资料简介
专练 12 概率统计解答题 （30 题）（山东、海南专用）
1．（2012·山东高三一模（文））某班 t 名学生在 2011 年某次数学测试中，成绩全部介于 80 分与 130 分之间，将
测试结果按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100）…第五组[120，130]，下表是按上述分组方法
得到的频率分布表：
分组 频数 频率
[80,90） x 0.04
[90,100） 9 y
[100,110） z 0.38
[110,120） 17 0.34
[120,130] 3 0.06
（Ⅰ）求 t 及分布表中 x，y，z 的值；
（Ⅱ）设 m,n 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩，求事件 “|m—n|≤10”的概率．
【答案】（Ⅰ）
（II）
【解析】
频率=
频数
样本总量 ，所有频率和是 1，所有频,数和是样本总量；事件 “|m—n|≤10”即从第一组或第五组中任意抽取的
两名学生在同一组中，
写出总量 ．
使|m—n|≤10 成立有 ，故概率为
解：（Ⅰ） ……2 分
……3 分
…5 分
（II）第一组 中有 2 个学生，数学测试成绩设为
第五组[120，130]中有 3 个学生，数学测试成绩设为 A、B、C……1 分
则 可能结果为 ,
共 10 种 ………4 分
使|m—n|≤10 成立有 4 种…………6 分
即事件 的概率为
2．（2017·山东日照市·高三二模（文））近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机
抽取 100 名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第 1，2，3，4，5 组，制成频率分布直方图如下图所示：
(I)在第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 5 名选手，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名选手；
(II)在(I)的前提下，在 5 名选手中随机抽取 2 名选手，求第 4 组至少有一名选手被抽取的概率．
【答案】（I）2 人、2 人、1 人；（II） 7
10 .
【解析】（I）由频率分布直方图易知第 3 组的频率为 0.04 175 170 0.2 ，从而第 3 组的频数为100 0.2 20 ，
同理可得第 4、5 组的频数分别为 20、10，所以第 3、4、5 组共有 50 名选手.
利用分层抽样在 50 名选手中抽取 5 名选手，每组抽取的人数分别为：
第 3 组： 20 5 250
人，第 4 组： 20 5 250
人，第 5 组： 10 5 150
人，
所以第 3、4、5 组分别抽取 2 人、2 人、1 人.
（Ⅱ）设第 3 组的 2 位选手为 1A ， 2A ，第 4 组的 2 位选手为 1B ， 2B ，第 5 组的 1 位选手为 1C ，则从这五位选手
中抽取两位选手有 1 2,A A ， 1 1,A B ， 1 2,A B ， 1 1,A C ， 2 1,A B ， 2 2,A B ， 2 1,A C ， 1 2,B B ， 1 1,B C ，
2 1,B C ，共 10 种.其中第 4 组的 2 位选手 1B ， 2B 中至少有一位选手入选的有： 1 1,A B ， 1 2,A B ， 2 1,A B ，
2 2,A B ， 1 2,B B ， 1 1,B C ， 2 1,B C ，共有 7 种，所以第 4 组至少有一名选手的概率为 7
10 .
3．（2021·山东高三二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓
励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记
1 分，失败方记 0 分，没有平局，首先获得 5 分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 3
5 .
（1）求比赛结束时恰好打了 6 局的概率；
（2）若甲以 3：1 的比分领先时，记 X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求 X 的分布列及期望.
【答案】（1） 582
3125
；（2）分布列答案见解析，数学期望：1966
625 .
【详解】（1）比赛结束时恰好打了 6 局，甲获胜的概率为
4
4
1 5
3 2 3 486
5 5 5 3125P C
，
恰好打了 6 局，乙获胜的概率为
1 4
1
2 5
3 2 2 96
5 5 5 3125P C
，
所以比赛结束时恰好打了 6 局的概率为 1 2
486 96 582
3125 3125 3125P P P .
（2）X 的可能取值为 2，3，4，5，
23 92 5 25P X
，
1
2
2 3 3 363 5 5 5 125P X C ，
2 4
1
3
3 2 3 2 1244 5 5 5 5 625P X C
，
3 3
1 3
4 4
3 2 3 2 3 2 965 5 5 5 5 5 5 625P X C C
.
所以 X 的分布列如下：
X 2 3 4 5
P 9
25
36
125
124
625
96
625
故 9 36 124 96 19662 3 4 525 125 625 625 625E X .
4．（2019·山东青岛市·高考模拟（文））鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自
我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征.某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中
国红鯉”和“中华彩鲤”杂交育种实验.研究所对 200 尾中国红鲤和 160 尾中华彩鲤幼苗进行 2 个月培育后，将根据体
长分别选择生长快的 10 尾中国红鲤和 8 尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育.为了解培育 2个月后全体幼鱼的体长情况，
按照品种进行分层抽样，其中共抽取 40 尾中国红鲤的体长数据（单位： cm ）如下：
5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3
5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7
3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4
6.9 4.8 5.6 5 5.6 6.5 3 6 7 6.6
（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为8.3cm ，它能否被选为种鱼？说明理由；
（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为5.1cm，中华彩鲤样本数据平均值为 4.875cm ，求所有样本数据的
平均值；
（3）如果将 8 尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的 2 尾组合到一起的概率.
【答案】（1）能；（2） 5cm ；（3） 1
7 .
【详解】
（1）能被选为种鱼
200 尾中国红鲤中有10尾能被选为种鱼 40 尾中国红鲤样本中有 2 尾能被选为种鱼
样本数据中身长为8.4cm 和8cm 的中国红鲤能被选为种鱼
身长为 7.5cm以下的中国红鲤不能被选为种鱼
由于8.3 8 ，所以该尾中国红鲤能被选为种鱼
（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为 40160 32200
尾
所有样本数据平均值为 40 5.1 32 4.875 540 32
cm
（3）记体长最长的 2 尾中华彩鲤为 ,A B ，其他 6尾中华彩鲤为 , , , , ,a b c d e f
与 A 组合的中华彩鲤，共有 AB ， Aa ， Ab ， Ac ， Ad ， Ae ， Af 七种情况
所以，体长最长的 2 尾组合到一起的的概率为 1
7
5．（2020·山东淄博市·高三零模）某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有 3 红 2 白共 5
个小球，乙盒中有 1 红 4 白共 5 个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：
规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若
前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出 1 个红球奖励 100 元，每个顾客只有 3 次摸球机会（每次摸
球都不放回）；
规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前
一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出 1 个红球奖励 100 元，每个顾客只有 3 次摸球机会（每次摸球都不
放回）．
（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；
（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．
【答案】（1）138；（2）选择规则一更有利．理由见解析.
【详解】（1）按照规则一，设顾客经过 3 次摸球后摸取的红球个数为 X ，
则 X 可以取 0，1，2，3，则
2 4 1 20 5 5 4 25
P X ；
3 2 4 2 1 4 2 4 3 141 5 4 5 5 5 4 5 5 4 25
P X ；
3 2 2 3 2 1 132 5 4 3 5 4 5 50
P X ；
3 2 1 13 5 4 3 10
P X ．
随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 2
25
14
25
13
50
1
10
在规则一下，顾客摸球获奖励金额的数学期望
2 14 13 1100 100 0 1 2 3 13825 25 50 10
E X ．
（2）若选规则二，设顾客经过 3 次摸球后摸取的红球个数为Y ，则Y 可以取 0，1，2，3
2 4 3 60 5 5 4 25
P Y ；
3 2 4 2 1 1 2 4 1 171 5 4 5 5 5 4 5 5 4 50
P Y ；
3 2 2 3 2 1 2 1 3 82 5 4 3 5 4 5 5 5 4 25
P Y ；
3 2 1 13 5 4 3 10
P Y ．
随机变量Y 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 6
25
17
50
8
25
1
10
规则二下顾客摸球获奖励金额的数学期望为
6 17 8 1100 100 0 1 2 3 12825 50 25 10
E Y ，
因为 100 100E X E Y ，所以选择规则一更有利．
6．（2019·山东济宁市·高考模拟（文））某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设
各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等)．现统计了某班 50 名学生一周用在兴趣爱
好方面的学习时间(单位：h)的数据，按照[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]分成五组，得到了如下的频率分
布直方图．
(1)求频率分布直方图中 m 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间；
(2)从[4，6)，[6，8)两组中按分层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中抽取 2 人，求恰有 1 人在[6，8)组中的概率．
【答案】（1）m=0.1，平均时间为 5.08；（2） 8
15
【详解】
（l）由直方图可得： 0.06 2 0.08 2 0.2 2 2m 0.06 2 1 ，所以 m 0.1 ，
学生的平均学习时间：1 0.12 3 0.16 5 0.4 7 0.2 9 0.12 5.08 ；
（2）由直方图可得： 4,6 中有 20 人， 6,8 中有10人，
根据分层抽样，需要从 4,6 中抽取 4 人分别记为 1 2 3 4A A A A、 、 、 ，
从 6,8 中抽取 2 人分别记为 1 2B B、 ，
再从这 6人中抽取 2 人，所有的抽取方法有
1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3 2 4A A A A A A A B A B A A A A、 、 、 、 、 、 、 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2A B A B A A A B A B A B A B B B、 、 、 、 、 、 、 共 15 种，
其中恰有一人在 6,8 组中的抽取方法有 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1A B A B A B A B A B、 、 、 、 、
3 2 4 1 4 2A B A B A B、 、 共 8 种，
所以，从这 6人中抽取 2 人，恰有1人在 6,8 组中的概率为 8
15
．
7．（2018·山东高三一模（文））为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研
究性学习小组从该校学生中随机抽取了 n 人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数
的 3
4
，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 1
3
．随后，该小组采用分层抽样的方法从这 n 份问卷中继续抽取了 5 份
进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有 3 人．
(1) 现从重点分析的 5 人中随机抽取了 2 人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；
(2) 若有99% 的把握认为“爱看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数 n 至少为多少？
参考数据：
2( )P K k
0．050 0．025 0．010 0．005 0．001
k 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
【答案】（1） 3
10
；（2） 50n .
【详解】(1) 记重点分析的 5 人中喜爱看该节目的为 , ,a b c ，不爱看的为 ,d e ，从 5 人中随机抽取 2 人，所有可能
的结果有 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e ，共 10 种，则这两人都喜欢看该节目
的有 3 种，
∴ 3
10P ，即这两人都喜欢看该节目的概率为 3
10
；
(2)∵进行重点分析的 5 份中，喜欢看该节目的有 3 人，故喜爱看该节目的总人数为 3
5 n ，不喜爱看该节目的总人数
为 2
5 n ；设这次调查问卷中女生总人数为 a ，男生总人数为b ， , *a b N ，则由题意可得 2 2 列联表如下：
喜欢看该节目的人数 不喜欢看该节目的人数 合计
女生 3
4 a 1
4 a a
男生 1
3 b 2
3 b b
合计 3
5 n 2
5 n n
解得： 16 9,25 25a n b n ，
∴正整数 n 是 25 的倍数，设 25n k ， *k N ，则 3 112 , 44 4a k a k ，
1 23 , 63 3b k b k ，则 2
2 25 12 6 3 4 25
16 9 15 10 6
k k k k kK kk k k k
；
由题意得 25 6.635 1.596 k k ，∵ *k N ，∴ 2k ，故 50n .
点睛：独立性检验的一般步骤：
（I）根据样本数据制成 2 2 列联表；
（II）根据公式
2
2 n ad bcK a b a d a c b d
计算 2K 的值；
（III）查表比较 2K 与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种
数学关系，得到的结论也可能犯错误．）
8．（2020·山东高三其他模拟）2020 年 4 月 8 日，武汉市雷神山医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸
是否为阳性，现有 *n nN 份核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份检测，则需要检测 n 次；（2）混合检
测，将其中 k ( *k N ，且 2k
)份核酸样本分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，这 k 份核酸样本全为阴
性，因而这 k 份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这 k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，
就要对这 k 份样本再逐份检测，此时这 k 份核酸样本的检测次数总共为 1k 次.假设在接受检测的核酸样本中，每
份样本的检测结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为 (0 1)p p .
（1）假设有 5 份核酸样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检测方式，求恰好经过 4 次检测就能把阳性样
本全部检测出来的概率.
（2）现取其中 k ( *k N ，且 2k
)份核酸样本，记采用逐份检测方式，样本需要检测的总次数为 1 ，采用混合检
测方式，样本需要检测的总次数为 2 .
①试运用概率统计的知识，若 1 2E E ，试求 p 关于 k 的函数关系式 ( )p f k ；
②若 3
31p
e
，用混合检测方式可以使得样本需要检测的总次数的期望值比逐份检测的总次数期望值更少，求 k
的最大值.
参考数据： ln 2 0.6931,ln3 1.0986,ln 4 1.3863,ln5 1,6094,ln6 1.7918
【答案】（1） 3
5
；（2）①
1
11
k
p k
( *k N ，且 2k
)；② 4 .
【详解】（1）由题意可知
1 2 3
2 3 3
3
5
3
5
C C Ap A
，
故恰好经过 4 次检测就能把阳性样本全部检测出来的概率为 3
5 .
（2）①由已知得 1 2,E k 的所有可能取值为 1， 1k ，
2 21 (1 ) , 1 1 (1 )k kp p p k p .
2 (1 ) ( 1) 1 (1 ) 1 (1 )k k kE p k p k k p .
若 1 2E E ，则 1 (1 ) , (1 ) 1k kk k k p k p ，
即
1 1
1 1 1(1 ) , 1 , 1
k kkp p pk k k
，
故 p 关于 k 的函数关系式为
1
11
k
p k
( *k N ，且 2k
).
②由题意可知 2 1E E ，得 3
1 1(1 ) , 1kp pk e
，
3
1 1 1, ln 3
k
k kk e
，设 1( ) ln ( 0)3f x x x x ，
则 3( ) 3
xf x x
，当 3x 时， ( ) 0f x ，即 ( )f x 在 (3, ) 上单调递减.
4 4 5 5ln 4 1.3863, 1.3333, ln 4 . ln5 1.6094, 1.6667, ln53 3 3 3
.
k 的最大值为 4.
9．（2019·山东淄博市·高三三模（文））某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就 70 名患者治疗后复发的情况
进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为5: 2) ．
（1）补充完整 2 2 列联表中的数据，并判断是否有 99% 把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；
复发 未复发 总计
甲方案
乙方案 2
总计 70
（2）为改进“甲方案”，按分层抽样组成了由 5 名患者构成的样本，求随机抽取 2 名患者恰好是复发患者和未复发
患者各 1 名的概率．
附：
2
0( )P K k
0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
n a b c d ，
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
．
【答案】（1）见解析；（2） 3
5P
【详解】
（1）根据题意知，70 名患者中采用甲种治疗方案的患者人数为 50 人，采用乙种治疗方案的患者人数为 20 人，
补充完整 2 2 列联表中的数据，如图所示；
复发 未复发 总计
甲方案 20 30 50
乙方案 2 18 20
总计 22 48 70
计算观测值得，
2
2 70 (20 18 30 2) 5.966 6.63522 48 50 20K
，
所以没有99% 的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；
（2）在甲种治疗方案中按分层抽样抽取 5 名患者，复发的抽取 2 人，即为 A 、 B ；
未复发的抽取 3 人，记为 c 、 d 、 e ，从这 5 人中随机抽取 2 人，基本事件为：
AB 、 Ac 、 Ad 、 Ae 、 Bc 、 Bd 、 Be 、 cd 、 ce 、 de 共 10 种，
其中 2 人恰好是复发患者和未复发患者各 1 名的基本事件为：
Ac 、 Ad 、 Ae 、 Bc 、 Bd 、 Be 共 6 种，
则所求的概率为 6 3=10 5P ．
10．（2019·山东日照市·高三一模（理））某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为 5 元/瓶.酸奶
在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照 15,25 ， 25,35 ， 35,45 ， 45,55 分组，得到如下频率分布直
方图，以不同销量的频率估计概率.
1 从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶的概率；
2 试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱 50 瓶，批发成本 75元；小箱每箱 30 瓶，批
发成本 60 元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发
一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为 45,55 时看作销量为50 瓶）.
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量 X ，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y ，
求 X 和Y 的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.
【答案】 1 0.657 ； 2 ①详见解析；②应该批发一大箱.
【详解】 1 根据图中数据，酸奶每天销量大于 35 瓶的概率为 (0.02 0.01) 10 0.3 ，不大于 35 瓶的概率为 0.7 .
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于 35 瓶”为事件 A ，则 A 表示“这三天酸奶的销量都不大于
35 瓶”.
所以 3( ) 1 ( ) 1 0.7 0.657P A P A= - = - = .
2 ①若早餐店批发一大箱，批发成本为 75元，依题意，销量有 20 ，30 ， 40 ， 50 四种情况.
当销量为 20 瓶时，利润为5 20 75 25´ - = 元；
当销量为 30 瓶时，利润为5 30 75 75´ - = 元；
当销量为 40 瓶时，利润为5 40 75 125´ - = 元；
当销量为 50 瓶时，利润为5 50 75 175´ - = 元.
随机变量 X 的分布列为
X
25 75
125 175
P
0.3
0.4 0.2 0.1
所以 ( ) 25 0.3 75 0.4 125 0.2 175 0.1 80E X = ´ + ´ + ´ + ´ = （元）
若早餐店批发一小箱，批发成本为 60 元，依题意，销量有 20 ，30 两种情况.
当销量为 20 瓶时，利润为5 20 60 40´ - = 元；
当销量为 30 瓶时，利润为5 30 60 90´ - = 元.
随机变量Y 的分布列为
Y 40 90
P 0.3 0.7
所以 ( ) 40 0.3 90 0.7 75E Y = ´ + ´ = （元）.
②根据①中的计算结果， ( ) ( )E X E Y ，
所以早餐店应该批发一大箱.
11．（2020·嘉祥县第一中学高三一模）为了解某地区初中学生的体质健康情况,统计了该地区 8 所学校学生的体质
健康数据,按总分评定等级为优秀,良好,及格,不及格.良好及其以上的比例之和超过 40%的学校为先进校.各等级学生
人数占该校学生总人数的比例如下表:
比例
学校
等级
学校 A 学校 B 学校 C 学校 D 学校 E 学校 F 学校 G 学校 H
优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3%
良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35%
及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38%
不及格 33% 17% 42% 35% 32% 15% 38% 24%
(1)从 8 所学校中随机选出一所学校,求该校为先进校的概率；
(2)从 8 所学校中随机选出两所学校,记这两所学校中不及格比例低于 30%的学校个数为 X,求 X 的分布列；
(3)设 8 所学校优秀比例的方差为 S12,良好及其以下比例之和的方差为 S22,比较 S12 与 S22 的大小.(只写出结果)
【答案】(1) 1
2
；(2)见解析； (3)S12=S22
【详解】( 1)8 所学校中有 ABEF 四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过 40% ,
所以从 8 所学校中随机取出一所学校,该校为先进校的概率为 1
2
；
(2)8 所学校中,学生不及格率低于 30%的学校有学校 B､F､H 三所,所以 X 的取值为 0,1,2.
2
5
2
8
5( 0) 14
CP X C
1 1
5 3
2
8
15( 1) 28
C CP X C
2
3
2
8
3( 2) 28
CP X C
所以随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 5
14
15
28
3
28
(3)设优秀的比例为随机变量 Y，则良好及以下的比例之和为 Z=1-Y，
则 D Y D Z ，
所以：S12=S22.
12．（2019·山东高三一模（文））李克强总理在 2018 年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新
一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极
响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先
拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 ( , )( 1,2,...,6)i ix y i ，如表所示：
单价 x （千元） 3 4 5 6 7 8
销量 y （百件） 70 65 62 59 56 t
已知
6
1
1 606 i
i
y y
.
（1）若变量 x ，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（百件）关于试销单价 x（千元）的线性回归方程 y bx a $ $ $ ；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与 ix 对应的产品销量的估计值 ˆiy .当销售数据 ( , )i ix y 对应的残差的绝对值
ˆ 1i iy y 时，则将销售数据 ( , )i ix y 称为一个“好数据”.现从 6个销售数据中任取 3 个，求“好数据”至少 2 个的概
率.
（参考公式：线性回归方程中b ， a 的估计值分别为 1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
， a y bx $ $ ）.
【答案】（1） ˆ 4 82y x ；（2） 4
5 .
【详解】（1）由
6
1
1 606 i
i
y y
，可得： 70 65 62 59 56 606
t ，解得： 48t
1
1910
n
i i
i
x y
， =1980nxy ， 2
1
199
n
i
i
x
， 2
=181.5nx
代入可得 1
22
1
1910 1980 70 4199 181.5 17.5
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
ˆˆ 60 4 5.5 82a y bx
线性回归方程为 ˆ 4 82y x
（2）利用（1）中所求的线性回归方程 ˆ 4 82y x 可得：
当 1 3x 时， 1ˆ 70y ；当 2 4x 时， 2ˆ 66y ；当 3 5x 时， 3ˆ 62y ；
当 4 6x 时， 4ˆ 58y ；当 5 7x 时， 5ˆ 54y ；当 6 8x 时， 6ˆ 50y
与销售数据对比可知满足 ˆ| | 1 1,2, ,6i iy y i 的共有 4 个“好数据”： (3,70) 、 (4,65) 、 (5,62) 、 (6,59)
6个销售数据中任取 3 个共有： 3
6 20C 种取法
其中只有1个好数据的取法有 1
4C 4 种取法
至少 2 个好数据的概率为： 4 41 20 5P
13．（2019·山东潍坊市·高考模拟（文））十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，
带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.
农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：
方案一：每台机器售价 7000 元，三年内可免费保养 2 次，超过 2 次每次收取保养费 200 元；
方案二：每台机器售价 7050 元，三年内可免费保养 3 次，超过 3 次每次收取保养费 100 元.
扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器在三年使用期内保养的次数，
得下表：
保养次数 0 1 2 3 4 5
台数 1 10 19 14 4 2
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内的保养次数.
（1）用样本估计总体的思想，求“ x 不超过 2”的概率；
（2）若 y 表示 1 台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和（单位：元），求选用方案一时 y 关于 x 的函数解
析式；
（3）按照两种销售方案，分别计算这 50 台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平
均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？
【答案】（1）0.6；（2） 7000, 2( )
6600 200 , 2( )
x x Ny x x x N
；（3）355600，353300，第二种方案.
【解析】（1）从上表中可以看出 50 台机器维修次数不超过 2 次的台数共 30 台，故“ x 不超过 2”的概率为
1 10 19 0.650P .
（2）当 2x 时， 7000y ；当 2x ， 7000 ( 2) 200 6600 200y x x ，
故 y 关于 x 的函数解析式为 7000, 2( )
6600 200 , 2( )
x x Ny x x x N
.
（3）在方案一中，这 50 台机器售价和保养总费用为
50 7000 14 200 4 200 2 2 200 3 355600 （元）.
所以每年每台平均费用为 7112
3
元.
在方案二中，这 50 台机器售价和保养总费用为 50 7050 4 100 200 2 353300 （元）.
所以每年每台平均费用为 7066
3
元.因为 7112 7066
3 3
，
所以扶贫办应选择第二种方案更合算.
14．（2019·山东威海市·高三二模（理））某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不
影响），已知该蔬菜每售出 1 吨获利 500 元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损 100 元.现统计甲、乙两市场以往
100 个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如下表:
以市场需求量的频率代替需求量的概率.设批发商在下个销售周期购进 吨该蔬菜，在 甲、乙两市场同时销售，以
X （单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T (单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润.
(Ⅰ)当 19n 时，求T 与 X 的函数解析式，并估计销售利润不少于 8900 元的概率；
(Ⅱ)以销售利润的期望为决策依据，判断 17n 与 18n 应选用哪—个.
【答案】(Ⅰ)解析式见解析；槪率为 0.71；(Ⅱ) 18n .
【详解】(Ⅰ)由题意可知，当 19X ， 500 19 9500T ；
当 19X ， 500 (19 ) 100 600 1900T X X X ，
所以T 与 X 的函数解析式为 9500, 19,
600 1900, 19
XT X X
.
由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为 8,9,10 的概率分别为 0.3,0.4,0.3；乙市场需求量为 8，9，10 的概率分
别为 0.2，0.5，0.3.
设销售的利润不少于 8900 元的事件记为 A .
当 19X ， 500 19 9500 8900T ，
当 19X ， 600 1900 8900X ，解得 18X ，
所以 ( ) ( 18)P A P X ．
由题意可知， ( 16) 0.3 0.2 0.06P X ；
( 17) 0.3 0.5 0.4 0.2 0.23P X ；
所以 ( ) ( 18) 1 0.06 0.23 0.71P A P X .
(Ⅱ)由题意得 ( 16) 0.06P X ， ( 17) 0.23P X ，
( 18) 0.4 0.5 0.3 0.3 0.3 0.2 0.35P X ， ( 19) 0.4 0.3 0.3 0.5 0.27P X ，
( 20) 0.3 0.3 0.09P X ．
①当 17n 时，
( ) (500 16 1 100) 0.06 500 17 0.94 8464E T ；
②当 18n 时，
( ) (500 16 2 100) 0.06 (500 17 1 100) 0.23 18 500 0.7 1 8790E T ．
因为8464 8790 ，
所以应选 18n ．
15．（2019·高三一模（文））为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问
卷随机调查了年龄在 20 周岁至 80 周岁的 100 人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：
(1)根据上述统计数据填下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为以 50 岁为分界点对“新农村建设”政策的
支持度有差异；
(2)现从年龄在[70，80]内的 5 名被调查人中任选两人去参加座谈会，求选出两人中恰有一人支持新农村建设的概率．
参考数据：
参考公式：
2
2 n ad bcK n a b c da b c d a c b d
，其中 ．
【答案】（1）2×2 列联表见解析，无 95％的把握（2） 3
5
【详解】（1）根据频数分布，填写 2×2 列联表如下：
年龄低于 50 岁的人数 年龄不低于 50 岁的人数 合计
支持 40 20 60
不支持 20 20 40
合计 60 40 100
计算观测值
2
2 2.778 3.841n ad bcK a b c d a c b d
，
对照临界值表知，无 95％的把握认为以 50 岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；
（2）法一（列举法）： 70,80 的 5 名被调查者中，支持的记为 A1，A2，不支持的记为 A3，A4，A5，
5 人中选 2 人，所有情况如下：
1 2 1 3 1 4 1 5
2 3 2 4 2 5
3 4 3 5 4 5
, , , ,
, , ,
, ,
A A A A A A A A
A A A A A A
A A A A A A
共 10 种,而符合题意的情况有 6 种，分别是 1 3 1 4 1 5
2 3 2 4 2 5
, , ,
, , ,
A A A A A A
A A A A A A
所以，两人中恰有一人支持新农村建设的概率为 6 3
10 5
．
法二：
1 1
2 3
2
5
6 3
10 5
C CP C
.
16．（2019·高三一模（文））2018 年的政府工作报告强调，要树立绿水青山就是金山银山
理念，以前所未有的决心和力度加强生态环境保护.某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况，并计划
采取激励措施引导企业主动落实环保措施，下图给出的是甲、乙两企业 2012 年至 2017 年在环保方面投入金额（单
位：万元）的柱状图.
（Ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数；（结果保留整数）
（Ⅱ）园区管委会为尽快落实环保措施，计划对企业进行一定的奖励，提出了如下方案：若企业一年的环保投入金
额不超过 200 万元，则该年不奖励；若企业一年的环保投入金额超过 200 万元，不超过 300 万元，则该年奖励 20
万元；若企业一年的环保投入金额超过 300 万元，则该年奖励 50 万元.
（ⅰ）分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和；
（ⅱ）现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查，求这两年获得的奖励之和不低于 70 万元的概率.
【答案】(1)见解析;(2) （ⅰ）190 万元,110 万元; （ⅱ） 3
5P .
【解析】
（Ⅰ）由柱状图可知，甲企业这六年在环保方面的投入金额分别为150,290,350,400,300,400 ，
其平均数为 1 150 290 350 400 300 400 3156
（万元）；
乙企业这六年在环保方面的投入金额分别为100,200,300,230,500,300 ，
其平均数为 1 815100 200 300 230 500 300 2726 3
（万元）.
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意可知，企业每年所获得的环保奖励 t x （单位：万元）是关于该年环保投入 x（单位：万元）
的分段函数，即
0, 200
20,200 300
50, 300
x
t x x
x
；
所以甲企业这六年获得的奖励之和为： 0 20 50 50 20 50 190 （万元）；
乙企业这六年获得的奖励之和为： 0 0 20 20 50 20 110 （万元）.
（ⅱ）由（ⅰ）知甲企业这六年获得的奖金数如下表：
年份 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年
奖励（单位：万元） 0 20 50 50 20 50
奖励共分三个等级，其中奖励 0 万元的只有 2012 年，记为 A ；
奖励 20 万元的有 2013 年，2016 年，记为 1 2,B B ；
奖励 50 万元的有 2014 年，2015 年和 2017 年，记为 1 2 3, ,C C C .
故从这六年中任意选取两年，所有的情况为:
1,A B ， 2,A B ， 1,A C ， 2,A C ， 3,A C ， 1 2,B B ， 1 1,B C ， 1 2,B C ， 1 3,B C ，
2 1,B C ， 2 2,B C ， 2 3,B C ， 1 2,C C ， 1 3,C C ， 2 3,C C ，共 15 种.
其中奖励之和不低于 70 万元的取法为： 1 1,B C ， 1 2,B C ， 1 3,B C ， 2 1,B C ， 2 2,B C ， 2 3,B C ， 1 2,C C ，
1 3,C C ， 2 3,C C ，共 9 种.
故所求事件的概率为 9 3
15 5P .
17．（2018·山东济宁市·（文））某快餐代卖店代售多种类型的快餐，深受广大消费者喜爱.其中， A 种类型的快餐
每份进价为8 元，并以每份12 元的价格销售.如果当天 20:00 之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5 元的价格作特
价处理，且全部售完.
（1）若该代卖店每天定制15 份 A 种类型快餐，求 A 种类型快餐当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 x（单
位：份， xN ）的函数解析式；
（2）该代卖店记录了一个月 30 天的 A 种类型快餐日需求量（每天 20:00 之前销售数量）
日需求量 12 13 14 15 16 17
天数 4 5 6 8 4 3
（i）假设代卖店在这一个月内每天定制15 份 A 种类型快餐，求这一个月 A 种类型快餐的日利润（单位：元）的平
均数（精确到 0.1）；
（ii）若代卖店每天定制15 份 A 种类型快餐，以30 天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求 A 种类
型快餐当天的利润不少于52元的概率.
【答案】(1)
7 45, 15,
60, 15,
x xy x
( )x N ；(2)(i)53.5；(ii)0.7.
【解析】（1）当日需求量 15x 时，利润 60y .
当日需求量 15x 时，利润 4 3 15y x x 7 45x .
所以 y 关于 x 的函数解析式为 7 45, 15,
60, 15,
x xy x
x N .
（2）（i）这30天中有 4 天的日利润为 39元，5 天的日利润为 46 元，6天的日利润为 53元，15天的日利润为 60
元，所以这30天的日利润的平均数为 1 (39 4 46 530
53 6 60 15) 53.5 .
（ii）利润不低于52元当且仅当日需求量不少于14 份的概率为 6 8 4 3 0.730P .
18．（2019·山东高考模拟（文））某高校共有 10000 人，其中男生 7500 人，女生 2500 人，为调查该校学生每则
平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 200 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.
调查部分结果如下 2 2 列联表：
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过 4 小时 35
每周平均体育运动时间超过 4 小时 30
总计 200
（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的 2 2 列联表，并判断是否有95%把握认为“该校学生的每周平均体
育运动时间与性别有关”；
（2）已知在被调查的男生中，有 5 名数学系的学生，其中有 2 名学生每周平均体育运动时间超过 4 小时，现从这
5 名学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人“每周平均体育运动时间超过 4 小时”的概率.
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d .
2
0( )P K k 0.10 0.05 0.010 0.005
0k 2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)见解析；(2) 3
5
【详解】
（1）收集女生人数为 2500200 5010000
，男生人数为 200 50 150 ，即应收集 50 为女生，150 位男生的样本数
据，
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不
超过 4 小时
35 20 55
每周平均体育运动时间超
过 4 小时
115 30 145
总计 150 50 200
∴
2
2 200(35 30 20 115) 5000 5.22 3.841150 50 145 55 957K
，
所以有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”
（2）设 ai 表示每周平均体育运动时间超过 4 小时的学生，i=1，2，
bj 表示每周平均体育运动时间不超过 4 小时的学生，j=1，2，3，
从 5 名数学系学生任取 2 人的可能结果构成基本事件，
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 个基
本事件组成，且这些基本事件是等可能的，设 A 表示“2 人中恰有一人每周平均体育运动时间超过 4 小时”，
则 1 1 1 2 1 3 2 1 2 22 3{ }A a b a b a b a b a b a b ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
A 由 6 个基本事件组成，由古典概型概率公式得， 6 3
10 5P A ．
19．（2019·山东潍坊市·高三一模（文））某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方
案①：规定每日底薪 50 元，快递业务每完成一单提成 3 元；方案②：规定每日底薪 100 元，快递业务的前 44 单没
有提成，从第 45 单开始，每完成一单提成 5 元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取 100 天的数
据，将样本数据分为 25,35 ， 35,45 ， 45,55 ， 55,65 ， 65,75 ， 75,85 ， 85,95 七组，整理得到如
图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率；
（2）若骑手甲、乙选择了日工资方案①，丙、丁选择了日工资方案②.现从上述 4 名骑手中随机选取 2 人，求至少
有 1 名骑手选择方案①的概率；
（3）若从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同
组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
【答案】（1） 0.4 ；（2） 5
6
；（3）选择方案（1），理由见解析
【详解】
（1）设事件 A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65单”
依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于 65单的频率分别为： 0.2 ， 0.15， 0.05
0.2 0.15 0.05 0.4P A
（2）设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有1名骑手选择方案（1）”
从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手，有 2
4 6C 种情况
其中至少有1名骑手选择方案（1）的情况有： 1 1 2
2 2 2 5C C C 种情况
5
6P B
（3）由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：
30 0.05 40 0.05 50 0.2 60 0.3 70 0.2 80 0.15 90 0.05 62
方案（1）平均日工资约为：50 62 3 236
方案（ 2 ）平均日工资约为： 100 62 44 5 190
可知方案（ 2 ）平均日工资低于方案（1）平均日工资
故骑手应选择方案（1）
20．（2019·山东泰安市·高考模拟（文））某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取 18 名男性居民，12 名
女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成 3 类：甲类(不参加体育
锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过 5 个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周
参加体育锻炼的时间超过 5 个小时)，调查结果如下表：
(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?
(2)从抽出的女性居民中再随机抽取 2 人进一步了解情况，求所抽取的 2 人中乙类，丙类各有 1 人的概率．
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
2P K k 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1) 有；(2) 3
5 .
【详解】
（1）
2
2 30 18 90 3.81 2.7069 21 18 12K
，
∴有 90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关；
（2）记三名乙类女性居民为 A ， B ，C ，三名丙类女性居民为 a ，b ， d ，从抽出的乙类、
丙类女性居民中随机抽取 2 人的基本事件为： ,A B ， ,A C ， ,A a ， ,A b ，
,A d ， ,B C ， ,B a ， ,B b ， ,B d ， ,C a ， ,B C ， ,C d ， ,a b ，
,a d ， ,b d ，共计 15 个，
抽出的两人中乙类，丙类各有 1 人包含的基本事件为： ,A a ， ,A b ， ,A d ，
,B a ， ,B b ， ,B d ， ,C a ， ,B C ， ,C d ，共计 9 个，
∴抽出的两人中乙类，丙类各有 1 人的概率为：
9 3
15 5P .
21．（2019·高三一模（文））“一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支
付宝、共享单车和网购．2019 年春节期间，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用．某商家统计前 5
名顾客扫描红包所得金额分别为 5.2 元，2.9 元，3.3 元，5.9 元，4.8 元，商家从这 5 名顾客中随机抽取 3 人赠送饮
水杯．
(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过 5 元的概率；
(2)统计一周内每天使用支付宝付款的人数 x 与商家每天的净利润 y 元，得到 7 组数据，如表所示，并作出了散点图．
(i)直接根据散点图判断， y a bx 与 c dxy e 出哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型．
(ii)根据(i)的判断，建立 y 关于 x 的回归方程；若商家当天的净利润至少是 1400 元，估计使用支付宝付款的人数至
少是多少?(a，b，c，d 的值取整数)
参考数据：
附：对于一组数据 1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v… ，，其回归直线 v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
1
2
1
= ,
n
i i
i
n
i
i
u u v v
v u
u u
．
【答案】（1） 9
10
；（2）（ⅰ）y＝a+bx，（ⅱ） 103 13ˆy x ，至少是 116 人
【详解】
（1）记“获得水杯的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 M，5 名顾客中红包超过 5 元的两人分别记为 A1，
A2，不足 5 元的三人分别记为 B1，B2，B3，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，抽取情况如下：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，
A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，共 10 种，其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种
情况，
所以 9
10P M ．
（2）（ⅰ）根据散点图可判断，选择 y＝a+bx 作为每天的净利润的回归方程类型比较适合．
（ⅱ）由最小二乘法求得系数，
7
i i1
7 2
ii 1
x x y y 3484.29 13268.86x
ˆ
x
i
所以 194.29 13ˆˆ 22.86 103a y x ，
所以 y 关于 x 的回归方程为 ˆy ＝﹣103+13x．
若商家当天的净利润至少是 1400 元，则 1400=-103+13x，解得 116x
故使用支付宝付款的人数至少是 116 人.
22．（2019·山东省郓城第一中学高考模拟（文））某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此
种产品的质量指标检测分数不小于 70 时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各
100 件进行检测，其结果如下表：
质量指标检测分数
[50，
60）
[60，
70）
[70，
80）
[80，
90）
[90，100]
甲班组生产的产品件
数
7 18 40 29 6
乙班组生产的产品件
数
8 12 40 32 8
（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
（2）根据以上数据，完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95％的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有
关？
甲班组 乙班组 合计
合格品
次品
合计
（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取 4 件产品，从乙班组生产的产品中抽取 5 件产品，记
事件 A：从上面 4 件甲班组生产的产品中随机抽取 2 件，且都是合格品；事件 B：从上面 5 件乙班组生产的产品中
随机抽取 2 件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）甲：25% ，乙：20% ；（2）没有 95％的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关；（3）
事件 A 发生的可能性大一些
【详解】（1）根据表中数据，甲班组生产该产品的不合格率为 7 18 25%100
，
乙班组生产该产品的不合格率为 8 12 20%100
；
（2）列联表如下：
甲班组 乙班组 合计
合格品 75 80 155
次品 25 20 45
合计 100 100 200
2
2 200 75 20 80 25 0.717 3.841100 100 155 45K
．
所以，没有 95％的把握认为此种产品的产品质量与生产产品的班组有关．
（3）由题意，若按合格与不合格的比例，则抽取了 4 件甲班组产品，5 件乙班组产品，其中甲、乙班组抽取的产品
中均含有 1 件次品，设这 4 件甲班组产品分别为 A1，A2，A3，D，其中 A1，A2，A3 代表合格品，D 代表次品，从
中随机抽取 2 件，则所有可能的情况为 A1A2，A1A3，A1D，A2A3，A2D，A3D 共 6 种，A 事件包含 3 种，故 1
2P A ；
设这 5 件乙班组产品分别为 B1，B2，B3，B4，E，其中 B1，B2，B3，B4 代表合格品，E 代表次品，从中随机抽取 2
件，则所有可能的情况为 B1B2，B1B3，B1B4，B1E，B2B3，B2B4，B2E，B3B4，B3E，B4E 共 10 种，B 事件包含 4 种，
故 2
5P B ；
因为 P（A）＞P（B），所以，事件 A 发生的可能性大一些．
23．（2019·山东省高三一模（文））某公司为了提高利润，从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的
改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：
年 份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
投资金额（万元） 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5
年利润增长（万元） 6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1
（1）请用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程；如果 2019 年该公司计划对生产环节的改进的投资金额是 8 万
元，估计该公司在该年的年利润增长是多少？（结果保留 2 位小数）
（2）现从 2012—2018 年这 7 年中抽取 2 年进行调查，记 =年利润增长－投资金额，求这两年都是 >2（万元）
的概率.
参考公式：回归方程 ˆˆ ˆy bx a 中，
1 1
2 2 2
1 1
ˆ ,
n n
i i i ii i
n n
i ii i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
.ˆˆa y bx
7 7
2
1 1
359.6, 259.i i i
i i
x y x
【答案】（1） ˆ 1.57 1.13y x ，11.43；（2） 2
7
【解析】（1） 6x ， 8.3y ， 7 348.6xy ，
∴
7
1
7 2 2
1
7 359.6 348.6 11 1.571259 7 3
ˆ
6 77
i ii
ii
x y xy
b
x x
，
8.3 1.571 6 1.126 1.13ˆˆa y bx ，
那么回归直线方程为： 1.57 1 3ˆ .1y x
将 8x 代入方程得 1.57 8 1.13 1ˆ 1 .43y
即估计该公司在该年的年利润增长大约为 11.43 万元.
（2）由题意可知，
年
份
2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6
设 2012 年--2018 年这 7 年分别定为 1,2,3,4,5,6,7；则总基本事件为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），
（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），
（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共有 21 种结果，
选取的两年都是 2 万元的情况为：（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7），共 6 种，所以选取
的两年都是 2 万元的概率 6 2
21 7P .
24．（2019·山东济南市·高考模拟（文））某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，改款净水器为三级
过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯需要不定期更换，其中每更换 3 个一级滤芯就
需要更换1个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个 200 元，二级滤芯每个 400 元.记一台净水器在使用
期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为 M .如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯
的个数制成的柱状图.
（1）结合图，写出集合 M ；
（2）根据以上信息，求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元的概率（以100台净水器更换二
级滤芯的频率代替1台净水器更换二级滤芯发生的概率）；
（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受 5 折优惠（使用过程中如需再购买无优惠）.假设上述100台
净水器在购机的同时，每台均购买 a 个一级滤芯、b 个二级滤芯作为备用滤芯（其中b M ， 14a b ），计算
这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据，如果客户购买净水器的同时购买
备用滤芯的总数也为14 个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？
【答案】（1） 3,4M ；（2）0.3；（3）见解析.
【详解】
（1）由题意可知当一级滤芯更换 9、10、11个时，二级滤芯需要更换3 个，
当一级滤芯更换12 个时，二级滤芯需要更换 4 个，所以 3,4M ；
（2）由题意可知二级滤芯更换 3 个，需1200元，二级滤芯更换 4 个，需1600元，
在100台净水器中，二级滤芯需要更换 3 个的净水器共 70 台，二级滤芯需要更换 4 个的净水器共30台，
设“一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于1200元”为事件 A ，所以 30 0.3100P A ；
（3）因为 14a b ，b M ，
（i）若 10a ， 4b ，
则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为
100 10 30 100 10 200 40 100 10 400 30 200 4 100 2000100
（ii）若 11a ， 3b ，
则这100台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为
100 11 70 100 11 200 30 200 3 70 200 3 400 30 1880100
所以如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为14 个，
客户应该购买一级滤芯11个，二级滤芯 3 个．
25．（2019·山东菏泽市·高考模拟（文））2022 年北京冬奥运动会即第 24 届冬季奥林匹克运动会将在 2022 年 2 月
4 日至 2 月 20 日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学生中抽取了
120 人进行调查，经统计男生与女生的人数比为 11:13，男生中有 30 人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有 15 人对
冰壶运动没有兴趣.
（1）完成 2 2 列联表，并判断能否有 99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没有兴趣 合计
男 30
女 15
合计 120
（2）用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取 8 人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从
这 8 人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的 2 人中恰好有 1 位男生和 1 位女生的概率.
附:
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n=a+b+c+d
P 2
0K k 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
0k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635
【答案】（1）见解析（2） 15
28
【详解】
（1）根据题意得如下 2 2 列联表：
所以 2
2 120 30 15 25 50 960= 6.713 6.63555 65 80 40 143K
所以有 99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”.
（2）对冰壶运动有兴趣的学生共 80 人，从中抽取 8 人，抽取的男生数、女生数分别为： 830 380
， 850 580
.
记 3 名男生为 , ,a b c ；女生为 , , , ,A B C D E ，则从中选取 2 人的基本事件为： , , , , , , ;ab ac aA aB aC aD aE
, , , , ,bc bA bB bC bD bE ；
, , , , ,cA cB cC cD cE , , , , , , , , , ,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 共 28 个，
其中 1 男 1 女含有的基本事件为： , , , , , , , , , , , , , ,aA aB aC aD aE bA bB bC bD bE cA cB cC cD cE 共 15 个，所以选取的
2 人中恰好有 1 位男生和 1 位女生的概率为 15
28 .
26．（2019·山东临沂市·高考模拟（文））某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等
文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生 300 名，要求每位学生必须选择参加其中一项活
动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：
(1)在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取 6 名，再从这 6 名学生中抽取 2 人了解家庭情况，求 2 人中至少有
1 名女生的概率；
(2)是否有 99．9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由．
附：参考公式：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
【答案】（1） 3
5
（2）见解析
【详解】
（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为 60 人，女生人数为 30 人，
按性别分层抽取 6 名，则男生被抽取的人数为 606 60 30
=4，女生被抽取的人数为 306 60 30
=2，
记 4 名男生分别为 a,b,c,d，2 名女生为 A，B，则从这 6 名学生中抽取 2 人的情况有（a,b）（a,c）（a,d）（a,A）
（a,B）（b,c）（b,d）（b,A）（b,B）（c,d）（c,A）（c,B）（d,A）（d,B）（A,B）
一共 15 种情况，2 人中至少有 1 名女生共有 9 种情况，概率为 9
15 = 3
5 .
（2）列联表为：
学习积极性高
学习积极性不
高
总计
参加文化活
动
180 30 210
参加体育活
动
60 30 90
总计 240 60 300
2 2
2 300 180 30 60 30 100 14.286240 60 210 90 7
n ad bcK a b c d a c b d
＞10.828
所以有 99．9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．
27．（2018·沂水县第一中学（文））长沙某公司生产一种高科技晶片 100 片，生产过程中由于受到一些不可抗因
素的影响，晶片会受到一定程度的磨损，因此在生产结束之后需要由测试人员进行相应的指标测试.指标测试情况
统计如表所示：
若 60M ，则称该晶片为合格品，否则该晶片为劣质品.
（1）试求本次生产过程中该公司生产出合格品的频率以及数量；
（2）求这批晶片测试指标的平均值；
（3）现按照分层抽样的方法在测试指标在 60,80 与 100,120 之间的晶片中抽取 6 个晶片，再从这 6 个晶片中任
取 2 个晶片进入深入分析，求恰有 1 个晶片的测试指标在 60,80 之间的概率.
【答案】（1）80；（2）74；（3） 1
3
【解析】（1）依题意，该公司生产出合格品的概率 2 3 41 25 25 5P
，
数量为 4100 =805
（片）.
（2）依题意，所求平均值为 2 3 10 8 230 50 70 90 110 7425 25 25 25 25
.
（3）依题意，可知抽取的 6 个晶片中有 5 个晶片的测试指标在 60,80 之间，
记为 , , , ,a b c d e ，1 个晶片的测试指标在 100,120 之间，记为 A ，
则任取 2 个晶片，所有的情况为
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e a A b c b d b e b A c d c e c A d e d A e A ，共 15 种，其中满
足条件的有 5 种，
故所求概率 1
3P .
28．（2018·全国山东省·高三一模（理））我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月
用手机时间总和）的长短将学生分为三类： 第一类的时间区间在 (0,30]，第二类的时间区间在 (30,60]，第三类
的时间区间在 (60,720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅
导.现对我校二年级 1014 名学生进行调查，恰有 14 人属于第三类，这 14 名学生被学校带去政治学习.由剩下的 1000
名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图.
(I) 求这 1000 名学生每月用手机时间的平均数；
(II)利用分层抽样的方法从 1000 名选出 10 位学生代表，若从该 10 名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手
机时间属于不同类型的概率；
(III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续 10 个月，每个月从这 1000 名
学生中随机抽取 1 名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设 X 为获奖学生人数，求 X 的数学期望 ( )E X 与
方差 ( )D X .
【答案】(Ⅰ)23.4 小时；(Ⅱ) 16
45
；(Ⅲ)答案见解析.
【解析】(Ⅰ)平均数为:5 0.010 10 15 0.030 10 25 0.040 10 35 0.010 10
45 0.006 10 55 0.004 10 23.4 （小时）.
(Ⅱ)由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取 10 名学生，其中 8 名为第一类学生，2 名为第二类学生，则从该 10
名学生代表中抽取 2 名学生且这两名学生不属于同一类的概率为
1 1
8 2
2
10
16 .45
C C
C
(Ⅲ)由题可知，这 1000 名学生中第一类学生 80%，
则每月从 1000 名学生中随机抽取 1 名学生，是第一类学生的概率为 0.8，
则连续 10 个月抽取，获奖人数 10,0.8X B ，其数学期望 10 0.8 8E X np （小时），方差
1 10 0.8 0.2 1.6D X np p .
29．（2021·山东高三二模）某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划
购置甲，乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：
品牌 价格（元/件） 使用寿命（月）
甲 1000 7 或8
乙 400 3 或 4
已知甲品牌使用 7 个月或8 个月的概率均为 1
2
，乙品牌使用 3 个月或 4 个月的概率均为 1
2
．
（1）若从 4 件甲品牌和 2 件乙品牌共 6件轴承中，任选 2 件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于 4 个月的概
率；
（2）现有两种购置方案，方案一：购置 2 件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和 2 件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭
配使用）．试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？
【答案】（1） 41
60
；（2）方案二更实惠．
【详解】（1）电动机工作时间不少于 4 个月共有三种情况：
①装入两件甲品牌，概率为
2
4
2
6
2
5
C
C
；
②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为 4 个月，概率为
1 1
4 2
2
6
1 4
2 15
C C
C
；
③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为 4 个月，概率为
2
2
2
6
1 1 1
2 2 60
C
C
.
电动机可工作时间不少于 4 个月的概率为 2 4 1 41
5 15 60 60P ；
（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为 X （单位：月），则 X 的可能取值为 7 、8
1 1 18 2 2 4P X ， 37 1 8 4P X P X ，
所以， X 的分布列为
X 7 8
P 3
4
1
4
3 1 297 84 4 4E X ，它与购置轴承的成本之比为 29
1000 1000 8000
E X
．
若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为Y （单位：月），则Y 的可能取值为 6、 7 、8 ，
1 1 16 2 2 4P Y ， 1 1 17 2 2 2 2P Y ， 1 1 18 2 2 4P Y .
设甲品牌轴承的使用寿命为 M （单位：月），此时电动机可工作时间为 Z （单位：月），则 Z 的可能取值为 6、7 、
8 ，
16 6 4P Z P Y ，
1 3 1 1 57 7, 7 8, 7 2 4 2 2 8P Z P M Y P M Y ，
1 1 18 8 2 4 8P Z P M Y ，
所以， Z 的分布列为：
Z 6 7 8
P 1
4
5
8
1
8
1 5 1 556 7 84 8 8 8E Z ，它与购置轴承的成本之比为
11
1000 400 400 2880
E Z
，
29 11
8000 2880
，从性价比的角度考虑，方案二更实惠．
30．（2020·山东高三专题练习）医院为筛查某种疾病，需要血检，现有 *n nN 份血液样本，有以下两种检验
方式：
方式一：逐份检验，需要检验 n 次；
方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取 2k k 个人的血样各一份混在一起进行检验，如果结果是阴
性，那么对这 k 个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这 k 个人的另一份血样逐份检验，此时这 k
份血液的检验次数总共为 1k 次.
（1）假设有 6 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过 3 次检验就能把阳性
样本全部检验出来的概率；
（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性结
果的概率为 0 1p p .现取其中 k （ *k N 且 2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次
数为 1X ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 2X .
①运用概率统计的知识，若 1 2EX EX ，试求 p 关于 k 的函数关系式 p f k ；
②若 1
51p e
，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，
求 k 的最大值.
参考数据： ln11 2.3978 ， ln12 2.4849 ， ln13 2.5649 .
【答案】（1） 2
15
（2）①
1
*11 , 2
k
p k kk
N ② k 的最大值为 12.
【详解】
（1）记恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检验出来为 A 事件，
则
1 1 2
2 4 2
3
6
2
15
C C AP A A
.
（2）① 1X 的取值为 k ， 1 1P X k ，所以 1EX k ，
2X 的取值为 1， 1k ，计算 2 1 1 kP X p ， 2 1 1 1 kP X k p ，
所以 2 1 1 1 1 1 1k k kEX p k p k k p ，
由 1 2EX EX ，得 1 1 kk k k p ，所以
1
*11 , 2
k
p k kk
N .
② 1
51p e
， 5
2 1
k
EX k ke
，所以 51
k
k ke k
，即 ln 05
kk .
设 ln 5
xf x x ， 1 1 5
5 5
xf x x x
， 0x ，
当 0,5x 时， 0f x ， f x 在 0,5 上单调递增；
当 5,x 时， 0f x ， f x 在 5, 上单调递减.
且 12 ln12 2.4 0f ， 13 ln13 2.6 0f ，
所以 k 的最大值为 12.
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