 3sin 32 4ABCS bc A bc
4bc
又 2 3a
2 2 2
cos 2
b c aA bc
2 2 12
8
b c 2 20
8
b c 1
2
2 24b c
2 6b c
又 4sin sin sin
a b c
A B C
1 6sin sin 4 2B C b c
7．（2021·山东临沂市·高三一模）在圆内接四边形 ABCD 中， 4, 2 , ,12BC B D ACB 求 ACD△ 面积
的最大值.
【答案】最大值为 6 3
【详解】
因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，可得 B D ，
又因为 2B D ，所以 2 ,3 3B D ，
在 ABC 中，因为
12ACB ，可得 2
3 12 4BAC ，
由正弦定理得 AC BC
sinB sin BAC
，所以得
34 2 2 6
2
2
BCsinBAC sin BAC
，
在 ACD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2AC AD CD AD CDcosD ，
即 2 224 2AD CD AD CD AD CD AD CD AD CD ，
当且仅当 AD CD 时，取等号，即 24AD CD ，
所以 1 3 6 32 4ACDS AD CDsinD AD CD ，
即 ACD△ 面积的最大值为 6 3 .
8．（2019·山东济南市·高考模拟（理）） ABC 的内角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知
2 sin cosb C a C cosc A ， 2
3B ， 3c .
（1）求角C ；
（2）若点 E 满足 2AE EC ，求 BE 的长.
【答案】（1）
6C ；（2） 1BE
【详解】
（1）【解法一】由题设及正弦定理得 2sin sin sin cos sin cosB C A C C A ，
又 sin cos sin cos sin sin sinA C C A A C B B ，
所以 2sin sin sinB C B .
由于 3sin 02B ，则 1sin 2C .
又因为 0 3C ，
所以
6C .
【解法二】
由题设及余弦定理可得
2 2 2 2 2 2
2 sin 2 2
a b c b c ab C a cab bc
，
化简得 2 sinb C b .
因为 0b ，所以 1sin 2C .
又因为 0 3C ，
所以
6C .
【解法三】
由题设 2 sin cos cosb C a C c A ，
结合射影定理 cos cosb a C c A ，
化简可得 2 sinb C b .
因为 0b .所以 1sin 2C .
又因为 0 3C ，
所以
6C .
（2）【解法 1】由正弦定理易知 2 3sin sin
b c
B C
，解得 3b .
又因为 2AE EC ，所以 2 2
3 3AE AC b ，即 2AE .
在 ABC 中，因为 2
3B ，
6C ，所以
6A ，
所以在 ABE 中，
6A ， 3AB ， 2AE
由余弦定理得 2 2 32 cos 3 4 2 3 2 16 2BE AB AE AB AE ，
所以 1BE .
【解法 2】
在 ABC 中，因为 2
3B ，
6C ，所以
6A ， 3a c .
由余弦定理得 2 2 23 3 2 3 3 cos 33b .
因为 2AE EC ，所以 1 13EC AC .
在 BCE 中，
6C ， 3BC ， 1CE
由余弦定理得 2 2 32 cos 3 1 2 3 1 16 2BE BC EC BC EC
所以 1BE .
【解法 3】
在 ABC 中，因为 2
3B ，
6C ，所以
6A ， 3a c .
因为 2AE EC ，所以 1 2
3 3BE BA BC
.
则 22 2 21 1 1 1| | 2 | 4 4 | 3 4 3 3 4 3 19 9 9 2BE BA BC BA BA BC BC
所以 1BE .
9．（2019·山东日照市·日照一中高三期中）在 ABC 中，内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、 c ，且
cos sina B b A c ．
（1）求角 A 的大小；
（2）若 2a ， ABC 的面积为 2 1
2
，求b c 的值．
【答案】(1) 4A .(2) 2b c .
【解析】(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sinA B B A C ，
sin sin sin cos cos sinC A B A B A B sin cos sinBsinA A B ，
sin 0 sin cosB A A 0, 4A A
(2) 1 2 2 1sin 2 22 4 2ABCS bc A bc bc
又 22 2 2 2 cos 2 2 2a b c bc A b c bc
所以， 2 4, 2.b c b c ．
10．（2020·高三其他模拟）已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，其面积
2 2 2
4
b c aS ．
（1）若 6a ， 2b ，求 cos B ．
（2）求 sin sin cos cosA B B B B A 的最大值．
【答案】（1） 30
6
；（2） 5
2 .
【详解】
（1）因为三角形面积为
2 2 21 sin2 4
b c aS bc A ，
所以
2 2 2
sin cos2
b c aA Abc
，解得
4A ，
因为 6a ， 2b ，由正弦定理得：
sin sin
a b
A B
，
所以
22sin 62sin 66
b AB a
，
因为 a b ，所以 A B ，所以 B 为锐角，
所以 30cos 6
B .
（2）由（1）知
4A ，
所以 sin sin cos cosA B B B B A
sin sin cos cos4 4B B B B
2 2 2 2sin cos sin cos sin cos2 2 2 2B B B B B B
2(sin cos ) sin cosB B B B ，
令 sin cos 2 sin 4t B B B
，
因为 30, , ,4 4 4
B B ，
所以sin (0,1]4
B ，所以 (0, 2]t ，
原式 2 2 21 1 1 32 2 22 2 2 2 2
t tt t t ，
当 2t ，即
4B 时，原式取得最大值 5
2 .
11．（2020·肥城市教学研究中心高三其他模拟）已知 , ,a b c 分别为 ABC 内角 , ,A B C 的对边，若 ABC 是锐角三
角形，需要同时满足下列四个条件中的三个：
①
3A ② 13a ③ 15c ④ 1sin 3C
（1）条件①④能否同时满足，请说明理由；
（2）以上四个条件，请在满足三角形有解的所有组合中任选一组，并求出对应的 ABC 的面积.
【答案】（1）不能，理由见解析；（2）同时满足①②③，30 3 .
【详解】
解：（1） ABC 不能同时满足①，④. 理由如下：
若 ABC 同时满足①，④，
则在锐角 ABC 中， 1 1sin 3 2C ，所以 0 6C
又因为
3A ，所以
3 2A C
所以
2B ，这与 ABC 是锐角三角形矛盾
所以 ABC 不能同时满足①，④.
（2）因为 ABC 需同时满足三个条件，由（1）知不能同时满足①④，故只能同时满足①②③或②③④
若同时满足②③④，因为 c a ，所以C A ，则
6A C ，
则
2B 这与 ABC 是锐角三角形矛盾.
故 ABC 不能同时满足②③④，只能同时满足①②③.
因为 2 2 2 2 cosa b c bc A ，
所以 2 2 2 113 15 2 15 2b b ，
解得 8b 或 7b .
当 7b 时，
2 2 27 13 15cos 02 7 13C
，
所以C 为钝角，与题意不符合，所以 8b .
所以 ABC 的面积 1 sin 30 32S bc A .
12．（2019·山东省郓城第一中学高三一模（文））在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 2a ，
4c ，且满足 3 2 sina b A .
（1）求角 B ；
（2）如图， D 为 ABC 外一点，若在平面四边形 ABCD 中， 2B D ，
4CAD ，求 CD .
【答案】（1）
3B （2） 2 6CD
【详解】
解：（1）由正弦定理得： 3 sin 2 sin sinA B A ，
因为sin 0A ，所以 3sin 2B
又因为 0, 2B
，故
3B .
（2）由余弦定理得， 2 2 2 2 cosb a c ac B ，
因为 2a ， 4b ，所以 2 14 16 2 2 4 122b ，所以 2 3b ，
∵在 ACD 中，
6D ，
4CAD ，由正弦定理得
sin sin
b CD
D CAD
，
解得 2 6CD .
13．（2021·山东高三专题练习）在① ABC 面积 2ABCS ，②
6ADC 这两个条件中任选一个，补充在下面
问题中，求 AC .
如图，在平面四边形 ABCD 中， 3
4ABC ， BAC DAC ，______， 2 4CD AB ，求 AC .
【答案】见解析
【详解】
解：选择①：
1 1 3sin 2 sin 22 2 4ABCS AB BC ABC BC
所以 2 2BC ；
由余弦定理可得
2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC
24 8 2 2 2 2 202
所以 20 2 5AC
选择②
设 BAC CAD ，则 0 4
，
4BCA ，
在 ABC 中
sin sin
AC AB
ABC BCA
，即
2
3sin sin4 4
AC
所以
2
sin 4
AC
在 ACD 中，
sin sin
AC CD
ADC CAD
，即
4
sinsin 6
AC
所以 2
sinAC .
所以
2 2
sin sin 4
，解得 2sin cos ，
又 0 4
，所以 5sin 5
，
所以 2 2 5sinAC .
14．（2020·山东高三其他模拟）某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，
CB ， BA ， AE 为赛道（不考虑宽度）， BE 为赛道内的一条服务通道， 2
3BCD CDE BAE ，
DE 4km ， 3BC CD km .
（1）求服务通道 BE 的长度；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长？
【答案】（1）5（2）见解析
【详解】
（1）连接 BD ，
在 BCD 中，由余弦定理得：
2 2 2 2BD BC CD BC cos 9CD BCD ，
3BD . BC CD ，
6CBD CDB ，
又 2
3CDE ，
2BDE ，
在 Rt BDE 中， 2 2 5BE BD DE .
（2）在 BAE 中， 2
3
BAE ， 5BE .
由余弦定理得 2 2 2 2 cosBE AB AE AB AE BAE ，
即 2 225 AB AE AB AE ，
故 2 25AB AE
2
2
AB AEAB AE
，
从而 23 254 AB AE ，即 10 3
3AB AE ，
当且仅当 AB AE 时，等号成立，
即设计为 AB AE 时，折线段赛道 BAE 最长.
15．（2020·全国高一单元测试） ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c .已知 1
cos cos
a c b
bc ab ac a C c A
.
（Ⅰ）求角 B ；
（Ⅱ） ABC 的面积为 3 3
2
，其外接圆半径为 3 ，且 c a ，求 c .
【答案】(Ⅰ) 3B ；(Ⅱ) 2 3c .
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得
2 2 2
2cosa c b Bac
，
2 2 2 2 2 2 2cosa c b a c b a c b B
bc ab ac abc abc abc abc b
，
2cos 1
cos cos
B
b a C c A
.
由正弦定理得
2cos 1 1
sin sin cos sin cos sin
B
B A C C A A C
，
又 A C B ， 2cos sin sinB B B ，
又sin 0B 1cos 2B .
0,B ，所以
3B .
（Ⅱ） 2 2 3, 3sin
b r bB
，
由面积公式得 1 3 3 3sin2 4 2ac B ac ，即 6ac .
由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B 得 2 2 2 6 9b a c 即 2 2 15a c .
解得： 2 3
3
a
c
或 3
2 3
a
c
，又 c a ，所以 3, 2 3a c .
16．（2021·山东高三其他模拟）从① sin cos( ) 06b A a B ；② 1cos 2a b C c ；
③ 2 2 2cos sin cos sin sinA C B A C 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.
问题：在 ABC 中， , ,a b c 分别为内角 , ,A B C 的对边，若 3b ，_________，求 ABC 的周长的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【详解】
若选条件①，由正弦定理得 sin sin sin cos( ) 06B A A B ，
因为 0 A ，所以 sin 0A ，所以sin cos( ) 06B B ，
所以 3 1sin cos sin 02 2B B B ，
整理得 1 3sin cos2 2B B ，所以 tan 3B ，
因为 0 πB ，所以 2π
3B .
因为 3b ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac ，
所以 2 2( ) 3 ( )2
a ca c ac ，
所以 23 ( ) 34 a c ，即 2a c ，当且仅当 1a c 时取等号，
所以 ABC 周长的最大值为 2 3 .
若选条件②，因为 1cos 2a b C c ，所以
2 2 2 1
2 2
a b ca b cab
，
整理得 2 2 2a c b ac ，
所以 1cos 2B ，
因为 0 πB ，所以 2π
3B .
因为 3b ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac ，
所以 2 2( ) 3 ( )2
a ca c ac ，
所以 23 ( ) 34 a c ，即 2a c ，当且仅当 1a c 时取等号，
所以 ABC 周长的最大值为 2 3 .
若选条件③，因为 2 2 2cos sin cos sin sinA C B A C ，
所以 2 2 21 sin sin 1 sin sin sinA C B A C ，
所以 2 2 2sin sin sin sin sinA C B A C ，
所以 2 2 2a c b ac ，
所以 1cos 2B ，
因为 0 πB ，所以 2π
3B .
因为 3b ，由余弦定理得 2 2 23 ( )a c ac a c ac ，
所以 2 2( ) 3 ( )2
a ca c ac ，
所以 23 ( ) 34 a c ，即 2a c ，当且仅当 1a c 时取等号，
所以 ABC 周长的最大值为 2 3 .
17．（2021·山东高三二模）在① 3 cos 2 sin 3 cosb A c C a B ，② 2 5cos cos2 4C C
，
③ sin sin2
A Ba c A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
问题：在锐角 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知___________.
（1）求角 C；
（2）若 3AB ， 2AC ，内角 C 的平分线 CE 交边 AB 于点 E，求 CE 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；（1）
3C ；（2） 2 .
【详解】
（1）若选条件①：因为 3 cos 2 sin 3 cosb A c C a B ，
由正弦定理可得 23 sin cos sin cos 2sinB A A B C ，
所以 23sin 2sinA B C ，
因为 A B C ，可得 A B C ，所以 23sin 2sinC C .
因为sin 0C ，所以 3sin 2C ，
又因为 ABC 为锐角三角形，所以
3C .
若选条件②：因为 2 5cos cos2 4C C
，所以 2 5sin cos 04C C ，
即 2 51 cos cos 04C C ，所以 2 1cos cos 04C C ，解得 1cos 2C .
因为 ABC 为锐角三角形，所以
3C .
若选条件③：因为 sin sin2
A Ba c A ，又sin cos2 2
A B C ，所以 cos sin2
Ca c A .
由正弦定理可得sin cos sin sin2
CA C A .
因为sin 0A ，所以 cos sin2
C C ，即 cos 2sin cos2 2 2
C C C .
因为 ABC 为锐角三角形，所以 cos 02
C ，则有 1sin 2 2
C ，所以
2 6
C ，所以
3C .
（2）因为 3AB ， 2AC ，
由正弦定理得 sin 2sin 2
AC CB AB
，
因为 ABC 为锐角三角形，所以
4B ，则 5
12A ，
因为 CE 是角 C 的平分线，所以
6ACE ，
故 5 5
6 12 12CEA ，所以 A CEA ，
则 AEC 为等腰三角形，所以 2AC CE ，故 CE 的长为 2 .
18．（2021·山东高三二模）在① 3sin cos b cC C a
，② 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C ，
③ 2cos ( cos cos )A c B b C a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且________．
（1）求角 A ；
（2）若O 是 ABC 内一点， 120AOB ， 150AOC ， 1b ， 3c ，求 tan ABO ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） 60；（2） 3
9
．
【详解】
方案一：选条件①
（1） sin sin3sin cos sin
b c B CC C a A
3sin sin cos sin sin( ) sinC A C A A C C
整理得 ( 3sin cos )sin sinA A C C
3sin cos 1A A
1sin 30 2A
又 0 180A
60A
（2） 60OAC OAB ， 180 120 60OAB ABO
OAC ABO
在 ABO 中， 3
sin sin120
AO
ABO
2 3sinAO ABO
在 ACO△ 中，
1
sin150 sin sin 30
AO AO
ACO ABO
2sin 30AO ABO
2sin 30( ) 2 3sinABO ABO
整理得 cos 3 3sinABO ABO
3tan 9ABO
方案二：选条件②
（1） 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C
2 2 2b c a bc
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
又 0 180A
60A
（2）同方案一（2）
方案三：选条件③
（1） 2cos ( cos cos )A c B b C a
2cos (sin cos sin cos ) sinA C B B C A
2cos sin sinA A A
1cos 2A
又 0 180A
60A
（2）同方案一（2）
19．（2021·山东德州市·高三二模）在锐角三角形 ABC 中，角 A、 B 、C 的对边分别为 a ，b ， c ，已知
2 π6cos cos 52 A A
．
(1)求 A；
(2)若 2a ，求 2 2b c 的取值范围．
【答案】(1) π
3A ；(2) 2 2 20 ,83b c
．
【详解】
(1)由题意得 26sin cos 5A A ，
整理得 26cos cos 1 0A A ，解得 1cos 2A 或 1cos 3A ．
又 π0, 2A
，所以 1cos 2A ，即 π
3A ；
(2)由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A 得 2 24 b c bc ，
即 2 2 4b c bc ，
由正弦定理得
2 4 3
sin sin sin 33
2
a b c
A B C
，
即 4 3 sin3b B ， 4 3 sin3c C ，而 C= 2π
3 B ，
216 16 2π 8 3 8sin sin sin sin sin cos sin3 3 3 3 3bc B C B B B B B
4 3 4 4 8 π 4sin 2 cos2 sin 23 3 3 3 6 3B B B
，
又
π0 2
2 π0 π3 2
B
B
，解得 π π
6 2B ，
所以 π π 52 π6 6 6B ，所以 π 1sin 2 ,16 2B
，
即 8,43bc
，所以 2 2 204 ,83b c bc
．
20．（2021·山东高三二模）在① (cos ,2 )m B c b ， (cos , )n A a ，且 //m n
ur r ，② 3cos sin3b a C c A ，
③ 2cos cos cos( ) sin sinA A C B B C 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.
已知 ABC 中，三个内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c .
（1）求 A 的值；
（2）若 3a ， ABC 的面积是 3
2
，点 M 是 BC 的中点，求 AM 的长度.
(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】条件选择见解析；（1）
3
；（2） 7
2
.
【详解】
解：选①：由 //m n
ur r 得 cos (2 )cosa B c b A ，
得sin cos 2sin cos sin cosA B C A B A ，得 sin( ) 2sin cosB A C A ，
又sin( ) sinB A C ，sin 0C ，所以 1cos 2A ，又 0 A ，所以
3A .
②因为 3cos sin3b a C c A ，
根据正弦定理得 3sin sin cos sin sin3B A C C A ，
所以 3sin( ) sin cos sin sin3A C A C C A ，
所以 3sin cos cos sin sin cos sin sin3A C A C A C C A ，
所以 3cos sin sin sin3A C C A .因为sin 0C ，所以 tan 3A ，
又 0 A ，所以
3A .
③因为 2cos cos cos( ) sin sinA A C B B C ，
所以 cos [ cos( ) cos( )] sin sinA B C C B B C ，
所以 2cos sin sin sin sinA B C B C .
因为 (0, )B ， (0, )C ，所以sin sin 0B C ，所以 1cos 2A ，
又 0 A ，所以
3A .
（2）在 ABC 中，由 3a ，
3A ，得 2 2 3b c bc .
由 ABC 的面积为 3
2
，得 2bc ，所以 2 2 5b c .
因为 M 是 BC 的中点，所以 1
2AM AB AC
uuur uuur uuur
，
从而 2 2 2 2 21 1 7| | | | 24 4 4AM AB AC AB AC b c bc ，
所以 7
2AM .
21．（2021·山东烟台市·高三一模）将函数 sin 3 cosf x x x 图象上所有点向右平移
6
个单位长度，然后横
坐标缩短为原来的 1
2 (纵坐标不变)，得到函数 g x 的图象.
（1）求函数 g x 的解析式及单调递增区间；
（2）在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 1sin cos3 6 4B B
， , 2 36c g b
，
求 ABC 的面积.
【答案】（1） 2sin 2 6g x x
，单调递增区间为： ,3 6k k k Z
；（2） 3 11
2
或 2 2 .
【详解】
（1） sin 3 cos 2sin 3f x x x x
，
f x 图象向右平移
6
个单位长度得到 2sin 6y x
的图象，
横坐标缩短为原来的 1
2 (纵坐标不变)得到 2sin 6y x
图象，
所以 2sin 2 6g x x
，
令 2 2 22 6 2k x k ，解得
3 6k x k ，
所以 g x 的单调递增区间为： ,3 6k k k Z
（2）由（1）知，
6 2c g
，
因为 2 1sin cos cos3 6 6 4B B B
，所以 1cos 6 2B
又因为 0,B ，所以 7,6 6 6B
，
当 1cos 6 2B
时， ,6 3 6B B ，
此时由余弦定理可知， 24 2 2 cos 126a a ，解得 3 11a ，
所以 1 3 112 3 11 sin2 6 2ABCS
，
当 1cos 6 2B
时， 2 ,6 3 2B B ，
此时由勾股定理可得， 12 4 2 2a ，
所以 1 2 2 2 2 22S △ABC .
22．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c .请在
① cos 3 sinb b C c B ；② 2 cos cosb a C c A ；③ 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
这三个条件中任选一个，完
成下列问题
（1）求角C ；
（2）若 5a ， 7c ，延长 CB 到点 D ，使 21cos 7ADC ，求线段 BD 的长度.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）条件选择见解析，
3C ；（2） 5BD .
【详解】
（1）若选①：∵ cos 3 sinb b C c B ，
∴sin sin cos 3sin sinB B C C B ，又sin 0B ，
∴1 cos 3sinC C ，即 1sin 6 2C
，又 0 C ，
∴ 5
6 6 6C ，即
6 6C ，故
3C .
若选②：∵ 2 cos cosb a C c A ，
∴ 2sin sin cos sin cosB A C C A ，
即 2sin cos sin cos sin cos sin sinB C A C C A A C B ，
又sin 0B ，∴ 1cos 2C ，又 0 C ，
∴
3C ，
若选③：由 2 2 2 4 3
3 ABCa b c S
，则有 4 3 12 cos sin3 2ab C ab C ，
∴ tan 3C ，又 0 C ，
∴
3C .
（2） ABC 中，由余弦定理： 2 25 2 5 cos 493AC AC ，
得 8AC 或 3AC (舍)，
由 21cos 7ADC ，可得 2 7sin 7ADC ，
△ ACD 中， 3 21 1 2 7 5 7sin sin sin 2 7 2 7 14CAD C ADC C ADC ，
由正弦定理得：
sin sin
CD AC
CAD ADC
，即
8
5 7 2 7
14 7
CD ，解得 10CD ，
∴ 5BD CD BC .
23．（2021·山东日照市·高三一模）在 ABC 中 a ，b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边，若
2 sin 2sin sin 2sin sina A B C b C B c .
（1）求 A 的大小；
（2）求 sin sinB C 的最大值.
【答案】（1） 2
3
；（2）1.
【详解】
（1）由己知，根据正弦定理得 22 2 2a b c b c b c
即 2 2 2a b c bc
由余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A
故 1cos 2A ，所以 2
3A .
（2）由（1）得：
3 1sin sin sin sin cos sin sin3 2 2 3B C B B B B B
故当
6B 时， sin sinB C 取得最大值 1.
24．（2021·山东滨州市·高三一模）在平面四边形 ABCD 中， 4AB ， 2 2AD ，对角线 AC 与 BD 交于点 E ，
E 是 BD 的中点，且 2AE EC ．
（1）若 π
4ABD ，求 BC 的长；
（2）若 3AC ，求 cos BAD ．
【答案】（1） 10
2BC ； （2） 2
4
.
【详解】
解：（1）在 ABD△ 中， 4AB ， 2 2AD ， π
4ABD ，
由正弦定理得，
sin sin
AB AD
ADB ABD
，
所以
π4 sin 4sin 1
2 2
ADB
，
因为 0 πADB ，所以 π
2ADB ．
所以 2 2BD ，
所以 2DE BE ， 10AE ．
所以 5cos cos 5AED BEC ．
因为 2AE EC ，所以 10
2EC ．
由余弦定理得，
2 2 2 2 cosBC BE EC BE EC BEC 5 10 52 2 22 2 5
5
2
，
所以 10
2BC ．
（2）因为 3AC ， 2AE EC ，
所以 2AE ．
设 DE BE x ，在 ABD△ 中，由余弦定理得
2 2 22 2 4 4
cos
2 2 2 2
x
ADB
x
．
在 AED 中，由余弦定理得，
2 2 22 2 2
cos
2 2 2
x
ADB
x
，
所以
2 24 8 4
8 2 4 2
x x
x x
，
解得 2 2x ．
所以 4 2BD ．
在 ABD△ 中，由余弦定理得，
2 2 2 16 8 32 2cos 2 416 2
AB AD BDBAD AB AD
．
25．（2020·山东高三专题练习）如图，在直角 ACB△ 中，
2ACB ，
3CAB ， 2AC ，点 M 在线段 AB
上.
（1）若 3sin 3CMA ，求CM 的长；
（2）点 N 是线段CB 上一点， 7MN ，且 1
2BMN ACBS S△ △ ，求 BM BN 的值.
【答案】（1）3；（2） 4 3 .
【详解】
（1）在 CAMV 中，已知
3CAM ， 3sin 3CMA ， 2AC ，由正弦定理，
得
sin sin
CM AC
CAM CMA
，解得
3sin 23 2 3sin 3
3
AC
CM CMA
.
（2）因为 1
2BMN ACBS S△ △ ，所以 1 1 1sin 2 2 32 6 2 2BM BN ，解得 4 3BM BN .
在 BMN 中，由余弦定理得，
22 2 2 32 cos 2 16 2MN BM BN BM BN BM BN BM BN
，
即 22 3( 7) 2 4 3 1 2BM BN
，
22 19 8 3 4 3BM BN ，
故 4 3BM BN .
26．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并
解答．
① 2
6AB AB BC
② 2 2 52b c
③ ABC 的面积为 3 15
在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b－c=2，cosA= 1
4
.
（1）求 a；
（2）求 cos(2 )6C 的值．
【答案】（1）不论选哪种条件，a=8；（2）17 3 7 15
64
.
【详解】
（1）选择条件①：
2
( )AB AB BC AB AB BC
cos 6AB AC bc A
∵ 1cos 4A
∴bc=24
由 24
2
bc
b c
解得 6
4
b
c
或 4
6
b
c
（舍去）
∴ 2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A
∴a=8
选择条件②：
由
2 2 52
2
b c
b c
解得 6
4
b
c
或 4
6
b
c
（舍去）
∴ 2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A
∴a=8
选择条件③：
∵ 1cos 4A
∴ 15sin 4A
1 15sin 3 152 8ABCS bc A bc △
∴bc=24
由 24
2
bc
b c
解得 6
4
b
c
或 4
6
b
c
（舍）
∴ 2 2 2 12 cos 36 16 2 6 4 ( ) 644a b c bc A
∴a=8
（2）
2 2 2
cos 2
a b cC ab
64 36 16
2 8 6
7
8
∴ 49 15sin 1 64 8C
∴ 2 17cos2 2cos 1 32C C
7 15sin 2 2sin cos 32C C C
∴ cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin6 6 6C C C
17 3 7 15
64
27．（2020·山东潍坊市·高三其他模拟）如图，在 ABC 中， 5AB ， 4AC ，点 D 为 ABC 内一点，满足
2BD CD ，且 2cos 2cos 1A DBC .
（1）求 sin
sin
ABC
BCD
的值；
（2）求 cos A.
【答案】（1）2；（2） 11
16 .
【详解】
（1）设 BC a ， AC b ， AB c ，
因为 BD CD ，所以 2BDC DBC ，
所以 2cos cos2 1 2cos cosBDC DBC DBC A .
又 BDC∠ ，A 为三角形的内角，所以 BDC A ，从而sin sinBDC A .
在 ABC 中，
sin sin
a b
A ABC
，
所以 4
sin sin
a
A ABC
同理， 2
sin sin
a
BDC BCD
所以 4 2
sin sinABC BCD
，
所以 sin 2sin
ABC
BCD
.
（2）在 ABC 中，
2 2 2 2 2 2 25 4 41cos 2 2 5 4 40
b c a a aA bc
，
同理
28cos 8
aBDC ，
由（1）可得
2 241 8
40 8
a a ，解得 2 27
2a ，
所以
2741 55 112cos 40 80 16A
.
28．（2020·山东高三专题练习）如图，在△ABC 中， 5: 5:3, 1 sin 5AD DC BD A ， ， 0BA BD
（1）求 BC 的长度；
（2）若 E 为 AC 上靠近 A 的四等分点，求sin DBE .
【答案】（1） 2BC （2） 3 10
10
【解析】（1） 0BA BD ， BA BD ，在 ABD 中， 1BD ， 5sin 5A ，
5AD ， 5cos 5ADB ，又 : 5:3AD DC ， 3 5
5DC ，
在 BCD 中， 5cos 5BDC ，
2 2 2= 2 cosBC CD BD CD BD BDC =4
2BC .
（2）由（1）知 AB=2， 2 5cos 5A ，
ABE 中， 2 2 2 2 cosBE AB AE AB AE A 8
5
，
2 10
5BE ，
在 3 5 2 5sin =5 5BDE DE BDE 中， ， ，
sin sin
DE BE
DBE BDE
，
sin 3 10sin 10
DE BDEDBE BE
.
29．（2020·山东高三专题练习）已知 ABC 中，三个内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ．
（1）证明： cos cosa B b A c ；
（2）在① 2
cos cos
c b a
B A
，② cos 2 cos cosA b A a C ，③ cos cos2 cos
b C c Ba A osA
这三个条件中任选一个补充
在下面问题中，并解答
若 7a ， 5b ，________，求 ABC 的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）选①，选②，选③， ABC 的周长皆为 20
【详解】
（1）根据余弦定理：
2 2 2 2 2 2
cos cos 2 2
a c b b c aa B b A a bac bc
2 2 2 2 2 2
2
a c b b c a cc
，所以 cos cosa B b A c .
（2）选①：因为 2
cos cos
c b a
B A
，所以 2 cos cos cosc A b A a B ，
所以由（1）中所证结论可知， 2 cosc A c ，即 1cos 2A ，
因为 (0, )A ，所以
3A ；
选②：因为 cos 2 cos cosc A b A a C ，所以 2 cos cos cosb A a C c A ，
由（1）中的证明过程同理可得， cos cosa C c A b ，
所以 2 cosb A b ，即 1cos 2A ，因为 (0, )A ，所以
3A ；
选③：因为 cos cos2 cos cos
C Ba b cA A
，所以 2 cos cos cosa A b C c B ，
由（1）中的证明过程同理可得， cos cosb C c B a ，
所以 2 cosa A a ，即 1cos 2A ，因为 (0, )A ，所以
3A ．
在 ABC 中，由余弦定理知， 2 2 2 2 12 cos 25 10 492a b c bc A c c ，
即 2 5 24 0c c ，解得 8c 或 3c （舍），所以 7 5 8 20a b c ，
即 ABC 的周长为 20．
30．（2020·山东高三专题练习）在 ABC 中， a ，b ， c 分别为角 A ， B ，C 对边，且 ABC 同时满足下列四
个条件中的三个：① 2 2 2 2 3
3a c b ac ；② 21 cos2 2sin 2
AA ；③ 3a ；④ 2b .
（1）满足 ABC 有解的序号组合有哪些？
（2）在（1）的组合中任选一组，求 ABC 的面积.
【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案不唯一，具体见解析.
【详解】
（1）由条件①得
2 2 2 2 3 1 3cos 2 3 2 3
a c bB acac ac
，
由条件②得 21 2cos 1 1 cosA A ，即 22cos cos 1 0A A ，
解得 1cos 2A 或 cos 1A （舍），因为 (0,π)A ，所以 π
3A .
因为 3 1 2πcos cos3 2 3B ， (0,π)B ，
而 cosy x 在 (0,π) 单减，所以 2π π3 B .
于是 π 2π π3 3A B ，与 πA B 矛盾.
所以 ABC 不能同时满足①②.
当①③④作为条件时：
有 2 2 2 2 cosb a c ac B ，即 2 2 1c c ，
解得 2 1c .
所以 ABC 有解.
当②③④作为条件时：
有
sin sin
a b
A B
，即
3 2
sin3
2
B
.解得sin 1B .
因为 (0,π)B ，
所以 π
2B ， ABC 为直角三角形，
所以 ABC 有解.
综上所述，满足有解三角形的所有组合为：①③④或②③④.
（2）若选择组合①③④：
因为 (0,π)B ，
所以
2
2 3 6sin 1 cos 1 3 3B B
.
所以 ABC 的面积 1 1 6 2 2sin 3 ( 2 1)2 2 3 2S ac B .
若选择组合②③④：
因为 π
2B ，
所以 2 22 ( 3) 1c
所以 ABC 的面积 1 31 32 2S .
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