天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级上册 / 第23章 图形的相似 / 本章复习与测试 / 华师版九年级数学上册第23章图形的相似
资料简介
23.1.1 成比例线段
第23章 图形的相似
【学习目标】
1．理解比例线段的概念和比例的基本性质；
2．掌握比例线段的判定方法，会运用比例的基本性质
进行变形；
3．通过图形来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理
能力．通过例题的学习，培养学生的灵活运用知识能力；
4．学生通过经历、观察、操作、欣赏，感受图形的相
似，让学生自己去体会生活中的相似，从而理解相似的概
念，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律．
多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变
了吗？大小呢？
引入新课
你能来归归类吗？
内容探究
两个图形的形状 ________，但图形的大
小位置 __________，这样的图形叫做相似图形。
完全相同
不一定相同
归 纳
BA
AB
CB
BC
AB
A B CB
BC
由下面的格点图可知， ＝_________，
＝________，这样 与 之间有关系______=___．
2
1
2
1 AB
A B
BC
B C
自主预习
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果
其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的
比， 如 （或a∶ b＝c∶ d），那么，这
四条线段叫做成比例线段，简称比例线
段．此时也称这四条线段成比例．
d
c
b
a
概 括
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线
段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解： （1） ∵
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．
3
2
6
4
b
a
2
1
10
5
d
c ，
d
c
b
a
，
∴ ，
5 152 35（2）a＝2，b＝ ，c＝ ，d＝ ．
5
52
5
2
b
a
5
52
35
152
d
c（2） ∵
d
c
b
a ，∴
∴ 线段a、b、c、d是成比例线段．
对于成比例线段我们有下面的结论：
d
c
b
a
d
c
b
a
如果 ，那么ad＝bc．如果ad＝bc
（a、b、c、d都不等于0），那么
归纳
比例的基本性质
d
c
b
a
d
dc
b
ba 例2 证明：（1）如果 ，那么 ；
d
c
b
a 证明（1）∵
在等式两边同加上1，
d
dc
b
ba ∴ ．
11
d
c
b
a∴
自主探究
d
c
b
a dc
c
ba
a
（2） 如果 ，那么
d
c
b
a
dc
c
ba
a
∴ ad＝bc，
在等式两边同加上ac，
∴ ad＋ac＝bc＋ac，
∴ ac－ad＝ac－bc，
∴ a（c－d）＝（a－b）c，
两边同除以（a－b）（c－d），
．
∴
c
b
b
a 1．已知：线段a、b、c满足关系式
且b＝4，那么ac＝______．
，
16
课堂练习
2．判断下列各组线段是否成比例．
( 1 ) 4cm、6cm、8cm、2cm.
( 2 ) 1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm.
(2)是 解：(1)不是
解：x＝12；y＝18；z＝24.
课堂练习
这节课的你收获了什么知识？
23.1.2 平行线分线段成比例
【学习目标】
1．使学生掌握平行线分线段成比例定理及推论；
2．会用平行线分线段成比例定理及推论进行计算
或者证明；
3．通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问
题和解决问题的能力．
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应
线段的比相等.
说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线”.
②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.
强化“对应”两字理解和记忆如图
l4
l1
l2
A
B
D
E
F
H
a b
自主预习
翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的.
如图1，在课本上任意画一条直线M与相邻的三条平行线交于A、
B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条
线段相等，即AB＝BC，如图2，再任意画一条直线n与这组平行
线相交，得到两条线段DE和EF，我们同样可以发现所得的这两条
线段相等，即DE＝EF
选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线
m、n与他们相交，如果m、n这两条直线平行，观察
并思考这时所得的AD,DB,FE,EC这四条线段的长度有
什么关系；如果m、n这两条直线不平行，你再观察一
下，也可以量一量，算一算，看看他们是否存在类似
的关系
结论：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（平行线分线段成比例）
如图，当图中的点A与点F重合时，就形成一个
三角形的特殊情形，此时AD、DB、AE、EC
这四条线段之间会有怎样的关系呢？
l2
l3
l1
l3
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边
的延长线)所得的对应线段成比例.
A
B C
D E l2
A
B C
DE l1
自主探究
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得
的三角形与原三角形________.相似
“A”型 “X”型
（图2）
D E
O
B C
A
B C
D E
（图1）
范例：如图所示，l1∥l2∥l3，
AB＝4，DE＝3，EF＝6.求BC的长．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ＝ (平行线分线段成比例)
．
∵AB＝4，DE＝3，EF＝6，
∴ ＝ ，
∴BC＝8.
AB
BC
DE
EF
BC
4
6
3
如图，E为▱ ABCD的边CD延长线上的一点，连结
BE，交AC于点O，交AD于点F.求证： ＝BO
FO
EO
BO
证明：∵AF∥BC，
∴ ＝ (平行线分线段成比例)．
∵AB∥CE.
∴ ＝ (平行线分线段成比例)．
∴ ＝
FO
BO CO
AO
CO
AO
EO
BO
BO
FO
EO
BO
如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
相似
A
B C
D E
证明:在△ADE与△ABC中， ∠A= ∠A
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF∥AB交BC于F，
∵四边形DBFE是平行四边形，
F
∴DE=BF.
∴△ADE∽△ABC.
图中共有____对相似三角形.
已知：如图，AB∥EF ∥CD，
C D
A B
E F
O
3
△EOF∽△COD
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
练一练
如图l1∥l2∥l3 ，试根据图形写出成比例线段.
l3
ab
l1
l2
A
B
C
D
E
F
1.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、
BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC
于N，量得MN=38cm,则AB的为 . 152cm
随堂练习
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____.
A
B C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点
Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写
出来.
解析：与△ABC相似的三角形有3个:
△ADE
△GFC
△GOE
A
B C
D E
F
G
O
4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
A D B
E
C
（2） △ADE∽△ABC
解析: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
∠AED=∠ACB=40°.
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
5. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，
AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E F
∴CD∥AB，
∴ .CD DF
AE AF
设菱形的边长为 x cm，则CD
= AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得x = ∴菱形的边长为 cm.20.9
4
5 4
x x ， 20
9
6.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，
CM交AB于点P,DN ∥CP.
（1）若AB=6cm，求AP的长；
（2）若PM=1cm,求PC的长.解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D,
M是AD的中点,
∴DB=DC,AM=MD.
∵DN ∥CP,
., DC
BD
PN
BN
AD
AM
PN
AP
.BNPNAP
又∵AB=6cm，
∴AP=2cm.
拓展提升
（2）若PM=1cm,求PC的长.
∵DN ∥CP,
.2
1,2
1
PC
ND
BP
BN
ND
PM
AN
AP
又∵PM=1cm，
∴PC=2ND=4PM=4cm.
解：由（1）知AP=PN=NB,
通过本节课的学习，需要掌握：
1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用.
2.判定三角形相似的方法.
23.2 相似图形
【学习目标】
1．从生活中形状相同的图形的实例中认识
图形的相似，理解相似图形的性质和概念；
2．会利用相似图形的性质和概念进行计算
和证明．
判断下列各组图形是不是相似图形?
知识回顾
自主预习
如图是大小不同的两张地图，当然，它们是相似的
图形，设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中相
应的三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地
图中A(A′)与B(B′)两地之间的图上距离和B(B′)与
C(C′)两地之间的图上距离．
AB＝______cm，BC＝______cm；A′B′＝______cm，
B′C′＝______cm.
然后计算： 和 的值，你发现了什么？
AB
A′B′
BC
B′C′
结论： ＝ ，继续测量和计算，会发现所有的对
应线段的比都相等．
AB
A′B′
BC
B′C′
如图1中两个四边形是相似图形，仔细观察这两个图形，
它们的对应边之间是否有以上关系呢？对应角之间又有什么
关系？
再看如图2中两个相似的五边形，是否与你观察图1所得
到的结果一样？
相似多边形
（对应边的比相等）
相似比
相似多边形对应边的比。（k > 0）
若相似比k =1 ，相似
图形有什么关系？
对应边成比例，对应角相等。
概括
全等是一种特殊的相似。
当相似比k =1时， 相似图形即是全等图形。
A
B
C
F
E
D
A1
B1
C1
F1
E1
D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的
相似比为 k1= 2 : 1，
对应边 AB：A1B1= 2 : 1 。
A1
B1
C1
F1
E1
D1
A
B
C
F
E
D
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的
相似比为 k2= 1 : 2，
对应边 AB：A1B1= 1 : 2 。
相似比与叙述的顺序有关。
1. 相似多边形：
对应角相等，对应边成比例。
相似多边形对应边的比。
2. 相似比：
知识梳理
范例：在下图所示的相似四边形中，求边x的长度和角α的大小．
解：∵两个四边形相似，
∴ ＝ ，
∴x＝27，根据对应角相等，
可得α＝360°－(77°＋83°＋116°)＝84°.
12
18
x
18
1. 判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ）
（2）任意两个圆形是相似图形（ ）
（3）对应角相等的两个四边形是相似多边形（ ）
（4）两个正五边形是相似多边形（ ）
（5）两个全等三角形是相似多边形（ ）
（6）两菱形是相似多边形（ ）
（7）两个相似多边形，对应边成比例（ ）
√
√
√
×
√
×
×
随堂练习
2. 五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们
的相似比为1 : 3，（1）若∠D＝135°，则∠D′=
______。
（2）若A′B′=15cm，则AB= ______。
135°
5
3. 一个多边形的边长分别是2、3、4、5、6，
另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这
个多边形的最长边为______ 。 18
4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？
如果相似，相似比是多少？
GF
E H1.5
1
A D
CB
3
2
解：矩形ABCD相似于矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边成比例。
相似比为:
5. 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形
ABCD 与矩形 EABF 相似，AB = 1．
(1) 求BC长；
A
B C
DE
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
1 1
2 2AE AD BC ∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF
相似，AB=1，
∴ ，AB BC
AE AB
∴ AB2 = AE·BC，
∴ .2 11 2 BC BC 解得 2.BC
(2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比.
A
B C
DE
F
解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD
的相似比为：
1 2 .22
AB
BC
23.3.1 相似三角形
【学习目标】
1．理解相似三角形的概念及性质；
2．掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角
形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似；
3．培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力
，感受相似三角形与相似多边形，相似三角形与全
等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的
关系；
4．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发
展学生的推理能力．
1、各角对应相等，各边对应成比例的两个多
边形叫相似多边形
2、三个角对应相等，三条边边对应成比例的
两个三角形叫相似三角形
相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或相
似系数）。
知识回顾
相似用符号“∽”来表示，
读作“相似于”．
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
AC
CA
CB
BC
BA
AB
．
即△ABC与△A′B′C′相似，
记作△ABC∽△A′B′C′，
自主预习
已知：如图DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E.求证
：△ADE∽△ABC.
证明：∵DE∥BC.
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.＝(平行线分线段
成比例)．
过点D作AC的平行线交BC于点F.
(平行线分线段成比例)，
自主探究
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，
又∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC(相似三角形的定义)．
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)
相交,所得的三角形与原三角形________.相似
“A”型 “X”型
（图2）
D E
O
B C
A
B C
D E
（图1）
归纳
例 如图，在△ABC中，是边AB的三等分点，
DE ∥ BC，DE=5，求BC的长。
解：∵DE ∥BC
∴ △ADE ∽ △ABC（平行于三角形一边的直线，和
其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似），
1
3
DE AD
BC AB
3 15BC DE
典例解析
图中共有____对相似三角形.
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
C D
A B
E F
O
3
△EOF∽△COD
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
随堂练习
2.如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、
BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量
得MN=38cm,则AB的长为 . 152cm
3.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____.
A
B C
D
E
F
G
H
I
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
4.如图,已知DE ∥
BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.
A D B
E
C
（2） △ADE∽△ABC
解析: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC
∠AED=∠ACB=40°.
在△ADE中, ∠ADE=180°-40°-45°=95°.
通过本节课的学习，需要掌握：
1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用.
2.判定三角形相似的方法.
知识梳理
23.3.2 相似三角形的判定
【学习目标】
1．初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相
似的条件解决简单的问题；
2．经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的
探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯；
3．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，体会数
学思维的价值．
A
B
C
D
E
F
1. _________________________的两个三角形, 叫做相
似三角形 。
对应边成比例,对应角相等
2. 相似三角形的特征：________________________。对应边成比例，对应角相等
如果△ ABC∽ △DEF, 那么
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
EF
BC
DF
AC
DE
AB
知识回顾
已知：如右图，在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，
∠B＝∠B1.求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明：在边AB或它的延长
线上截取AD＝A1B1，
过点D作BC的平行线交
AC于点E，
则△ADE∽△ABC.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B.在△ADE与△A1B1C1中，
∵∠A＝∠A1，∠ADE＝∠B＝∠B1，AD＝A1B1，
∴△ADE≌△A1B1C1，∴△ABC∽△A1B1C1.
合作探究
三个内角对应相等的两个三角形
一定相似吗？
三个内角对应相等。
观察老师的两个直角三角尺：
从直观上看，这两个三角形相似吗？
如果一个三角形的三个角分别与另一个三
角形的三个角对应相等，那么它们相似吗？
如图24．3．3，任意画两个三角形（可以画在本
书最后所附的格点图上），使其三对角分别对应相
等．用刻度尺量一量两个三角形的对应边，看看两个三
角形的对应边是否成比例．你能得出什么结论？
自主探究
我们可以发现，它们的对应边成比例，即： 如果
一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对
应相等，那么这两个三角形__________．
而根据三角形内角和等于180°，我们知道如果两
个三角形有两对角分别对应相等，那么第三对角也一
定对应相等．
相似
于是，我们可以得到判定两个三角形相似的
一个较为简便的方法：
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
即：两角对应相等的两个三角形相似。
例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形
△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝
∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．
证明 ∵ ∠C＝∠C′＝90°，
∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′
（两角对应相等的两个三角形相
似）．
例2 如图24．3．5，△ABC中，DE∥BC，
EF∥AB，证明： △ADE∽△EFC．
证明：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ ∠ADE＝∠B＝∠EFC，
∴ ∠AED＝∠C，
∴ △ADE∽△EFC（两角对应
相等的两个三角形相似）
如果点D恰好是边AB
的中点，那么点E是边
AC的中点吗？DE和
BC又有什么关系呢？
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E.
∴ △ABC∽△ADE.
1.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
A
B CD
E1 3
2
O
课堂练习
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，
∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
∵ 在△DEF中，∠E=80 °，
∠F=60 °.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
2. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，
∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
CB
FE
D
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD (对顶角相等).
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
3. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证： .AF EF
BF FD
.AF EF
BF FD
D C
A
B
EF
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
方法3：通过两角对应相等。
（这可是今天新学的，要牢记噢！)
方法2：平行于三角形一边的直线。
知识梳理
23.3.2 相似三角形的判定
【学习目标】
1．经历两个三角形相似的探索过程，进
一步发展学生的探究、交流能力．
2．掌握“两组对应边的比相等且它们的
夹角相等的两个三角形相似”及“三边对
应成比例，两个三角形相似”的判定方法
．
3．能够灵活运用三角形相似的条件解决
简单的问题．
判断两个三角形相似,你有哪些方法？
方法1：通过定义（不常用）
方法2：通过平行线。
方法3：两角对应相等。
知识回顾
观察图24．3．6，如果有一点E在边AC上，那么
点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
3
1
AB
AD
图中两个三角形的一组对
应边AD与AB的长度的比
值为 将点E由点A开始
=__________．
在AC上移动，可以发现当
AE＝________AC时，
△ADE与△ABC相似．此时
如果一个三角形的两条边
与另一个三角形的两条边对
应成比例，并且夹角相等，
那么这两个三角形相似吗？
E
自主预习
3
1
3
1
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的
两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条
对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是
否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结
论？
A
B
C D
E
F
如果一个三角形的两条边与另一个三角形
的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这
两个三角形相似．
例4 证明图24．3．7中△AEB和△FEC相
似．
5.136
54
FE
AE 5.130
45
CE
BE
CE
BE
FE
AE
证明 ∵
，
∴
∴ △AEB∽△FEC（如果一个
三角形的两条边与另一个三角
形的两条边对应成比例，并且
夹角相等，那么这两个三角形
相似）．
∵ ∠AEB＝∠FEC，
自主探究
在图24．3．8的方格上任画一个
三角形，再画出第二个三角形，使它的三
边长都是原来三角形的三边长的相同倍
数．画完之后，用量角器比较两个三角形
的对应角，你发现了什么结论？大家的结
论都一样吗？
我们可以发现这
两个三角形相
似．
如果一个三角形的三条边和另一
个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．
在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝8cm，
AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试
证明△ABC与△A′B′C′相似．
3
1
18
6 BA
AB
3
1
24
8 CB
BC
3
1
30
10 CA
AC
CA
AC
CB
BC
BA
AB
证明 ∵
，
∴
∴ △ABC∽△A′B′C′（如果一个三角形的三条边和另一个
三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似）．
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，
解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，
解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
△ADP 和 △ABC 相似．
如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 时，△ADP 和 △ABC 相似. A
B
C
D
4 或 9
P
P
课堂练习
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的
长．
A
B C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD= ， 4
5
AB BC .CD AC
∴
又∵∠B=∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
4
5
AC BC
AD AC
∴ ， 25
4AD .∴
如图，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求证
△ABC ∽△AED.
A
B C
D
E
证明：∵ AB · AD = AE·AC，
AB AC .AE AD
∴
又∵ ∠DAB =∠CAE，
∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，
即∠DAE =∠BAC，
∴ △ABC ∽△AED.
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
54 30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延
长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
两角对应相等,两三角形相似.
相似三角形的判定方法：
两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
●三边对应成比例，两三角形相似。
知识梳理
23.3.3 相似三角形的性质
【学习目标】
1．掌握相似三角形的性质定理的内容及证明，使学
生进一步理解相似三角形的概念；
2．能运用相似三角形的性质定理来解决有关问题；
3．通过由特殊情况猜想到一般情况，渗透由特殊到
一般的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一
步养成严谨科学的学习品质．
1、什么叫做相似三角形？
2、你有几种方法判定两个三角形有相似三角
形？
对应边成比例，对应角相等的三角形是相
似三角形。
知识回顾
两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等
之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图
24．3．9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似
比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么
AD、A′D′之间有什么关系？
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，
因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相
似．那么 kBA
AB
DA
AD
相似三角形对应高的比等于相似比．
自主预习
图24．3．10中（1）、（2）、（3）分别是边长为
1、2、3的等边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝__________，
（2）与（1）的面积比＝__________；
（3）与（1）的相似比＝__________，
（3）与（1）的面积比＝__________．
2：1
4：1
3：1
9：1
相似三角形的面积比等于相似比的平方
面积比和
相似比之
间有什么
联系呢？
当相似比＝k时，面积比＝ 2k
已知：△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、 A′D′分
别是△ABC、 △A′B′C′对应边
BC、 B′C′上的高，求证：
2kS
S
CBA
ABC
．
A
B C
C’
A’
B’
D
D’
证明 ∵ △ABC∽△A′B′C′，
kDA
AD kCB
BC ∴
，
，
∴ 2
2
1
2
1
k
CBDA
BCAD
S
S
CBA
ABC
111 CBA 222 CBA
111 CBA 222 CBA
如图，在正方形网格上有 和
个三角形相似吗？如果相似，请给出证明，并求出
和 的面积比．
，这两
自主探究
图24．3．11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、
A′D′分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别
为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关
系呢？
你可以从中探索
到什么呢？
对应边上的中线的比等于相似比；对
应角上的角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的
周长比是什么？
相似三角形的周长比等于相似比
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角
的角平分线的比等于多少？
2．相似三角形对应边的比为0.4，那么相似比为______，
对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，
面积的比为______．
3∶5
0.16
3、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高
之比为_____，对应中线之比为_____。4:3 4:3
0.4 0.4
0.4
练一练
相似三角形有
哪些性质？
A1
B1 C1
A
B C
知识梳理
ü 对应角相等。
ü 对应边成比例。
ü 对应高的比等于相似比。
ü 对应中线的比等于相似比。
ü 对应角平分线的比等于相似比。
ü 周长比等于相似比。
ü 面积比等于相似比的平方。
相似三角形（多边形）的性质：
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格。
相似比
周长比
面积比
4
16
10
10
100
4
k
k
k2
1
3
1
3
1
9
随堂练习
2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9，则它
们对应边的比为______，对应高的比为______ ，周长的
比为______ 。
3. 如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三
角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为
______ 。
1:3
1:3
1:3
14
4. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线
照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2
米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，
则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小
数)？
A
DE F
CB
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
DE F
CB
H
DF AF
CH AH
，∴ 即 0 6 2
3
.
CH
，
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
2 20.9 2.54CH (平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
23.3.4 相似三角形的应用
【学习目标】
1．通过例题教学使学生进一步理解和应用相似三角
形的判定和性质，并熟练应用这些判定和性质解决实
际生活中的有关问题；
2．在教学过程中，通过鼓励学生个性化学习和大胆
发言，让学生能主动参与、乐于探究、勤于思考．培
养其分析问题和解决问题的能力，以及合作交流自主
探索的新型学习观；
3．通过对生活中数学问题的探讨，使学生经历理论
与实际相结合的全过程，体验数学的实践性，知道数
学来源于生活，而又服务于生活，从而激发其对数学
学习的浓厚兴趣．
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做
相似三角形. 对应边的比是相似比.
A
B
C
E
D
F
相似三角形的定义：
知识回顾
相似三角形的判定方法：
●通过定义
●平行于三角形一边的直线
● 三边对应成比例
●两边对应成比例且夹角相等
●两角对应相等
（三边对应成比例，三角相等）
（SSS）
（AA）
（SAS）
利用三角形的相似如何解决一些不能直接测量的物
体的长度问题？
相似三角形对应边的比相等.
四条对应边中若已知三条则可求第四条.
自主预习
你知道金字塔吗，它们是一些雄伟的建筑
，是古代埃及国王的坟墓，2600年前，埃及
有一个国王，想知道已盖好的大金字塔的高
度，但是他不知道该怎么测量。人爬到塔顶
去吧，不可能。因为塔身是斜的，就是爬上
去了又怎么测量呢？后来国王请来了一个保
叫泰勒斯的学者来帮着他解决了这个问题。
你知道他是如何测出来的吧！下面我们就一
起来看看他的方法。
例 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的
方法：如图1，为了测量金字塔的高OB，先竖一根已
知长度的木棒EF，比较木棒的影长FD与金字塔的影长
OF，即可近似算出金字塔的高度OB。如果EF=1米，
DF=2米，OF=274米，求金字塔的高度OB。
A(F)
B
O
E
D
图1
典例精析
A(F)
B
O
E
D
.2
274
1
,
BO
FD
OA
EF
BO
分析：∵BF∥ED,
∴∠BAO=∠EDF.
又∵∠AOB=∠DFE=90°，
∴△BAO∽△EDF.
∴BO=137
为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，
再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使
EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝
118米，DC＝61米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
A
E
D
C
B
解：∵∠ADB=∠EDC
∴∠ABD=∠ECD=90゜
∴⊿ABD∽⊿ECD（如果一个三角形的
两角与另一个
三角形的两角对应相等，那么这两个
三角形相似）
∴AB︰CE=BD︰CD
解之得：AB=118ⅹ50/61≈96.7
（米）
答：两岸间的大致距离为96.7米。
合作探究
1. 铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降
0.5m时,长臂端点升高______m。 8
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
？
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的
人的影长为3米,则树高为______。 4
课堂练习
3、在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影子长为3 m，
同时测得一栋高楼的影长为90 m,这栋高楼的高度是多少？
54m.
如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处
立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位
置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端
和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树
的高度.
分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，
过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得
△AEM∽△ACN.
A
E
C
DFB
N
A
E
C
DFB
N
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、
标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,
∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA.
∵∠EAM=∠CAN,
∴△AEM∽△ACN ,
∴ .
∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m ,
∴ , ∴CN=3.6（m），
∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.
故树的高度为5.2m.
AN
AM
CN
EM
27
24276.02
CN
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板
DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，
使斜边 DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点 A 在
同一直线上，已知 DE = 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点
D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗杆的水平距离 DC =
20 米，求旗杆的高度. A
B
C D
G
E
F
A
B
C D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，
DC=20米，
则 .DE EF
DC CA
解得：AC = 10，
故 AB = AC + BC
= 10 + 1.5 = 11.5 (m).
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴ 0.5 0.25
20
CA
，
谈谈你在本节课的收获.
23.4 中位线
【学习目标】
1．理解三角形中位线定义与性质；
2．会应用三角形中位线解决实际问题；
3．经历探究三角形中位线定义、性质的过程，感
受三角形中位线定理的应用思想；
4．培养良好的探究意识和合作交流的习惯，体会
数学推理的应用价值．
A
B C
E
v1.ΔABC， BC∥DE,△ ≌△ .
v2. ΔABC，点D、E是AB与AC的中点，
证明DE∥BC。DE与BC之间存在什么样
的数量关系呢？
知识回顾
图中线段DE 是连接ΔABC两边的中点D、E
得到的线段，称此线段DE为ΔABC的中位
线
读一读：
三角形中位线的概念
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一
端是中点，另一端是顶点
A
B C
E
自主预习
• 例1 求证：三角形的一条中位线与第三边
上的中线互相平分．
自主探究
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC。
求证：AE、DE互相平分。
证明：连结DE、EF
∵AD=DB ，BE=EC
∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半）
同理可得EF∥BA
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AE、DF互相平分
• 例2.如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是
边BC、AB的中点，AD、CE相交于G．
求证： 1
3
GE GD
CE AD
证明：连结ED
∵D、E分别是边BC、AB的中点
∴DE∥AC，
∴△ACG∽△DEG
∴
∴
1
2
DE
AC
1
2
GE GD DE
GC GA AC
1
3
GE GD
CE AD
如果在图24．4．4中，取AC的
中点F，假设BF与AD交于G′，如
图24.4.5，那么我们
同理有 ，所以
有 ，即两图中的点G与G′
是重合的．
3
1
BF
FG
AD
DG
3
1
AD
DG
AD
GD
．
思维拓展
猜一猜：
画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连接四边形的
中点，得到的四边形的形状是什么？
如图，四边形ABCD中，E F G H分别是AB CD AD BC的中
点，四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形
连接DB
因为E、H分别是AB、AD的中点 ，
即EH是ΔABD的中位线
所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位
线平行于第三边，并且等于它的一半。
同理可得，FG∥BD FG=½BD
所以EH∥FG，EH=FG
故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B C
D
H
E
F
G
• １．理解三角形中位线的概念：连接三角形两
边的中点的线段叫做三角形的中位线。
• ２．掌握三角形中位线的性质：三角形的中位
线平行与第三边，并且等于它的一半。
• 3．能应用三角形中位线的性质解决有关计算
或说理等问题。
知识梳理
如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠ADE=60°，
则∠B= 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= cm，为什么？
如图2：在△ABC中，D、E、F分别
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= cm
图1
图2
60
4
12
A
B C
D E
B
A C
D
E
F
5
4
3
随堂练习
1、如图（1）ΔABC中，
AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，
D﹑E﹑F分别是ABACBC的中点
则ΔDEF的周长是＿＿＿＿ ，
面积是＿＿＿＿。
2．如图（2）ΔABC中，DE是
中位线，AF是中线，则DE与
AF的关系是＿＿＿＿
3．若顺次连接四边形四边中
点所得的四边形是菱形，则
原四边形（ ）
（A）一定是矩形 （B）一定是菱形
（C）对角线一定互相垂直 （D）对角线一定相等
F
A
B c
D E
(1)
A
C
BD
E F
(2)
互相平分
6cm2
12cm
D
4．D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的
中点．O是△ABC所在平面上的动点，连结OB、OC，点G、F分别
是OB、OC的中点，顺次连结点D、G、F、E.
(1)如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行
四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？(
直接写出答案，不需要说明理由)．
解：(1)∵D、E、G、F分别是AB、AC
、 OB、OC的中点，
∴DE∥BC，GF∥BC，DE＝BC，GF＝
BC，∴DE∥GF，DE＝GF，
∴四边形DGFE是平行四边形．
(2)OA＝BC
23.5 位似图形
【学习目标】
1．了解位似的概念，并会画位似图形；
2．能利用位似的方法将一个图形放大或缩小；
3．培养良好的探究意识和合作交流的习惯，体会
数学推理的应用价值．
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？
w平移：平移的方向,平移的距离.
w旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.
w相似：相似比.
w对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对
称图形)：对称轴,对称中心.
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工
具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
知识回顾
这样放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大
或缩小的图形，与原图是相似的。
这些图形相似吗？
相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形
之间的一个基本变换，可以将一个图形放大或缩小，
保持形状不变．
这节课向大家介绍一种特殊的画相似多
边形的方法．
自主预习
现在要把多边形ABCDE
放大到1．5倍，即新图与原
图的相似比为1．5．
1． 任取一点O；
2． 以点O为端点作射线OA、 OB、OC、……；
3． 分别在射线OA、OB、 OC、……上取点A′、B′、C′、……，
使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝…＝1．5；
4． 连结A′B′、B′C′、……，得到所要画的多边形A′B′C′D′E′．
你能否用逻辑推
理的方法说明其
中的理由？
图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的
连线相交于一点，像这样的相似叫做
（homothety），点O叫
放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一
种位似关系．
O
A
B
C D
E
A’
B’
C’ D’
E’
利用位似的方法，
可以把一个多边形
放大或缩小．
位似图形，
位似中心。
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，
如图24．5．2，作直线OA、OB、OC、OD，在点
O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝
OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到
放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
实际上，如图24．5．3所
示，如果把位似中心取在
多边形内，那么也可以把
一个多边形放大或缩小，
而且较为简便．
任意画一个五边形，再把它放大
到原来的3倍．
自主探究
任选一种方法，按下列相似比画出一个三角形的位似
图形．
（1） 相似比为 ；
2
1
（2） 相似比为2．5．
随堂练习
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2，则OA：OA’=（ ）。
O
A
A’
B
C
B’
C’
1:2
O .
A
B C
A'
C’B’
.
如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似
图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍.
OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2
思考：还有没有其他作法？
O
.
A
B
A'
C’ B’
C
如果位似中心跑到三角形内部呢？
A
B
A’
C’
B’
C
O
以0为中心把△ABC
缩小为原来的一半。
已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，
使它与△ABC位似，且位似比为1:2.
A
B
C
解：画射线OA,OB,OC;在
射线OA,OB,OC上分别取
点D,E,F,使OA = 2OD,OB
= 2OE,OC = 2OF;顺序连
接D,E,F,使△DEF与△ABC
位似,位似比为1：2.
D
E
F
如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且
AB∥CD∥EF，
(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加
以证明；
答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC，
△AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略.
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.
解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，
AB=2，CD=3，
2
3
，AB BE
DC EC
∴ 2
5
，BE EF
BC DC
∴
解得 6
5
EF .
23.6.1 用坐标表示位置
【学习目标】
1．会用平面直角坐标系来确定地理位置，
体会直角坐标系的作用；
2．经历探索用坐标确定位置的过程，掌握
建立适当的直角坐标系描述地理位置的方法
；
3．让学生感受直角坐标系的应用，认识直
角坐标系的应用价值．
如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交
于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做
位似中心, 这时的相似比又称为位似比.
1.什么叫位似图形?
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于位似比
3.利用位似可以把一个图形放大或缩小
知识回顾
D
E
F
A
O
B
C
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
D
E
F A
O
B
C
对应点连线都交于____________
对应线段_______________________________
位似中心
平行或在一条直线上
在八年级学习函数及其图象时，我们曾经建立平面
直角坐标系，用一对有序实数表示平面上点的位置，那
么如何用坐标来表示一个物体的位置？
不少问题中，物体的大小往往可以忽略，因而可以
用点来表示，从而可以用坐标来确定物体所在的位置。
自主预习
某中学夏令营举行野外拉练活动，老师交给大家一
张地图，如图1地图上画了一个平面直角坐标系作为定向
坐标，并给出了四座农舍的坐标（1，2）、（-3，5）、
（4，5）、（0，3）。
目的地位于连结第一座与第三座农舍的直线和连结
第二座与第四座农舍的直线的交点处。利用平面直角坐
标系，同学们很快就到达了目的地。请你在图中画出目
的地的位置。
合作探究
如图是某乡镇的示意图．试建立直角坐标系，用坐标表示
各地的位置
有了平面直角坐标系，我们可以
毫不费力地在平面上确定一个点
的位置．现实生活中我们能看到
许多
1、本节课我学会了……
２、我的体会是……
知识梳理
做一做
小明去某地观察环境污染问题，并且他事先知道下
面的信息：
“悠悠日用化工品厂”在他现在所在地的北偏东
30°的方向，距离此处3千米的地方；
“明天调味品厂”在他现在所在地的南偏东45°的
方向，距离此处2.4千米的地方。
“321水库”在他现在所在地的南偏东27°的方向，
距离此处1.1千米的地方。
根据这些信息，试在图中画出表示各处位置的示意
图。
随堂练习
O小明的位置
悠悠日用化工品厂
明天调味品厂
321号水库
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，
B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将
线段 AB 缩小为原来的 1/2 后得到线段CD.则端点
D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
D
x
y A
BC
D
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－
1)，以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′
三个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′
( ， )，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比
是 .
2
3
2
3
1
3
1 : 3
3. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下
变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘以 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘以 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
4. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位
似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点
坐标为 ( )
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
A
23.6.2 图形的变换与坐标
【学习目标】
1．理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以
及图形上的点的坐标的某种变化引起的图形变换，并
应用于实际问题中；
2．经历图形坐标变化与图形平移、旋转、放大、缩
小等之间的关系，发展学生的形象思维；
3．培养数形结合的思想，感受图形上点的坐标变化
与图形变化之间的关系，认识其应用价值．
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？
w平移：平移的方向,平移的距离.
w旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度.
w相似：相似比.
w对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对
称图形)：对称轴,对称中心.
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具,它不但装点了
我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
知识回顾
1、如果是△ AOB 向左移动4个单位长度，得到△ A ’O’B ’ ，
各顶点的坐标又有什么变化？你能用自已的语言归纳这个规律吗？
A
0 BO’ B’
Y
X
A’
规律(1)左右移
动时，横坐标
左减右加，纵
坐标不变。
自主预习
A
0 2 4 B
2、 将⊿AOB向上或向下移动几个单位长度，你能探
索出图形上下移动的规律吗？
规律:（ 2）上下移动时，横坐标不变,纵坐标上加下减.
Y
X
-5
4
3、将△ AOB沿着x轴对折，得到△ A ’ OB，画图并说
明对应顶点有什么变化？
O
规律：对应点关于x轴对称。即对应点的横坐标相等、
纵坐标互为相反数
Y
X
A
B
A’
0
4、画出⊿ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿y 轴
对折后的⊿A’ B’ C’，并观察对应顶点又有什么样的变化？
规律：对应点关于 y 轴对称。即对应点的横坐标互为相反数、
纵坐标相等
Y
X
A
B
CC’
B’
A’
5、画△ AOB关于原点对称的△ A'O B'， 你有什么发现？
0
规律：对应点关于原点对称。即对应点的横坐标和纵坐
标互为相反数
X
Y
A
BB’
A’
6、如果将⊿AOB缩小，变成⊿COD，它们的相似比是多少？
对应点的坐标有什么变化？
规律： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数
X
6
2
0 2 6
Y
C
D
A
B
O
X
Y
4
-4 -2
A
B
C
2 4
-4
1、画出⊿ABC向下平移4个单位后的图形
2 、画出⊿ABC关于原点对称的图形
3、以O为位似中心，将⊿ABC放大2倍
随堂练习
4.如图所示，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知
道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对
应大鱼上的点 .(－2a，－2b)
5.如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A
和
点 F 的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正
方形的位似中心的坐标是___________________．
(1，0) 或 (－5，－2)
O
x
第23章 小结与复习
【学习目标】
1．运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问
题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，
培养应用数学知识的意识；
2．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由
于图形变化而相应地也发生变化，让学生体会到数
与形之间的关系．
【学习重点】
相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质．
【学习难点】
灵活运用相似三角形的有关知识解题．
相似图形
位似图形
相似多边形
相似三角形
对应角相等
对应边的比相等
周长比等于形似比
面积比等于形似比的平方
相似三角形的判定
应
用
1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
2．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例．
一、比例线段
二、平行线分线段成比例定理
1．定义：对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线
段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线
段叫做比例线段．
2．比例性质：①如果 ，那么ad＝bc；②如果ad＝bc，
那么 ．
1．预备定理：平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边
的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
2．判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
3．判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4．判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
三、相似图形
四、三角形相似的判定方法
1．性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等；
2．两个边数相同的多边形，如果对应边成比例，对应角相等，
那么它们相似．
五、相似三角形的性质
六、中位线
1．相似三角形对应边上的高、中线，对应角的平分线之比等
于相似比．
2．相似三角形的周长之比等于相似比．
3．相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
4．位似可以把图形放大或缩小．
1．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．三角形三条边上的中线交于一点，这个点是三角形的重心，
重心与一边中点的连线的长是对应中线的 .
七、图形的变换与坐标
1．点P(x，y)关于x轴对称点的坐标P′(x，－y)．
2．点P(x，y)关于y轴对称点的坐标P′(－x，y)．
1. 相似图形：
形状相同的图形。
2. 相似多边形：
对应角相等，对应边成比例。
3. 相似比：
相似多边形对应边的比。
1. 相似图形三角形的判定方
法：
ü 通过定义
ü 平行于三角形一边的直线
ü 三边对应成比例
ü 两边对应成比例且夹角相等
ü 两角对应相等
（三边对应成比例，三角相等）
ü 对应角相等。
ü 对应边成比例。
ü 对应高的比等于相似比。
ü 对应中线的比等于相似比。
ü 对应角平分线的比等于相似比。
2. 相似三角形的性质：
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求
解。
（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一
时刻物高与影长成比例”的原理解决。
（2） 测距
ü 对应角相等。
ü 对应边成比例。
ü 对应高的比等于相似比。
ü 对应中线的比等于相似比。
ü 对应角平分线的比等于相似比。
ü 周长比等于相似比。
ü 面积比等于相似比的平方。
相似三角形（多边形）的性质：
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，
DE∶ CE＝2∶ 3，连接AE、BD交于点F，则
S△DEF∶ S△ADF∶ S△ABF等于( )
A．2∶ 3∶ 5
B．4∶ 9∶ 25
C．4∶ 10∶ 25
D．2∶ 5∶ 25
C
2．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且
AC＝6厘米，AD＝4厘米，求AB的长为 厘米．9
3、如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且
DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长︰△ABC的周
长＝ 。
A
B C
D E
1:3
4.右图中,若D,E分别是AB,AC边上的中点,
且DE=4则BC= ＿＿＿＿8
5.右图中, DE∥BC，S△ADE:S四边形DBCE = 1:8,则AE:AC=
＿＿。1:3
BA
C
O
如图:
写出其中的几个等积式
①AC2=
②BC2=
③OC2=
AO×AB
BO×AB
AO×BO
若AC=3,AO=1.写出
A.B.C三点的坐标.
(-1,0) (8,0)
(0,2)
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