天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 北师大版（2012） / 八年级上册 / 第五章 二元一次方程组 / 北师版八年级数学上册第五章测试题含答案
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北师版八年级数学上册第五章测试题含答案
5.1 认识二元一次方程组
一、选择题
1．下列各式中是二元一次方程的是（ ）
A．2x+y=6z B． +2=3y C．3x﹣2y=9 D．x﹣3=4y2
2．若 是关于 x、y 的二元一次方程 ax﹣3y=1 的解，则 a 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．2 D．7
3．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3 分）下列四个方程组中，① ② ③ ④ 二元一次
方程组有______个．
5．以 为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．端午节时，王老师用 72 元钱买了荷包和五彩绳共 20 个，其中荷包每个 4 元，五彩绳每个 3 元．设
王老师购买荷包 x 个，五彩绳 y 个，根据题意，下面列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
8．若方程 6kx﹣2y=8 有一组解 ，则 k 的值等于（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
9．已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．四川雅安地震期间，为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人或 4 人的帐篷，若所搭建
的帐篷恰好（即不多不少）能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A．4 种 B．11 种C．6 种 D．9 种
二、填空题
11.请写出一个二元一次方程组______，使它的解是 ．
12. 写出方程 x+2y=6 的正整数解：______．
三、解答题
13．已知 是方程组 的解，求 k 和 m 的值．
14．（根据题意列二元一次方程组：
（1）两批货物，第一批 360 吨，用 5 节火车皮和 12 辆汽车正好装完；第二批 500 吨，用 7 节火车皮和
16 辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？
（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组 7 人，则余下 3 人；若每组 8 人，则有一组只有 3 人；
求这个课外小组分成几组？共有多少人？
15．已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）yn2﹣3=0 是二元一次方程，求 m，n 的值．
16．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解是 ，求（a+b）2016 的值．
17．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染 ，“□”和“△”表示被
污染的内容，他着急，翻开书后面的答案，这道题的解是 ，你能帮助他补上“□”和“△”的内容吗？
说出你的方法．
18．（根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买 0.8 元与 2 元的邮票共 13 枚，共花去 20 元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？
（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放 4 只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放 5 只，则有一
笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？
19．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为
乙看错了方程②中的 b，得到方程组的解为 ，试计算 a2015+（﹣ b）2016．
答案
一、选择题
1．C；2．D；3．D；4．1；5．C；6．B；7．C；8．D；9．D；10．C；
二、填空题
11．此题答案不唯一，如： ；
12．
三、解答题
13. k=-1，m=3
14. （1）每节火车皮、每辆汽车分别装 60 吨、5 吨；
（2）有 8 组，共有 59 人
15. m=1 n=0
16. 1
17.
18.
19. 0
5.2 求解二元一次方程组
一、填空题
1． 是方程 ax﹣2y=2 的一个解，求 a= ．
2．已知 2x﹣3y=1，用含 x 的代数式表示 y，则 y= ，当 x=0 时，y= ．
3．若|x+y+4|+ =0，则 3x+2y= ．
4．正在修建的渝黔（重庆﹣﹣黔江）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工
程队比乙工程队少用 10 天；若甲、乙两队合作，12 天可以完成．若设甲单独完成这项工程需要 x 天．则
根据题意，可列方程为 ．
二、选择题
5．二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB⊥BC，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的 2 倍少 15°，设∠ABD 与∠DBC 的度数分别为 x，y，
那么下面的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．无论 m 为何实数，直线 y=2x+m 与 y=﹣x+4 的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
三、解答题
8．已知 y=kx+b．如果 x=4 时，y=15；x=7 时，y=24，则 k= ；b= ．
9．解下列方程组：
（1）
（2） ．
10．用作图象的方法解方程组 ．
11．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元．因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，
两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
12．某校有两种类型的学生宿舍 30 间，大的宿舍每间可住 8 人，小的每间可住 5 人，该校 198 个住宿
生恰好住满这 30 间宿舍．大小宿舍各有多少间？
13．甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定价，乙服装
按 40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求
甲、乙两件服装的成本各是多少元？
14．某公园的门票价格如下表：
购票人数 1﹣50 人 51﹣100 人 100 人以上
每人门票数 13 元 11 元 9 元
实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共 104 人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到 50 人，二
（2）班的人数有 50 多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1240 元，如果两
班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班共有多少名学生联合起来购票能
省多少钱？
15．在同一直角坐标系内作出一次函数 和 的图象，直线 与直
线 的交点坐标是多少？你能据此求出方程组 的解吗？
16．小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了 45 元，上月买同重量的这两样菜只要 36 元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨单价上涨 20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．
《第 5 章 二元一次方程组》
参考答案与试题解析
一、填空题
1． 是方程 ax﹣2y=2 的一个解，求 a= ．
【考点】二元一次方程的解．
【分析】把 x、y 的值代入方程中，可得到一个关于 a 的一元一次方程式，解一元一次方程即可．
【解答】解：把 代入方程，得
3a﹣10=2，
解得 a=4．
【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数 a 为未知数的方程．
2．已知 2x﹣3y=1，用含 x 的代数式表示 y，则 y= ，当 x=0 时，y= ．
【考点】解二元一次方程．
【专题】计算题．
【分析】将 x 看做已知数，求出 y 即可；将 x=0 代入计算即可求出 y 的值．
【解答】解：2x﹣3y=1，
变形得：y= ，
将 x=0 代入，得：y=﹣ ．
故答案为： ；﹣
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将 x 看做已知数，y 看做未知数．
3．若|x+y+4|+ =0，则 3x+2y= ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组．
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出 x、y 的值，然后将它们代入 3x+2y 中求解．
【解答】解：由题意，得： ，
解得 ，
则 3x+2y=3×2+2×（﹣6）=﹣6．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中的非负数有三种：绝对值，偶次方，二次根式．
4．正在修建的渝黔（重庆﹣﹣黔江）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工
程队比乙工程队少用 10 天；若甲、乙两队合作，12 天可以完成．若设甲单独完成这项工程需要 x 天．则
根据题意，可列方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】关键描述语为：“若甲、乙两队合作，12 天可以完成”，等量关系为：甲 12 天的工作量+乙
12 天的工作量=1．
【解答】解：甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ．
所列方程为： ．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作
总量÷工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为 1．
二、选择题
5．二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程组的解．
【分析】（1）本题可把选项中的四组 x，y 的值代入方程验证是否满足，若满足则是二元一次方程的解；
（2）将 y=2x 代入 x+2y=10 中解出 x 的值，再把 x 的值代入 y=2x 中解出 y 的值．
【解答】解：将 y=2x 代入 x+2y=10 中，得
x+4x=10，
即 5x=10，
∴x=2．
∴y=2x=4．
∴二元一次方程组 的解为 ．
故选 C．
【点评】此题考查的是对二元一次方程组的解的计算，可通过代入 x，y 的值得出答案，也可以运用代
入法解出 x，y 的值．
6．如图，AB⊥BC，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的 2 倍少 15°，设∠ABD 与∠DBC 的度数分别为 x，y，
那么下面的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；角的计算．
【分析】因为 AB⊥BC，所以∠ABC=90°，则 x+y=90°；∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的 2 倍少 15°，
则 x=2y﹣15．
【解答】解：根据题意，设∠ABD 与∠DBC 的度数分别为 x，y，
可列出方程组 ．
故选 D．
【点评】此题的第一个等量关系从垂直定义可得：∠ABD+∠DBC=90°，第二个等量关系是：∠ABD 的度
数=∠DBC 的度数×2 倍﹣15．
7．无论 m 为何实数，直线 y=2x+m 与 y=﹣x+4 的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】两条直线相交或平行问题．
【专题】计算题．
【分析】直线 y=﹣x+4 经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线 y=2x+m 与直线 y=﹣x+4
的交点不可能在第三象限．
【解答】解：由于直线 y=﹣x+4 的图象不经过第三象限．
因此无论 m 取何值，直线 y=2x+m 与直线 y=﹣x+3 的交点不可能在第三象限．
故选 C．
【点评】本题考查了两条直线相交的问题，需注意应找到完整的函数，进而找到它不经过的象限，那么
交点就一定不在那个象限．
三、解答题
8．已知 y=kx+b．如果 x=4 时，y=15；x=7 时，y=24，则 k= ；b= ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】根据题意可得到方程组得 ，再利用加减消元法科确定 k 得值，然后利用代入法可
确定 b 的值．
【解答】解：根据题意得 ，
②﹣①得 3k=9，
解得 k=3，
把 k=3 代入①得 12+b=15，
解得 b=3．
故答案为 3，3．
【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法把二元一次化为一元一次方程求
解．
9．解下列方程组：
（1）
（2） ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）直接用加减消元法先求出 x，再代入某一个方程求出 y；
（2）把方程①左右两边都乘以 2，然后利用得到的方程与方程①相减即可消去 x，得到关于 y 的一元一
次方程，求出方程的解即可得到 y 的值，把 y 的值代入方程①即可求出 x 的值，得到原方程组的解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②得：
3x=9，
x=3，
把 x=3 代入①得：y=﹣1，
∴ ；
（2） ，
①×2﹣②得：
3y=15，
y=5，
把 y=5 代入①得：x= ．
∴ ．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是消元，消元的方法有两种：①加减法消
元，②代入法消元．当系数成倍数关系时一般用加减法消元，系数为 1 时，一般用代入法消元．
10．用作图象的方法解方程组 ．
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【分析】作出函数 y=﹣ x 和 y=2x﹣5 的图象，交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：由 x+2y=0 得 y=﹣ x，
由 2x﹣y=5 得，y=2x﹣5，
作出图形如图所示，
方程组的解是 ．
【点评】本题要求利用图象求解各问题，先画函数图象，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函
数与方程组之间的关系．
11．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元．因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，
两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】如果设甲商品原来的单价是 x 元，乙商品原来的单价是 y 元，那么根据“甲、乙两种商品原来
的单价和为 100 元”可得出方程为 x+y=100 根据“甲商品降价 10%，乙商品提价 40%，调价后，两种商
品的单价之和比原来的单价之和提高了 20%”，可得出方程为 x（1﹣10%）+y（1+40%）=100（1+20%）．
【解答】解：设甲种商品原来的单价是 x 元，乙种商品原来的单价是 y 元，依题意得
，
解得： ．
答：甲种商品原来的单价是 40 元，乙种商品原来的单价是 60 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的
一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
12．某校有两种类型的学生宿舍 30 间，大的宿舍每间可住 8 人，小的每间可住 5 人，该校 198 个住宿
生恰好住满这 30 间宿舍．大小宿舍各有多少间？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】要求大小宿舍各有多少间，就要设出未知数，根据：宿舍 30 间；大的宿舍每间可住 8 人，小
的每间可住 5 人，该校 198 个住宿生恰好住满这 30 间宿舍．这两个等量关系列方程求解．
【解答】解：设学校大的宿舍有 x 间，小的宿舍有 y 间．
依题意有
解得
答：学校大的宿舍有 16 间，小的宿舍有 14 间．
【点评】做此类题的关键是仔细读题，找准关键描述语：宿舍 30 间；大的宿舍每间可住 8 人，小的每
间可住 5 人，该校 198 个住宿生恰好住满这 30 间宿舍．利用等量关系列出方程组即可解决问题．
13．甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50%的利润定价，乙服装
按 40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求
甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；经济问题；压轴题．
【分析】若设甲服装的成本为 x 元，则乙服装的成本为（500﹣x）元．根据公式：总利润=总售价﹣总
进价，即可列出方程．
【解答】解：设甲服装的成本为 x 元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，
根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500﹣x）﹣500=157，
解得：x=300，500﹣x=200．
答：甲服装的成本为 300 元、乙服装的成本为 200 元．
【点评】注意此类题中的售价的算法：售价=定价×打折数．
14．某公园的门票价格如下表：
购票人数 1﹣50 人 51﹣100 人 100 人以上
每人门票数 13 元 11 元 9 元
实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共 104 人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到 50 人，二
（2）班的人数有 50 多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付 1240 元，如果两
班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班共有多少名学生联合起来购票能
省多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】图表型．
【分析】此题可以设二（1）班有 x 人，二（2）班有 y 人．根据共有 104 人和共付 1240 元列方程组求
解；再进一步根据共有 104 人，每人按 100 元以上的票价，即 9 元．计算出共付的钱数和 1240 进行比
较．
【解答】解：设二（1）班有 x 人，二（2）班有 y 人．
则：
解得：
节省钱数为 1240﹣104×9=304 元．
答：两个班共有 104 名学生联合起来购票能省 304 元．
【点评】此题要注意理解各个人数段对应的票价．
15．在同一直角坐标系内作出一次函数 和 的图象，直线 与直
线 的交点坐标是多少？你能据此求出方程组 的解吗？
【考点】一次函数与二元一次方程（组）．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】在同一坐标系中画出两个一次函数的图象，交点的坐标就是方程组的解．
【解答】解：由图知：两函数图象的交点为（ ，﹣ ），
所以待求方程组的解为 ．
【点评】在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反
过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．
16．小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了 45 元，上月买同重量的这两样菜只要 36 元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%，排骨单价上涨 20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设上月萝卜的单价是 x 元/斤，排骨的单价 y 元/斤，根据小明的爸爸和妈妈的对话找到等量关
系列出方程组求解即可．
【解答】解：设上月萝卜的单价是 x 元/斤，排骨的单价 y 元/斤，根据题意得：
．
解得： ．
这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3，
这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18，
答：这天萝卜的单价是 3 元/斤，排骨的单价是 18 元/斤．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题目找到等量关系并列出方程组．
5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
1. 从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路.星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上
坡每小时行 3 km,下坡每小 时行 5 km,他到姥姥家需要行 66 分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才能
到家.那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
2. 21 枚 1 角与 5 角的硬币，共是 5 元 3 角，其中 1 角与 5 角的硬币各是多少？
设 1角硬币 x 枚，5 角硬币y 枚，填写下表，并求出 x、y 的值.
1 角 5 角 总和
硬币数 x y 21
钱数 5 元 3 角
3 小兰在玩具厂劳动，做 4 个小狗、7 个小汽车用去 3 小时 42 分，做 5 个小狗、6 个小汽车用去 3
小时 37 分.平均做一个小狗与 1 个小汽车各用多少时间？
设做 1 个小狗用 x 分，做 1 个小汽车用 y 分，填写下表，并求出 x、y 的值.
小狗 小汽车 总数
用时
用时
4. 某中学某班买了 35 张电影票，共用 250 元,其中甲种票每张 8 元，乙种票每张 6 元，甲、乙两种
票各买多少张？
设甲、乙两种票分别买了 x 张、y 张，填写下表，并求出 x、y 的值.
甲 乙 总和
票数 x y
钱数
5. 有大小两种盛米的桶，已经知道 5 个大桶加上一个小桶可以盛 3 斛米，1 个大桶加上 5 个小桶可
以盛 2 斛米，问 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛多少斛米？
设大桶盛米量为 x 斛，小桶盛米量为 y 斛，填写下表，并求出 x、y 的值.
大桶 小桶 总量
盛米
盛米
参考答案
1.设小华到姥姥家上坡路有x km,下坡路有 y km,那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路
y km,下坡路 x km.
根据题意得：
60
78
53
60
66
53
xy
yx
由①得：10x+6y=33 ③
由②得：10y+6x=39 ④
③×10 得：100x+60y=330 ⑤
④×6 得：36x+60y=234 ⑥
⑤－⑥得：x=1.5
将 x=1.5 代入③得：15+6y=33,∴y=3
∴
3
5.1
y
x
所以，小华到姥姥家有 1.5 km 上坡路，3 km 下坡路，姥姥家离小华家 4.5 km.
2.
535
21
yx
yx ,解得
8
13
y
x 填表略
3.
3760365
4260374
yx
yx ，解得
22
17
y
x 表略
4.
25068
35
yx
yx ,解得
15
20
y
x 表略
5.
25
35
yx
yx ,解得
24
7
24
13
y
x
表略
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
①
②
一计救厂
硫酸厂接到一批订单，急需一批浓度为 60%的硫酸 1200 吨.厂长高兴地叫来生产科长告诉他快去准
备.可生产科长一听就发愁了，说：“我们还有一大批浓度 70%和浓度 55%的硫酸，却没有浓度 60%的硫
酸，如果现在生产恐怕时间来不及了.”厂长一听就火：“我们已经订了合同，又收了人家的钱，如果到
期交不了货，还得赔违约金，搞不好，这 个月连工资都发不了，快去想想办法.”
生产科长愁眉苦脸回到车间.技术员小张忙过来询问发生了什么事.听科长一说，小张想了想，又拿
出纸笔算了算，高兴地说：“科长，我们可以用现有的两种硫酸去配制呀！”“对呀，怎么我没想到呢？
快来，我们仔细算一算.”
那么你知道这两种硫酸各需多少吨，才能配制成浓度为 60%的硫酸 1200 吨吗？
参考答案
设需要 x 吨浓度为 70%的硫酸和 y 吨浓度为 55%的硫酸.
根据题意得：
1200%60%55%70
1200
yx
yx
由②得：0.7x+0.55y=720 ③
①×0.7 得：0.7x+0.7y=840 ④
④－③得：0.15y=120,∴y=800
∴x=1200－y=1200－800=400
∴
800
400
y
x
所以需要 400 吨浓度为 70%的硫酸，800 吨浓度为 55%的硫酸.
4 增收节支
1.某市现有 42 万人口，计划一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市人口将增加
1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口？
设城镇人口是 x 万，农村人口是 y 万，根据题意填写下表，并列出方程组求 x、y 的值.
城镇 农村 全市
现有人数（万人） x y 42
一年后增加人口（万人）
2.某汽车制造厂接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产 35 辆，则差 10 辆才能完
成任务；如果每天生产 40 辆，则可超额生产 20 辆.试求预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？
若设预定期限为 x 天，计划生产 y 辆汽车，请你根据题意填空，并列出方程组求 x 与 y 的值.
①
②
（1）若每天生产 35 辆，在预定期限 x 天内可生产__________辆，比计划产量 y 辆汽车__________
（“多”或“少”）生产 10 辆，则可得二元一次方程______________________.
（2）若每天生产 40 辆，在预定期限 x 天内可生产__________辆，比计划产量 y__________（填“多”
或“少”）生产 20 辆，则可列二元一次方程_________________________.
（3）列方程组_________________________，并解得________.
3.一列快车长 70 米，慢 车长 80 米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车所用 时间
为 20 秒.若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为 4 秒，求两车每秒钟各行多少米？
如图 1：
图 1
若设快车每秒钟行 x 米，慢车每秒行 y 米.
根据题意填空：
（1）若同向而行，经过 20 秒快车行驶路程比慢车行驶路程多____米，可列方程_________.
（2）若相向而行，两车 4 秒钟共行驶__________米，可列方程__________________.
（3）由以上可得方程组__________________，解得________.
4.想一想：
一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车.已知过去两次租用这两种货
车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车辆数（辆） 2 5
乙种货车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车及 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费 30 元计算，
问货主应付运费多少元？
参考答案
1.
%142%1.1%8.0
42
x
yx ,解得
28
14
y
x 填表略
2.(1)35x 少 35x+10=y (2)40x 多 40x－20=y
(3)
yx
yx
2040
1035 ,
220
6
y
x
3.(1)150 米 20x－20y=150
(2)150 4x+4y=150
(3)
15044
1502020
yx
yx ,
15
5.22
y
x
4.分析：应先求出这批货共有多少吨，即 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车共装多少吨货.
设甲、乙两种货车载重量分别为 x 吨、y 吨.
根据题意得
3565
5.1532
yx
yx ，解得
5.2
4
y
x
∴30(3x+5y)=30(3×4+5×2.5)=735
答：货主应付运费 735 元.
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
一．选择题
1．若甲数的 比乙数的 4 倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ）
A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1
2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 3 倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（ ）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2
3．一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十
位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．以上各式均不对
4．（2016 春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让乙先
跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．一个数除以 a 的商是 5，余数是 1，则这个数为 ．
6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两位数有 个．
7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500km，逆风飞行，每小时飞行 460km，假设飞机本身的速度是 xkm/h，
风速是 ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ．
三、解答题
8．有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是
143．求这个两位数．
9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡
每小时行 3km，下坡每小时行 5km，他到姥姥家需要行 66 分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才能到
家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个加
数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？
11．某山区有 23 名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学
生需要学习费用 b 元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和
小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
（1）求 a、b 的值；
（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学
生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300 米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，
甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？
13．某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1min，整
列火车完全在桥上的时间共 40s．求火车的速度和长度．
14．两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时，求这艘轮船在
静水中的速度和水的流速？
三、能力提升
15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒，那么甲
跑 4 秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，列出的方程组为 ．
16．一个两位数，减去它的各位数之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是 5，
余数是 1．这两位数是多少？
17．甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时
后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？
18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以 50 千米/小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；如
果以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？
19．甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2
小时，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度．
20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔 2 分两人相遇一次，同向而行，每隔 6
分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？
21．第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包乙工程，
晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工
作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
四、聚沙成塔
22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分，平局时两队各记 1 分，败
队记 0 分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净
胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数参考答案与试题解析
一．选择题
1．若甲数的 比乙数的 4 倍多 1，设甲数为 x，乙数为 y，列出的二元一次方程应是（ ）
A． x﹣4y=1 B．4y﹣ =1 C． y﹣4x=1 D．4x﹣ y=1
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．
【分析】由题意可得等量关系：甲数× ﹣乙数×4 倍=1．
【解答】解：根据甲数的 比乙数的 4 倍多 1，则 x﹣4y=1．
故选 A．
【点评】此题较容易，注意代数式的正确书写．
2．一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 3 倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（ ）
A．3：1 B．2：1 C．1：1 D．3：2
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】行程问题．
【分析】本题依据的等量关系是：逆流速度+水流速度=顺水速度﹣水流速度．
【解答】解：设船的逆水速度为 a，水流速度为 x，则顺水速度为 3a，那么：
a+x=3a﹣x
解得：x=a
静水速度=顺水速度﹣水流速度，
所以静水速度为：3a﹣a=2a
所以船的静水速度与水流速度之比为 2：1．
故选 B．
【点评】本题中虽然有多个未知数，但其间都有一定的联系，做题的时候应把握其间的联系，善于利用
转化思想，把多个未知数转化成两个或一个，进而求解．
3．一个两位数，数字之和为 11，若原数加 45，等于此两位数字交换位置，求原数是多少．若设原数十
位数字为 x，个位数字为 y，根据题意列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．以上各式均不对
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】关键描述语是：数字之和为 11；原数加 45，等于此两位数字交换位置．
等量关系：个位数字+十位数字=11；十位数字×10+个位数字+45=个位数字×10+十位数字．
根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设原数十位数字为 x，个位数字为 y．
根据题意列出方程组为 ．
故选 C．
【点评】本题需注意两位数的表示方法为：十位数字×10+个位数字．
4．（2016 春•莱芜期末）甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果让乙先
跑 2 秒，那么甲跑 4 秒就追上乙，若设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】本题的等量关系：（1）乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；（2）如果让乙先跑 2 秒，那么甲
跑 4 秒就追上乙，可以列出方程组．
【解答】解：设甲、乙每秒分别跑 x 米，y 米，
由题意知：
．
故选：C．
【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列
出方程组．
二、填空题
5．一个数除以 a 的商是 5，余数是 1，则这个数为 ．
【考点】列代数式．
【分析】本题的等量关系为：被除数=商×除数+余数．
【解答】解：∵被除数=商×除数+余数，
∴这个数为 5a+1．
【点评】求这个数实际是求被除数，被除数与除数，商和余数的关系则是解决问题的关键．
6．一个两位数，十位数字与个位数字的和为 5，这样的两位数有 个．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设十位数字为 x，个位数字为 y，由十位数字与个位数字之和为 5 建立方程求出其解即可．
【解答】解：设十位数字为 x，个位数字为 y，由题意，得
，
由①，得
y=5﹣x，
∴5﹣x≥0，
∴x≤5．
∴0＜x≤5．
∵x 为整数，
∴x=1，2，3，4，5．
∴ ．
∴这样的两位数为：14，23，32，41，50．
∴这样的两位数共有 5 个．
故答案为：5．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次不定方程的解法的运用，不等式的
解法的运用，解答时运用不定方程的解法求解是关键．
7．一架飞机顺风飞行，每小时飞行 500km，逆风飞行，每小时飞行 460km，假设飞机本身的速度是 xkm/h，
风速是 ykm/h，依题意列出二元一次方程组 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】首先注意公式：顺风速度=本身的速度+风速，逆风的速度=本身的速度﹣风速．
然后根据此题中的等量关系：①顺风飞行，每小时飞行 500km；②逆风飞行，每小时飞行 460km．列方
程组即可．
【解答】解：根据顺风飞行，每小时飞行 500km，得方程 x+y=500；
根据逆风飞行，每小时飞行 460km，得方程 x﹣y=460．
可列方程组 ．
【点评】本题为顺风逆风问题，掌握好顺风逆风速度的求法，就可列出方程．
三、解答题
8．有一个两位数，个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是
143．求这个两位数．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y，根据个位数比十位数大 5，如果把这两个数的位
置对换，那么所得的新数与原数的和是 143，列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数个位数字为 x，十位数字为 y，
由题意得， ，
解得： ．
则这个两位数为 49．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
9．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡
每小时行 3km，下坡每小时行 5km，他到姥姥家需要行 66 分钟，从姥姥家回来时需要行 78 分钟才能到
家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】行程问题．
【分析】可设小华到姥姥家上坡路有 xkm，下坡路有 ykm，则小华从姥姥家回来，需要走上坡路 ykm，
下坡路 xkm．
已知上下坡的速度根据小华来回的用时不同可列出两个关于 xy 的两个方程，求解即可．
【解答】解：设小华到姥姥家上坡路有 xkm，下坡路有 ykm，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路 ykm，
下坡路 xkm，
根据题意得：
由①得：10x+6y=33③
由②得：10y+6x=39④
③×10 得：100x+60y=330⑤
④×6 得：36x+60y=234⑥
⑤﹣⑥得：x=1.5，
将 x=1.5 代入③得：15+6y=33，∴y=3；
∴ ，
所以，小华到姥姥家有 1.5km 上坡路，3km 下坡路，共有 4.5km．
答：姥姥家离小华家 4.5km．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个 0，得到的和为 888；而小亮在另一个加
数后面多写了一个 0，得到和为 861，求原来两个加数分别是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设原来的一个加数为 x，另一个加数为 y，根据两个加数的和分别为 888 和 861 建立二元一次
方程组，求出其解即可．
【解答】解：设原来的一个家数为 x，另一个加数为 y，由题意，得
，
解得： ．
答：原来的两个加数分别是 81，78．
【点评】本题考查了数字问题的数量关系的运用，列二元一次方程组解实际问题的运用，解答时根据数
字问题的数量关系建立方程组是关键．
11．某山区有 23 名中小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学
生需要学习费用 b 元，某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好能帮助的贫困中学生和
小学生人数的部分情况如下表：
七年级 八年级 九年级
捐款数额（元） 4000 4200 7400
捐助贫困中学生（名） 2 3
捐助贫困小学生（名） 4 3
（1）求 a、b 的值；
（2）九年级学生的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请将九年级学生可捐助的贫困中、小学
生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】（1）资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学生需要学习费用 b 元，根据表格中提
供的七年级和八年级捐款数，和人数可求出 a 和 b 的值．
（2）根据九年级的捐款数和 a，b 的值可求出结果．
【解答】解：（1）资助一名中学生需要学习费用 a 元，资助一名小学生需要学习费用 b 元，
，
解得： ．
所以 a 的值是 800，b 的值是 600．
（2）九年级学生可捐助的贫困中、小学生人数分别是 4，7．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，关键是以捐款钱数做为等量关系列方程组求解．第 2 问根据
总人数是 23 和总捐款数可求出解．
12．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙西边 300 米，若甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，
甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲、乙两人的速度各是 xm/min，ym/min，根据甲、乙两人同时向东走 30 分钟后，甲正好追
上乙；甲、乙两人同时相向而行，2 分钟相遇，列方程组求解．
【解答】解：设甲、乙两人的速度各是 xm/min，ym/min，
由题意得， ，
解得： ．
答：甲、乙两人的速度各是 80m/min，70m/min．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
13．某铁路桥长 1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了 1min，整
列火车完全在桥上的时间共 40s．求火车的速度和长度．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设火车的速度为 x 米/秒，桥的长度为 y 米，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方
程组求出其解即可．
【解答】解：设火车的速度为 x 米/秒，桥的长度为 y 米，由题意，得
，
解得： ．
答：火车的速度为 20 米/秒，桥的长度为 200 米．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时根据程
问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组是关键．
14．两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流航行了 14 小时，逆流航行了 20 小时，求这艘轮船在
静水中的速度和水的流速？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设这艘轮船在静水中的速度为 x 千米/小时，水的流速为 y 千米/小时，根据顺流航行了 14 小
时，逆流航行了 20 小时，列方程组求解．
【解答】解：设这艘轮船在静水中的速度为 x 千米/小时，水的流速为 y 千米/小时，
由题意得， ，
解得： ．
答：这艘轮船在静水中的速度为 17 千米/小时，水的流速为 3 千米/小时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
三、能力提升
15．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；如果甲让乙先跑 2 秒，那么甲
跑 4 秒就追上乙．若设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，列出的方程组为 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，根据甲让乙先跑 10 米，甲跑 5 秒就追上乙；甲让乙先跑 2
秒，甲跑 4 秒就追上乙，列方程即可．
【解答】解：设甲、乙两人每秒分别跑 x、y 米，
由题意得， ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列方程组．
16．一个两位数，减去它的各位数之和的 3 倍，结果是 23，这个两位数除以它的各位数数之和，商是 5，
余数是 1．这两位数是多少？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y，则个两位数表示为 10x+y，然后根据两位数
减去它的各位数之和的 3 倍得 23 可列方程 10x+y﹣3（x+y）=23，由于这个两位数除以它的各位数数之
和，商是 5，余数是 1，根据整数的除法得到 10x+y=5（x+y）+1，然后组成方程组，再解方程组即可．
【解答】解：设这个两位数的十位数字为 x，个位上的数字为 y，
根据题意得 ，
解得 ，
所以这个两位数为 56．
答：这个两位数为 56．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
17．甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时
后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇．问甲、乙两人每小时各走多少千米？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】计算题．
【分析】设甲，乙速度分别为 x，y 千米/时，根据甲乙两人从相距 36 千米的两地相向而行．如果甲比
乙先走 2 小时，那么在乙出发后 2.5 小时相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么在甲出发后 3 小时相遇可
列方程求解．
【解答】解：设甲，乙速度分别为 x，y 千米/时，依题意得：
，
解得：
甲的速度是 6 千米/每小时，乙的速度是 3.6 千米/每小时．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程做为等量关系列方程求解．
18．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以 50 千米/小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；如
果以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设规定的时间为 x 小时，甲乙两地的距离为 y 千米，根据以 50 千米/小时的速度行驶，会迟到
24 分钟；以 75 千米/小时的速度行驶，可提前 24 分钟到达乙地，列方程组求解．
【解答】解：设规定的时间为 x 小时，甲乙两地的距离为 y 千米，由题意得
，
解得： ．
答：甲乙两地的距离为 120 千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
量关系，列方程组求解．
19．甲、乙两人分别从相距 30 千米的 A、B 两地同时相向而行，经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2
小时，甲到 B 地所剩路程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍，求甲、乙两人的速度．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h，那么可以分两种情况：
①当甲和乙还没有相遇相距 3 千米时，根据经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路
程是乙到 A 地所剩路程的 2 倍可以列出方程组 解决问题；
②当甲和乙相遇了相距 3 千米时，根据经过 3 小时后相距 3 千米，再经过 2 小时，甲到 B 地所剩路程是
乙到 A 地所剩路程的 2 倍可以列出方程组 解决问题．
【解答】解：设甲的速度为 xkm/h，乙的速度为 ykm/h，则有两种情况：
（1）当甲和乙还没有相遇相距 3 千米时，
依题意得 ，
解得 ；
（2）当甲和乙相遇了相距 3 千米时，
依题意得 ，
解得 ．
答：甲乙两人的速度分别为 4km/h、5km/h 或 km/h， km/h．
【点评】此题是一个行程问题，主要考查了相遇问题中的数量关系，但解题要注意分相遇和没有相遇两
种情况解题．
20．甲、乙两人都以不变速度在环形路上跑步．相向而行，每隔 2 分两人相遇一次，同向而行，每隔 6
分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分各跑多少圈？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】应用题．
【分析】相向而行是相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=1；
同向而行是追及问题，题中说甲比乙跑得快，所以是甲路程﹣乙路程=1
【解答】解：设甲每分跑 x 圈，乙每分跑 y 圈，
则
解得
答：甲每分跑 圈，乙每分跑 圈．
【点评】相遇问题和追及问题的等量关系的不变的：甲路程+乙路程=甲乙相距路程，甲路程﹣乙路程=
甲乙相距路程，本题中甲乙相距路程是以圈为单位的，是一圈．
21．第一工程队承包甲工程，晴天需要 12 天完成，雨天工作效率下降 40%，第二工程队承包乙工程，
晴天需要 15 天完成，雨天工作效率下降 10%，实际上两个工程队同时开工，同时完工、两工程队各工
作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】根据题意找出两个等量关系：①第一工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量；
②第二工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量=总工程量．设工程总量为 1，则第一工程队晴天工
作效率为 ，雨天工作效率为 ；第一工程队晴天工作效率为 ，雨天工作效率为 ，
根据等量关系列出方程组求解即可．
【解答】解：设两工程队各工作了 x 天，在施工期间有 y 天有雨，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 ．
答：设两工程队各工作了 16 天，在施工期间有 10 天有雨．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于弄清题意，找出两个合适的等量关系，列出方
程组求解．
四、聚沙成塔
22．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得 3 分，平局时两队各记 1 分，败
队记 0 分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净
胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得 4 个队的总积分，进而分类讨论小组
得 6 分或 7 分能否出线即可．
【解答】解：4 个队单循环比赛共比赛 4×3÷2=6 场，每场比赛后两队得分之和或为 2 分（即打平），
或为 3 分（有胜负），所以 6 场后各队的得分之和不超过 18 分，
①若一个队得 7 分，剩下的 3 个队得分之和不超过 11 分，不可能有两个队得分之和大于或等于 7 分，
所以这个队必定出线，
②如果一个队得 6 分，则有可能还有两个队均得 6 分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
故一个队至少要积 7 分才能保证出线．
【点评】本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破
点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点．
5.6 二元一次方程与一次函数
一、填空题
1.已知直线 l1:y=k1x+b1 和直线 l2:y=k2x+b2
（1）当__________时，l1 与 l2 相交于一点，这个点的坐标是________.
（2）当__________时，l1∥l2，此时方程组
22
11
bxky
bxky 的解的情况是________.
（3）当__________时，l1 与 l2 重合，此时方程组
22
11
bxky
bxky 的解的情况是________.
2.无论 m 取何实数，直线 y=x+3m 与 y=－x+1 的交点不可能在第__________象限.
3.一次函数的图象过点 A（5，3）且平行于直线 y=3x－
2
1 ,则这个函数的解析式为________.
二、选择题
（1）函数 y=ax－3 的图象与 y=bx+4 的图象交于 x 轴上一点，那么 a∶b 等于（ ）
A.－4∶3 B.4∶3 C.（－3）∶（－4） D.3∶（－4）
（2）如果
2
3
y
x 是方程组
53
12
1
nymx
nymx 的解，则一次函数 y=mx+n 的解析式为（ ）
A.y=－x+2 B.y=x－2 C.y=－x－2 D.y=x+2
（3）若直线 y=3x－1 与 y=x－k 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是（ ）
A.k＜
3
1 B.
3
1 ＜k＜1 C.k＞1 D.k＞1 或 k＜
3
1
三、已知 y1=－
4
b x－4,y2=2ax+4a+b
（1）求 a、b 为何值时，两函数的图象重合？
（2）如果两直线相交于点（－1，3），求 a、b 的值.
四、已知两直线 y1=2x－3,y2=6－x
（1）在同一坐标系中作出它们的图象.
（2）求它们的交点 A 的坐标.
（3）根据图象指出 x 为何值时，y1＞y2;x 为何值时，y1＜y2.
（4）求这两条直线与 x 轴所围成的△ABC 的面积.
测验评价结果：________；对自己想说的一句话是：__________________。
参考答案
一、1.(1)k1≠k2
方程组
22
11
bxky
bxky 的解为
21
2121
21
12
kk
kbbky
kk
bbx
即交点坐标为(
21
12
kk
bb
,
21
2121
kk
kbbk
)
(2)k1=k2 且 b1≠b2,无解
(3)k1=k2 且 b1=b2，无数组解
2.三 3.y=3x－12
二、(1)D (2)D (3)B
三、(1)若两函数图象重合，需使
44
24
ba
ab
，解得
8
1
b
a
∴a=1,b=－8 时，两函数的图象重合.
(2)若两直线相交于点(－1，3)，则
342
344
baa
b
，即
2
25
28
a
b
四、(1)如右图
(2)解方程组
xy
xy
6
32 得
3
3
y
x
∴A(3,3)
(3)当 x>3 时，y1>y2,当 x
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