资料简介
1.4 充分条件与必要条件
【知识 1】充分条件与必要条件
命题真假 若“p，则 q”为真命题 “若 p，则 q”为假命题
推出关系 p⇒q p
⇏
q
条件关系
p 是 q 的充分条件
q 是 p 的必要条件
p 不是 q 的充分条件
q 不是 p 的必要条件
特别提醒：
(1)p⇒q，q
⇏
p，p 是 q 的充分不必要条件；
(2)p
⇏
q，q⇒p，p 是 q 的必要不充分条件；
(3)p
⇏
q，q
⇏
p，p 是 q 的既不充分也不必要条件．
A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满足条件 q}
p 是 q 的充分条件 p 是 q 的不充分条件
【知识 2】充要条件的概念
充要条件的概念
(1)定义：若 p⇒q 且 q⇒p，则记作 p⇔q，此时 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件．
注意：常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若 p，则 q”，逆命题为“若 q，则 p”，那么 p 与 q 的关系有以下四种情形：
原命题 逆命题 p 与 q 的关系
真 真
p 是 q 的充要条件
q 是 p 的充要条件
真 假
p 是 q 的充分不必要条件
q 是 p 的必要不充分条件
【知识 3】从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必
要条件
若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充
分条件
若 A＝B，则 p，q 互为充要条件
若 A
⊈
B 且 B
⊈
A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
其中 p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
【例 1】(1)判断下列说法中，p 是 q 的充分条件的是( )
A.若 1x ，则 2x
B.若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似
C.若 1x ，则 1x
D.若 0ab ，则 0,0 ba
(2)下列各题中，p 是 q 的必要条件的是________．
①p：x2>2 016，q：x2>2 015；
②p：ax2＋2ax＋1>0 的解集是实数集 R，q：00”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条
件
（2）已知 p：x10，q：x2－2x＋1－a2>0，若 p 是 q 的必要条件，求负实数 a 的取
值范围．
【例 3】(1)a，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0 B．ab>0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2>0
(2)若 a,b 是实数，则“ 0 ba ”是“ 0ab ”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例 4】设 p：x|b| C.1
a1
【练习 1-2】“ 42 x ”是“ 2x ”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
【练习 1-3】“x 为无理数”是“x2 为无理数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
【练习 1-4】设 a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1 且 b＞1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
【练习 2-1】设 x∈R，则 x＞π的一个必要不充分条件是( )
A．x＞4 B．x＜4 C．x＞3 D．x＜3
【练习 3-1】设 x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【练习 3-2】设计如图所示的三个电路图，条件 p：“开关 S 闭合”；条件 q：“灯泡 L 亮”，
则 p 是 q 的充分不必要条件的电路图是________．
【练习 3-3】“函数 y＝x2－2x－a 没有零点”的充要条件是________．
【练习 4-1】若“x2>1”是“x0(a>0)的解集．p：x∈A，q：x∈B，若 p 是q 的充分不必要条件，求 a 的取值范围．
1.4 例题
ABC ②③ A 9aa D D C
1.4 练习
D B B B C C (1) a
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