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天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版(2012) / 九年级上册 / 第22章 一元二次方程 / 华师版九年级数学上册第22章一元二次方程

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第22章 一元二次方程 22.1 一元二次方程 【学习目标】 1.了解一元二次方程的概念; 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0),能分清一元二次方程的二次项及系数, 一次项及系数,常数项; 3.了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是 否是一个一元二次方程的根. 1.你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗? 2.什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的? 一般形式:ax+b=0 (a≠0) 3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际 问题,你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗? 1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答. 知识回顾 小区在每两幢楼之间,开辟面积为900平方米 的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,则绿地 的长和宽各为多少? 导入新课 问题一 设矩形绿地的宽为x米,不难列出方程 x(x+10)=900 整理可得 x2+10x-900=0 (1) 小区准备在每两幢楼房之间,设置一块 面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽 多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 探索新知 分析 问题二 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年 年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 分析 设这两年的年平均增长率为x. 已知去年年底的图书数是5万册,则今年 年底的图书数是5(1+x)万册. 同样,明年年底的图书数又是今年年底图 书数的(1+x)倍,即5(1+x)(1+x) =5 (万册).2)1( x 探索新知 可列得方程 5 =7.2 整理可得 (2) 2)1( x 02.2105 2  xx 问题一和问题二分别归结为解方程(1)和(2). 这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?有什 么共同特点? x2+10x-900=0.  (1) 5x2+10x-2.2=0.  (2) 自主探究 以上两个方程中都只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2,这样的 方程叫做一元二次方程 。 一元二 次方程 的概念 一般形式: ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0)。 其 中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数; bx 叫做一次项,b叫做一次项系数; c 叫做常数项。 1.等号两边都是整式 2.只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是2 特点: 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数 是2的整式方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0 (a≠0),一元二次方程的项及系数都是根据 一般式定义的,这与多项式中的项、次数及 其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型(一元二次方程) 的过程中,体会学习一元二次方程的必要性 和重要性。 知识梳理 例题讲解 1.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二 次项、一次项和常数项及它们的系数: 二次项、二次 项系数、一次 项、一次项系 数、常数项都 是包括符号的 )2(5)1(3  xxx •二次项系数是3 •一次项系数是-8 •常数项是-10 解: 01083 2  xx 随堂练习 例题讲解 2.方程(2a—4)x2 —2bx+a=0, 在什么条件 下,方程为一元二次方程?在什么条件下此 方程为一元一次方程? 解:当a≠2时是一元二次方程; 当a=2,b≠0时是一元一次方程 3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元 二次方程的是( ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a B.ax2+2x+4=0 C.ax2+x=x2-1 D.(a2+1)x2=0 D 22.2一元二次方程的解法 22.2.1直接开平方法和因式分解法 【学习目标】 1.体会解一元二次方程降次的转化思想; 2.会利用直接开平方法解形如x2=p或(mx+n)2= p(p≥0)的一元二次方程. 3.了解因式分解法的解题步骤; 4.能用因式分解法解一元二次方程. .2 ;2 )( )( 222 222 baba baba ab ab     完全平方公式: 知识回顾 ___)( ___)( ___)( ___)( 22 22 22 22 ____2 1)4( _____5)3( _____8)2( _____2)1(         yy yy xx xx y y x x )( 2 5 2 2 5 )( 4 1 2 4 1 12 42 试解下列方程 根据平方根的意义,对于题(1) 有这样的解法: 4x   2x  即 通常也表示成: 自主预习 ;4)1( 2 x .01)2( 2 x .2,2 21  xx 这种解一元 二次方程的 方法叫做直 接开平方法. 对于题2,有这样的解法:   1 1 0x x   必有    1 0 1 0x x   或 分别解这两个方程,得 .1,1 21  xx 这种解一元 二次方程的 方法叫做因 式分解法。 做一做 快速回答:下列各方程的根分别是多少? 解下列方程: 典例解析 ;02)1( 2 x .02516)2( 2 x 例1 解 (1)移项,得 直接开平方,得 即 .22 x .2x .22 21  xx , (2)移项,得 方程两边都除以16,得 直接开平方,得 即 2516 2 x 16 252 x 4 5x .4 5 4 5 21  xx , 直接开平方法 解下列方程: 典例解析 例2 ;)( 0231 2  xx .32 2 xx )( 解 (1)方程左边分解因式,得 所以 得 (2)移项,得 方程左边分解因式,得 所以 得 023  )( xx 0230  xx 或 .3 2,0 21  xx 032  xx 0)3( xx 030  xx 或 .3,0 21  xx 因式分解法 这样解是否正确呢? 解:方程的两边同时除以x, 得x=1. 故原方程的解为x=1. 不正确,方程两边同时除以的数不能为零, 还有一个解为x=0. 讨 论 范 例 解下列方程: (1)(x+1)2-4=0; (2)12(2-x)2-9=0 (2)原方程可以变形为: 解:(1)原方程可以变形为: 3.=-,1=∴ ,2=1+2,=-1+ ,4±=1+ ∴4,=1)2+( 2 1 xx xx xx ∴    .2 322 32 2 322 32 4 324 32 21 2    xx xx xx , ,, ,, 知识梳理 1 2x a , x a   用因式分解法解一元二次方程的步骤: 1、方程右边不为零的化为 。 2、将方程左边分解成两个 的乘积。 3、至少 一次因式为零,得到两个一元一次方程。 4、两个 就是原方程的解。 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 随堂练习 x1=3, x2=-3 x1=0, x2=3 2.用因式分解法解下列方程: (⑴)4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6; (⑵)(3) x2+9=-6x ; (4) 9x2=(x-1)2 解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0, x(x-3)=0,得x1=0,x2=3; (2)原方程可以变形为2x2-7x=0, 分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5; (3)原方程可以变形为(x+3)2=0,解得x=-3; (4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得(3x-x+1)(3x+x-1)=0, 解得x1=-0.5,x2=0.25. 第22章一元二次方程 22.2.2 配方法 【学习目标】 1.理解配方法,会运用配方法解一元二次方程; 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程, 体会转化的数学思想. (1) (2) (3)  xx 62 =( + )2x  xx 42 =( )2x  xx 82 =( )2x 左边:所填常数等于一次项系数一半的平方. 23 3 22 2 24 4 2 p 填上适当的数或式,使下列各等式成立. 共同点: ( )22 p =( )2x(4)  pxx2 观察(1)(2)看所 填的数与一次项 系数之间有什么 关系? 自主预习 解方程: 解:原方程左右两边都加上1,得 即 直接开平方,得 所以 即 典例精析 例4 522  xx 6122  xx 6)1( 2 x 61 x 61 x .61,61 21  xx 我们把方程     变形为            以上变形过程: 左边是一个含有未知数的完全平方式, 右边是一个非负常数. 这样,就能应用直接开平方的方法求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 2 2 5x x  知识归纳 6)1( 2 x 2 12 1 0x x  (2)4 典例精析 ;014)1( 2  xx 解方程:例5 .32,32 ,32 .32 ,21222- 4 .14 )1( 21 2 222 2      xx x x xx xx 所以 直接开平方,得 )(即 ),得配方(两边同时加上 原方程可化为解 .2 10 2 3,2 10 2 3 ,2 10 2 3 .4 10 2 3 ,2 3 4 1 2 3 2 32 .4 134 .1124)2( 21 2 22 2 2 2                xx x x xx xx xx 所以 直接开平方,得 即 配方,得 ,得两边同除以 移项,得解 2、把常数项移到方程右边; 3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方, 使左边成为完全平方式; 4、如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平 方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程 无实根。 1、若二次项系数不是1,把二次项系数化为1(方程 两边都除以二次项系数); 你是这样配方的吗? 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的 步骤: 1、配方法:通过配方,将方程的左边化成一个含知 数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直 接开平方求出方程的解的方法。 化简:化二次项系数为1 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 知识梳理 (2) -x2+4x-3=0 (1) x2+12x =-9 1.用配方法解下列方程: 解:(1) 两边同时加上36,得x2+12x+36 =-9+36, 配方得(x+6)2=27,解得 (2)原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得(x-1)(x-3)=0, x1=1,x2=3. 1 26 3 3 6 3 3x , x .      随堂练习 2.用配方法说明:不论k取何实数,多项式k2-3k+5 的值必定大于零. 解: k2-3k+5=(k- )2+ , ∵ (k- )2≥0, ∴ k2-3k+5>0. 3 2 11 4 3 2 随堂练习 3.对于形如x2+px+q=0这样的方程,在什么条件 下才有实数根? 随堂练习 2 2 2 2 2 2 02 4 02 4 4 0 p px px q x q , p px q , p q .                       解: 第22章一元二次方程 22.2.3 公式法 【学习目标】 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解 公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二 次方程; 2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过 程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推 导过程,并应用公式法解一元二次方程. 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 转化为“ ”的形式呢? 2  常数 自主预习 2 0( 0)ax bx c a    0, ,a a 方程两边都除以 得 移项,得 配方,得 解: 2 0b cx xa a    2 b cx xa a    2 2 2 4( )2 4 b b acx a a   a c a b a b a bxx      22 2 2222 即 2 2 2 0 4 4 4 0 b ac a b ac a    当 ,且 大于等 时, 于零吗? 2 4 2 2 b b acx a a    2 4 2 2 b b acx a a    即 x1= x2= 由以上研究的结果,得到了一元二次方程 2 0 ( 0)ax bx c a    的求根公式: 2 4 2 b b acx a    2( 4 0)b ac  利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数a、 b、c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方 法叫做公式法。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式; 4 0ac 2 思考: 当 时,b 方程有解吗? 4 0ac 2b 时,原方程无解 解下列方程: 典例精析 分析 .811044)4(;01245)3( ;24)2(;062)1( 22 22 xxxxx xxxx     .2,2 3 4 71 22 491 2 4 ,49481 62414 ,6,1,2)1( 21 2 22        xx a acbbx acb cba 即 所以 解 .62,62 622 244 244 .024 )2( 21 2 2     xx x acb xx 即 ,所以 ,因为 得将方程化为一般形式,解 25 4 12 0x x   2 5, 4, 12 4 256 a b c b ac         解: 1 2 4 256 4 16 2 5 10 6 , 25 x x x         解 (3) 24 4 10 1 8x x x   (4) 24 12 9 0x x   解:整理,得 2 1 2 4 0 12 0 8 3 2 b ac x x x           这时称方程 有两个相等 的实数根 解 运用公式法解一元二次方程的步骤: (1)把方程化为一般形式,确定a、b、c的值; (2)求出 的值; 2 4b ac (3)若 ,把a、b、c及 的值代入 一元二次方程的求根公式,求出方程的根; 若 ,此时方程无实数解. 2 4b ac 由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得求根公式 : 1、把方程化成一般形式, 并写出a,b,c的值。 2、求出b2-4ac的值。 3、代入求根公式 : 用公式法解一元二次方程的一般步骤: 4、写出方程的解: (a≠0, b2-4ac≥0) 知识梳理 2 4 2 b b acx a    x1= x2= a acbbx 2 42  1.用公式法解下列一元二次方程: 解:(1)原方程即为 22 1 03 3x x   随堂练习 2.解方程: (精确到0.001).2 1 0x x   解: 用计算器求得: 第22章 一元二次方程 22.2.4 一元二次方程根的判别式 【学习目标】 掌握b2-4ac>0,ax2+bx+c=0(a≠0)有两个 不等的实数根,反之也成立;b2-4ac=0,ax2+ bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,反之也成立; b2-4ac<0,ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,反 之也成立;及其它们关系的运用. 用配方法解一元二次方程 2 0ax bx c   把方程两边都除以 2 0b cx xa a  解: a 移项,得 2 b cx xa a    配方,得 2 2 2 2 2 b b c bx xa a a a               即 2 2 2 4 2 4 b b acx a a      (a≠0) 知识回顾 2 4 2 2 b b acx a a   即 因为a≠0,所以 4a2>0; 式子 的值有以下三种情况:acb 42  0 4 4,04)1( 2 2 2  a bb acac 这时 此时,方程有两个不等的实数根 x1= x2= 2 4 2 2 b b acx a a   即 0 4 4,04)2( 2 2 2  a bb acac 这时 此时,方程有两个相等的实数根 a bxx 221  =0 0 4 4,04)3( 2 2 2  a bb acac 这时 而x取任何实数都不可能使 , 因此方程无实数根. 0)2( 2  a bx 当 2 4b ac >0 时,方程的右边是一个正数,方程有两个不 相等的实数根: 2 2 1 2 4 4; ;2 2 b b ac b b acx xa a        当 2 4b ac =0 时,方程的右边是 0,方程有两个相等的 实数根: 1 2 ;2 bx x a    当 2 4b ac <0 时,方程的右边是一个负数,因为在实 数范围内,负数没有平方根.所以,方程没有实数根. 是 决定了一元二次方程根的情况. 分析 3.当方程没有实数根时,有 . 1.当方程有两个不相等的实数根时,有 ; 2.当方程有两个相等的实数根时,有 ; 反过来,对于一元二次程: 2 0( 0)ax bx c a    我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式,用符号“ ”来表示. △ >0 有两个不相等的实根 △=0    有两个相等的实根 △<0    没有实数根 2 4b ac   一元二次方程根的判别式 归纳 反之,同样成立! 下列一元二次方程根的个数: 2(1)2 5 3 0x x     22 3 3 6x x   2(3) 1 0x x   2 4 1 0,b ac   2 4 0,b ac  2 4 3 0,   b ac 方程有两个不相等的根. 方程有两个相等的根. 方程没有实数根. 典知精析 按要求完成下列表格: Δ的值 根的 情况 有两个相等 的实数根 没有实数根 有两个不相 等的实数根 方程判别式 与根 0132 2  xxyy 422 2  0)1(2 2  xx 典知精析 2 (A) 1 B 2 0 C D x x   有两个不相等的实数根 ( )有两个相等的实数根 ( 1.方 )无 程 的根的情况是( 实数根 ( ) ) 无法确定 A 随堂练习 2.不解方程,判断方程的根的情况 2 2 2 2 (1) 5 6 0 (2)3 4 5 (3)3 6 3 0 (4) 2 3 0 x x x x x x x x            有两个不相等的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 随堂练习 B  2 22 1 0 ( ) 1 1 (A) ( ) 2 2 1 1 (C) ( )2 2 x x k x k k k B k k D k         3.若关于 的方程 有实数根, 则 的取值范围是 随堂练习 B 2 4 1 0 A 4 ( ) 4 0 ( ) 1 ( ) 1 0 mx x m m B m m C m D m m          4.如果一元二次方程 有两个不相等 的实数根,那么 的取值范围是( ) ( ) 且 且 随堂练习 第22章 一元二次方程 22.2.5 一元二次方程的 根与系数的关系 【学习目标】 1.理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两根x1,x2与系数a、b、c之间的关系; 2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条 件下,求出方程的另一根,以及方程中的未 知系数; 3.会求已知方程的两根的倒数和与平方和; 4.在推导过程中,培养学生“观察——发现— —猜想——证明”的研究问题的思想与方法. (1)一元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+c=0(a≠0) (2)一元二次方程的根的判别式是什么? 判别式的值 根的情况 2 4b ac   △>0 有两个不相等的实根 △=0    有两个相等的实根 △<0    没有实数根 知识回顾 (3)一元二次方程的求根公式是什么 2 4 2 b b acx a    3 17 4   3 17 4   2 3 2 1 13, 2   2 7 3 2 2 , 13   3 5 2 3 方程 2x2+7x+3=0 3x2+5x+2=0 两个根x1,x2 的值 两根之和 x1+x2 两根之积 x1x2 自主预习 x1+ x2,x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系? 任何一个一元二次方程的根与系数的关系: 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数且a≠0)的两 根为x1、x2,且 则 x1+x2和 x1.x2与系数a,b,c 的关系为: 042  acb 总结归纳 (韦达定理) 例如: 当二次项系数为1时,方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2. 归纳推论 方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 归纳分析 试探索一元二次方程 根与 系数有什么关系? ax2+bx+c=0(a≠0 , )042  acb 分析 ., 1 .0 2121 2 a cxxa bxx a cxa bx a   可得 数的关系,的一元二次方程根与系由二次项系数为 ,得方程两边同时除以 不解方程,求出方程的两根之和与两根之积: 典例解析 例 0532)2(053)1( 22  xxxx .5,3 1)1( 2121 21  xxxx xx 的关系,可得一元二次方程根与系数 的,由上述二次项系数为、设两根为解: .2 5-,2 3 2 3 .02 5-2 3- 2)2( 2121 21 2     xxxx xx xx ,可得、设两根为 ,得方程两边同除以解: 2 2 2 1)1( xx  21 11)2( xx  设 是方程 的两个根, 利用根与系数的关系,求下列各式的值. 21 , xx 0342 2  xx )1)(1)(3( 21  xx 2 212 2 1)4( xxxx  2 1 1 2)5( x x x x  2 21 ))(6( xx  课外拓展 拓展1 1 2 1 2 32 2x x , x x                     2 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 32 2 2 7;2 1 1 2 4 ;3 3 2 3 51 1 1 2 1 ;2 2 3 2 3;2 7 14 ;3 3 2 2 7 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                         10. 由题意知解: 求一个一元二次方程,使它的两个根是2和3, 且二次项系数为1. (x-2)(x-3)=0, x2-5x+6=0. 解: 拓展2 课外拓展 构造新 方程 拓展3 课外拓展 方程 的两根的和为6,一根 为2,求p、q的值. 02  qpxx 若方程的另一个根为x1,由题意得 2+x1=-p=6, 2x1=q, 即x1=4 , p=-6 , q=8. 解: 求方程 中的待 定系数 随堂练习 1.方程 有一个正根,一个负 根,求m的取值范围. 解:由已知得 Δ= 即 m>0 m-1 查看更多

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