资料简介
第21章 二次根式
21.1 二次根式（1）
【学习目标】
1．经历二次根式概念的发生过程；
2．了解二次根式的概念；
3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在
简单情况下求根号内所含字母的取值范围．
1.正数有两个平方根且互为相反数；
2.0有一个平方根就是0；
3.负数没有平方根。
平方根的性质：
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
知识回顾
当a是整数时， 表示a的算术平方根，即正数
a的正的平方根；
当a是零时， 等于0，它表示零的平方根，也
叫做零的算术平方根；
当a是负数时， 没有意义。
a
a
a
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
问题1 什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
0的算术平方根是0.
a的平方根是 .a
用 (a≥0)表示.a
观察与思考
正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
问题3 平方根的性质：
问题4 所有实数都有算术平方根吗？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根.
50米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为
______________米。25002 a
?米
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为______.
S
如图所示的值表示正方形的面积，
则正方形的边长是______.
b-3
表示一些正数的算术平方根．
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
新课讲授
a
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根
式.“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数.
二次根式的定义：
理解要点：两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开数a ≥0
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a既可以是一个数，也可以是一个式子.
1. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式 的认识！
知识归纳
4. （双重非负性）0,0 aa
下列各式是二次根式吗?
32 5 (7) , a (6)
， xy (5) m-(4)
,12 (3) 6, (2) ,32 (1)
1
(m≤0), (x,y 异号)
在实数范围内,负数没有平方根
判 断
解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中 +1属于
“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy 0时,怎样化去 中的分母?
观察上面各数并思考：
（1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式
了吗？
（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足
什么条件就可以说它是最简二次根式了？
15 6 2
5 3
a
a
， ，
最简二次根式
15 6 2
5 3
a
a
， ，
可以发现这些式子有如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
简记为：分母
无根号，根号
无分母
解： 2(1) 45 9 5 3 5 3 5
24 40 2 10 2 10(2) 4 9 9 39
解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次
根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简.
如 等.8, 12, 18, 99
典例精析
例5
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
)0b0≥( ，ab
a
b
a
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根
式化简，再考虑如何化去分母中的根号.
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式： ；
（2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次
根式.
知识梳理
4.最简二次根式的概念
被开方数不含分母；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
5.如何化去分母中的根号，请举例说明．
可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基
本性质化去分母中的根号．
6.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？
把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次
根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基
本性质．
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
6234 ＝）（
1a3 －）（ （ ）＝ a－1
522）（ （ ）＝ 10
81）（ （ ）＝ 42
a 1－
5
3
随堂练习
随堂练习
2.化简: 4521215
解：
21.3 二次根式的加减法（一）
【学习目标】
1．知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的
加减法运算；
2．经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方
法；
3．认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培
养乐学、会学的思想．
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
分母不含根号。
二次根式计算、化简的结果应符合什么要求？
知识回顾
自主预习
观察下列二次根式有什么共同特征：
（1） … ， ， ，
（2） … ， ， ，
每组的二次
根式的被开
方数相同
自主预习
， ， ， ， ， （3） …
经过化简后，各
根式被开方数相
同，像这样的几
个二次根式被称
为同类二次根式.
下列根式又有什么共同特征？
二次根式经过化简后，被开方数相同的二
次根式,就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
①化:化成最简二次根式，
②看:看被开方数是否相同,根指数也相同
(都等于2).
知识归纳
典例精析
例1 计算： .3322323
解： 3322323
)333()2223(
.322
同类二次根式合并：
把根号外系数或字母相加减,根指数和被
开方数不变。
注意:不是同类二次根式的二次根式
(如 与 )不能合并
知识归纳
12188
342924 解：原式
322322
3225
强调：先化简，再合并
典例精析
例2 计算：
（3）合并同类二次根式。
一化 二找 三合并
二次根式加减法的步骤：
（2）找出其中的同类二次根式；
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
知识归纳
二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式
(2)把各个同类二次根式合并.
如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加
减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变。
知识归纳
25.3 二次根式的加减法（二）
要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才
能进行合并？
(1)说出 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式.
52
(3)下列各式中哪些是同类二次根式?
33 22683
2327
1
50
1752 ,b
ab,ab,,,,,
同类二次根式
知识回顾
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ 3 2 5
⑵ a b a b
⑶ a b a b
⑷ ( )a a b a a b a
⑸ 1 13 2 03 2a a a a
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
1 27 12 45
252 32 182
5 2 4 2 3 22
27 12 45 解：
3 3 2 3 3 5
3 3 5
5 32 182
解：
5 4 3 22
7 22
典例精析
例2 计算
观察题目的特点，看能否使用乘法公式
整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应。
典例精析
例3 计算
;)12()12()1( .)12()2( 2
.1
1-2
1-2
)12()12(1
22
）（
）（
.22-3
1122-2
)12()2(
22
2
）（
解：
8 3 6+ （ ） ；（1） （2） 4 2 3 6 2 2- （ ） ．
计算：
思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，
最后的目标是什么？（2）呢？
典例精析
与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；
对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；
对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根
式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
典例精析
解：（1）
思考：
（1）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；
第二步的依据是：二次根式乘法法则；
第三步的依据是：二次根式化简．
典例精析
解：（2）
思考：
（2）中，每一步的依据是什么？
第一步的依据是：多项式除以单项式法则；
第二步的依据是：二次根式除法法则．
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，
体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适
用.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2;
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
完全平方公式:
知识归纳
1.同类二次根式的定义.
2.二次根式加减运算的步骤:
(1)把各个二次根式化成最简二次根式；
(2)把各个同类二次根式合并.
3.如何合并同类二次根式
与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作
为结果的系数,根号及根号内部都不变.
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相
同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
知识归纳
1. 计算：
2 ( 3 5 )（1） （2）( 80 40 ) 5
（3）( 5 3)( 5 2)
提示：把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分
别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多
项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.
随堂练习
2( 3 5) 2 3 2 5 6 10 （1）解：
（2）( 80 40) 5 80 5 40 5 4 2 2
（3）
2
( 5 3)( 5 2)
( 5) 2 5 3 5 6
5 5 5 6
11 5 5
2. 计算：
1 5 3 5 3
2 2( 5) ( 3)
5 3
2
用了公式（a+b）（a-b）=a2-b2.
2
2 3 2
2 2( 3) 2 3 2 2
3 4 3 4
7 4 3
用了公式（a+b）2 =a2+2ab+b2.
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