资料简介
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江西省九所重点中学（、等）2021 届高三
3 月联合考试文科试题
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合 21 logA x N x k ，集合 A 中至少有 2 个元素，则（ ）
A． 16k B． 16k C． 8k D． 8k
【答案】D
【详解】
解：因为集合 A 中至少有 2 个元素，所以 2log 3k ，解得 8k ，
故选：D
2．设 2021
2
1
iz i
（i 为虚数单位），则 z （ ）
A． 2
2
B． 2 C． 1
2 D．2
【答案】B
【详解】
解： 2021 4 505 1
2 2 2 2 (1 ) 11 1 1 (1 )(1 )
i i i i iz ii i i i i
，
所以 2 21 1 2z ，
故选：B
3．据有关文献记载：我国古代一座 9 层塔挂了 126 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
比上一层灯数都多 d （ d 为常数）盏，底层的灯数是顶层的 13 倍，则塔的顶层共有灯
（ ）
A．2 盏 B．3 盏 C．4 盏 D．5 盏
【答案】A
【详解】
设从塔顶到塔底各层的灯数为 na ，则数列{ }na 为等差数列，公差为 d ，
依题意 9 113a a ， 9 126S ，所以 1 99( ) 1262
a a ，
所以
9
99 13 1262
a a ，解得 9 26a 盏， 9
1 213
aa .
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故选：A.
4．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的 2020 年第二季度国内
生产值（GDP）同比增长率，现从这 5 个国家中任取 2 个国家，则这 2 个国家中第二季
度 GDP 同比增长率至少有 1 个低于 15% 的概率为（ ）
A． 3
10 B． 1
2 C． 3
5 D． 7
10
【答案】D
【详解】
解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的 2020 年第二季度国内生产值（GDP）同
比增长率分别为 A，B，C，D，E，其中 C，D 都低于 15% ，
则从这 5 个国家中任取 2 个国家有：
AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共 10 种，
其中至少有 1 个低于 15% 有 AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE 共 7 种，
所以所求概率为 7
10 .
故选：D.
5．已知两个单位向量 ,a b 的夹角为120 ，则下列向量是单位向量的是（ ）
A． a b B． 1
2a b C． a b D． 1
2a b+
rr
【答案】A
【分析】
根据向量数量积的运算律可分别求得各选项中向量的模长，由此可确定结果.
【详解】
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对于 A， 2 22 2 cos120 1 1 1 1a b a b a a b b ，A 正确；
对于 B，
2 221 1 1 1 1 7cos120 1 12 2 4 2 4 2a b a b a a b b
，B 错
误；
对于 C， 2 22 2 cos120 1 1 1 3 1a b a b a a b b ，C
错误；
对于 D，
2 221 1 1 1 1 3cos120 1 12 2 4 2 4 2a b a b a a b b
，D 错
误.
故选：A.
6．设函数 1ln1
xf x x x
，则函数的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后再利用特殊值判断.
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【详解】
由 1 01
x
x
，即 1 1 0x x ，解得 1 1x ，
所以函数 f x 的定义域为 | 1 1x x ，关于原点对称，
又 1 1ln ln1 1
x xf x x x f xx x
，所以 f x 是偶函数，故排除 AC，
又
111 1 1 12ln ln 012 2 2 31 2
f
，故排除 B
故选：D
7．如图，P 是椭圆
2 2
19 4
x y 上的一点，F 是椭圆的右焦点且 PQ FQ ， 2OQ
，
则 PF （ ）
A．2 B． 5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
由椭圆的方程求出 a ，设椭圆的右焦点为 F ，可知 1
2OQ PF ，在结合椭圆的定义
即可求解.
【详解】
由
2 2
19 4
x y 可得： 3a
因为 PQ FQ ，所以点Q 是线段 PF 的中点，
设椭圆的右焦点为 F，则O 是 FF 的中点，所以 2 4PF OQ ，
由椭圆的定义可知： 2 6PF PF a ，所以 2PF ，
故选：A.
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8．中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：
2log 1 SC W N
.它球：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 C 取决于信道
带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 S
N
叫做
信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的 1 可以忽略不计.按照香农公式，若不改变
带宽W ，而将信噪比 S
N
从 1000 提升到 8000，则 C 大约增加了（ ）
A．10% B．20% C．30% D．50%
【答案】C
【详解】
当 1000S
N
时， 1 2log 1000C W ，当 8000S
N
时， 2 2log 8000C W ，
∴ 2 2
1 2
log 8000 lg8000 3 3lg2 1.3log 1000 lg1000 3
C W
C W
，∴ 约增加了 30%.
故选：C .
9．在四棱锥 1A ABCD 中， 1A A 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是平行四边形，
3ABC ， 1 2AA ， 2 3BD ，经过直线 BD 且与直线 1AC 平行的平面交直线
1AA 于点 P ，则三棱锥 P ABD 的外接球的表面积为（ ）
A． 17
2
B．17 C． 57
6
D．114
3
【答案】B
【分析】
连接 ,AC BC 交于点O ，证得 1 / /AC PO ，得到 P 的中点，进而得到 ABCD 为菱形，
得出三棱锥的外接球的球心在过点C 垂直面 ABCD 的直线l 上，结合球的截面性质，
求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，连接 ,AC BC 交于点O ，因为 ABCD 为平行四边形，所以O 为 AC 的中点，
又因为 1 / /AC 平面 PBD ， PO 平面 PBD ，且平面 1PBD POCA PO ，
所以 1 / /AC PO ，可得 P 的中点，
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又由
3ABC ，所以平行四边形 ABCD 为菱形，
所以 1 32OB BD ，所以 1OA ，所以 2CB CA CD ，
所以三棱锥的外接球的球心在过点C 垂直面 ABCD 的直线l 上，
设球心为 H ，半径为 R ，所以 2 2 2BH PH R ，
设CH x ，所以 2 2 2 2( )BC CH PA CH AC ，
即 2 2 24 (1 ) 4x x ，解得 1
2x ，所以 2 17
4R ，
所以该球的表面积为 24 17S R .
故选：B
【点睛】
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题
求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心
到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各
种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
10．已知函数 sin 0, 2f x x
的部分图象如图所示，则关于函数 f x
下列说法正确的是（ ）
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A． f x 的图象关于直线
6x 对称
B． f x 的图象关于点 ,04
对称
C． f x 在区间 5 ,12 6
上是增函数
D．将 sin 2y x 的图象向右平移
3
个单位长度可以得到 f x 的图象
【答案】C
【分析】
先将 30, 2
代入可求出
3
，由
5
6
3 5
4 6
T
T
可得 9 12
5 5
，由 5 06f
可求
得 2 ，得出 f x 解析式，即可依次判断各个选项正误.
【详解】
将 30, 2
代入，则 30 sin 2f ，
2
，
3
，
即 sin 3f x x
，
5 5sin 06 6 3f ，则 5 ,6 3 k k Z ，解得
6 2 ,5 5k k Z ，
由图可得
5
6
3 5
4 6
T
T
，即
2 5
6
3 2 5
4 6
，又 0 ，则可得 9 12
5 5
， 2 ，
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sin 2 3f x x
，
3sin 2 16 6 3 2f ，则 f x 的图象不关于直线
6x 对称，故 A
错误；
1sin 2 04 4 3 2f ， f x 的图象不关于点 ,04
对称，故 B 错误；
5 ,12 6x
时， ,022 3x
，可得 f x 单调递增，故 C 正确；
将 sin 2y x 的图象向右平移
3
个单位长度可以得到
2sin 2 sin 23 3y x x f x
，故 D 错误.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：根据三角函数 sinf x A x 部分图象求解析式的方法：
（1）根据图象的最值可求出 A ；
（2）求出函数的周期，利用 2T
求出 ；
（3）取点代入函数可求得 .
11．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a ， 0b ）的左右焦点 1F ， 2F ，过 2F 的直线交右
支于 A 、 B 两点，若 2 23AF F B ， 1AF AB ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 5
2
B．2 C． 5 D． 3
【答案】B
【分析】
设 2F B m ，则 2 3AF m ，然后由已知条件和双曲线的定义或求得 1 8AF a ，
1 4BF a ，再分别在 2 1AF F 和 2 1BF F 中，利用余弦定理列方程可求得 2c a ，从
而可求得离心率
【详解】
解：设 2F B m ，则 2 3AF m ，所以 2 2 4AB F B AF m ，
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所以 1 4AF AB m
因为 1 2 2AF AF a ，所以 2m a ， 1 8AF a
因为 1 2 2BF BF a ，所以 1 4BF a
设 2 1AF F ，则 2 1BF F ，
在 2 1AF F 和 2 1BF F 中，由余弦定理得，
2 2 2
1 1 2 2 1 2 22 cosAF F F AF F F AF ，
2 2 2
1 1 2 2 1 2 22 cos( )BF F F BF F F BF ，
即 2 2 264 4 36 2 6 2 cosa c a a c ， 2 2 216 4 4 2 2 2 cosa c a a c ，
解得 2c a ，所以 2ce a
，
故选：B
12．函数 f x kx ， 2ln 6g x x （1 4x ），若 f x 与 g x 的图象上分别
存在点 M ， N 关于直线 3y 对称，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 2 , ln 2e
B． 2 ,0e
C． ln 2,0 D． 2 , ln 2e
【答案】B
【分析】
设 ,M t kt 为函数 f x kx 上的一点，求出 M 关于 3y 对称的点 N ，把 N 点坐标
代入 g x 的解析式，得 2ln 1 4tk tt
，利用导数求出 k t 的值域可得答案.
【详解】
设 ,M t kt 为函数 f x kx 上一点，则 ,M t kt 关于 3y 对称的点为 ,6N t kt ，
且在函数 2ln 6g x x 1 4x 图象上，所以 2ln 6 6t kt ，
得 2ln 1 4tk tt
，
2
2 ln 1tk t
，当1 t e 时， 0k ， k t 单调递减，
当 4e t 时， 0k ，所以 k t 单调递增，所以 k t 在t e 有最小值为 2
e
，
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1 0k ， ln 44 4k ，所以 2 0k te
，故 2 0ke
.
故选：B.
二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．曲线 xy xe x 在点 0,0 处的切线方程为__________.
【答案】 2y x
【详解】
由题得 ( ) 1, (0) 2,+x xxef x e f 所以切线的斜率为 2，
所以切线的方程为 2( 0) 2y x x .
故答案为： 2y x
【点睛】
方法点睛：函数 ( )f x 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线方程为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x .
14．若实数 x ， y 满足
1 0
2 2 0
3 0
x
x y
y
，则 2z x y 的最大值为__________.
【答案】8
【详解】
解：不等式组表示的可行域如图所示，由 2z x y 得 2y x z ，作直线 2y x ，
向上平移过点 B 时， 2z x y 取得最大值，
由 2 2 0
3 0
x y
y
，得
5
2
3
x
y
，即 5( ,3)2B ，
所以 2z x y 的最大值为 52 3 82
，
故答案为：8
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15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 0, 1A ， , 2P t t ，若动点满足 2MA
MO
（O 为坐标原点），则 MP 的最小值是______.
【答案】 2
2
【分析】
由 2MA
MO
，求得点 M 的轨迹方程 2 2( 1) 2x y ，把 MP 最小值转化为圆的圆
心到直线 2 0x y 距离，即可求解.
【详解】
设点 M 的坐标为 ( , )x y ，
因为 2MA
MO
，可得
2 2
2 2
( 1) 2x y
x y
，整理得 2 2( 1) 2x y ，
又由点 , 2P t t ，可得点 P 在直线 2x y ，即 2 0x y ，
则圆心 (0,1)M 到直线 2 0x y 的距离为 2 2
1 2 2
21 ( 1)
d
，
即 MP 的最小值是 2
2
.
故答案为： 2
2
.
16．数列 na 满足 1 1a ， 1 1 2 1n
n na a n ， nS 为其前 n 项和，则 101S ______.
【答案】5151
【分析】
讨论当 n 是奇数时， 2 2n na a ；结合 1 1a ，所以所有的奇数项都等于1，当 n 是
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偶数时， 2 4 4n na a n ，分别计算奇数项的和、偶数项的和即可求解.
【详解】
因为 1 1a ， 1 1 2 1n
n na a n ， 1
11 2 1n
n na a n
，
所以 2 1 3a a ，可得 2 4a ，
当 n 是奇数时， 1 2 1n na a n ， 1n 是偶数， 2 1 2 3n na a n ，
两式相减可得： 2 2n na a ，
当 n 是偶数时， 1 2 1n na a n ， 1n 是奇数， 2 1 2 3n na a n ，
两式相加可得： 2 4 4n na a n ，
所以当 n 是奇数时， 2 2n na a ；
因为 1 3 2a a ，可得 3 1a ， 3 5 2a a ，可得 5 1a ，
所以 1 3 5 7 101 1a a a a a ，
当 n 是偶数时， 2 4 4n na a n ，
所以 1 3 5 7 101 2 4 6 8101 100a a a a a a a a a aS
25 4 2 4 4 98 451 1 51 5100 51512
，
故答案为：5151.
三、解答题（本大题共 6 道小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 12 分） ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，已知
sin 3 cosb A a B ，sin 4sinC A .
（1）求 B ；
（2）在 ABC 的边 AC 上存在一点 D 满足 4AD CD ，连接 BD ，若 BCD△ 的面
积为 2 3
5
，求b .
【答案】（1）
3
；（2） 26 .
【分析】
（1）利用正弦定理把 sin 3 cosb A a B 化为 sin sin 3sin cosA B A B ，从而可得
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tan 3B ，进而可求出角 B ；
（2）由于 4AD CD ，所以 5
1
ABC
BCD
S AC
S DC
，从而可得 ABC 的面积为 2 3 ，再
利用三角形面积公式可得 8ac ，而由sin 4sinC A 得 4c a ，从而可求出 ,a c 的
值，再利用余弦定理可求出b 的值.
【详解】
解：（1） ∵ sin 3 cosb A a B ，∴sin sin 3sin cosA B A B ，
∴ tan 3B ，
∵ 0,B ∴
3B ；
（2）依题意可知： 5
1
ABC
BCD
S AC
S DC
，
∵ BCD△ 的面积为 2 3
5
，∴ ABC 的面积为 2 3 ，
∵ ABC 的面积为 1 sin 2 32S ac B ∴ 8ac ，
∵sin 4sinC A ，∴ 4c a ， 4 2c ， 2a ，
∴ 2 2 2 cos 26b a c ac B .
18．（本题满分 12 分）某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：
注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb）的含量（以下简称为“ M 含量”）不
超过 1%，则为阴性，认为受试者出现血症.若一批受试者的 M 含量平均数不超过 0.65%，
出现血症的被测试者的比例不超过 5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在 M 含量指
标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各 200 名接受了该疫苗注射.经数
据整理，制得频率分布直方图如图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间
的中点值作代表.）
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（1）请说明该疫苗在 M 含量指标上的安全性；
（2）按照性别分层抽样，随机抽取 50 名志愿者进行 M 含量的检测，其中女性志愿者
被检测出阳性的恰好 1 人.请利用样本估计总体的思想，完成这 400 名志愿者的 2 2 列
联表，并判断是否有超过 95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有
关？
性别
阴性阳性
男 女 合计
阳性
阴性
合计
附：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
.
2
0P K k 0.050 0.010 0.001
0k 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）该疫苗在 M 含量指标上是“安全的”；（2）表格见解析，没有.
【分析】
（1）求出区间 1.0,1.2 上的频率，以及平均数即可得结论；
（2）根据题意写出列联表，计算 2K 的值，并与3.841比较即可得出结论.
【详解】
（1）由频率分布直方图得: M 含量数据落在区间 1.0,1.2 上的频率为 0.15 0.2 0.03
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故出现血症的比例为3% 5%
由直方图得平均数为
0.3 0.2 0.5 0.3 0.7 0.3 0.9 0.17 1.1 0.03 0.606x
即志愿者的 M 含量的平均数为 0.606% 0.65%
综上，该疫苗在 M 含量指标上是“安全的”.
（2）依题意得，抽取的 50 名志愿者中女性志愿者应为 25 人
由已知，25 名女性志愿者被检测出阳性恰有 1 人，故女性中阳性的频率 0.04
所以全部女性志愿者阳性共有 200 0.04 8 人
由（1）知 400 名志愿者中，阳性的频率为 0.03，所以阳性的人数共有 400 0.03 12
人
因此男性志愿者被检测出阳性的人数是12 8 4 人.
所以完成表格如下：
性别
阴性阳性
男 女 合计
阳性 4 8 12
阴性 196 192 388
合计 200 200 400
由 2 2 列联表可 2
2 400 4 192 8 196 1.375 3.841200 200 12 388K
，
由参考表格，可得，
故没有超过 95%的把握认为注射疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关.
19．如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1AA 底面 ABC ， 90BAC ， 1 1AA ，
3AB ， 2AC ， E ， F 分别为棱 1CC ， BC 的中点.
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（1）求异面直线 EF 与 1A B 所成角的大小；
（2）若G 为线段 1AA 的中点，试在图中作出过 E ， F ，G 三点的平面截该棱柱所得
的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值.
【答案】（1） 45；（2）作图见解析， 5
19 .
【分析】
（1）连接 1BC ，则 1 //BC EF ，故异面直线 EF 与 1A B 所成角为 1 1A BC ，在 1 1Rt C A B
中根据相关量可计算 1 1A BC ；（2）取 AB 中点 M ，利用线线平行可证明 EFMG 为所
求截面的多边形；将多面体GE MFCA 分割为三棱锥G AMF 和四棱锥 F CEGA ，
分别求出其体积，求和，可求出多面体 GE MFCA 的体积；求三棱柱 1 1 1ABC A B C 的
体积，用三棱柱的体积减去多面体的体积，可求出剩余多面体的体积，比较大小，可求
出小体积与大体积的体积比.
【详解】
解：（1）连接 1BC ，则 EF 为 1BCC 的中位线，
故 1 1A BC 为所求异面直线所成的角.
又 1 1 1 1AC A B ， 1 1 1AC A A ，且 1 1 1 1AA A B A ，
故 1 1AC 平面 1 1ABB A ， 1 1 90C A B .
1 1Rt C A B 中， 1 1 2AC ， 1 2A B
故 1 1 45A BC
故异面直线 EF 与 1A B 所成角的大小为 45.
（2）取 AB 中点 M ，连接 MF 、 MG 、 EG ，则 // //GE AC ME ，即 M F G E、 、 、
四点共面，则梯形 EFMG 为所求截面的多边形.
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连接 AF ，GF ，
1 1 1 1
1 2 3 1 32ABC A B C ABCV S AA
1 1 1 3 1 3 1 5 31 23 2 2 2 2 2 3 24GE AMFC G AMF F ACEGV V V
5 3 19 33 24 24V 剩
5=19
V
V
小
大
【点睛】
思路点睛：（1）求异面直线所成角，常用的方法有：平移直线、补体、向量；
（2）求多面积的体积常采用体积分割的方法，将多面体分割为棱锥或棱柱的组合体，
然后再计算.
20．已知函数 2 sinf x x a x .
（1）证明：当 2a 时，函数 f x 在区间 0, 没有零点；
（2）若 0,x 时， sin 2f x x≥ ，求 a 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） a .
【分析】
（1）利用导数得到 f x 在 0, 上单调递增， 0 0f ，即得解；
（2）由题得 2 2cossin
xa xx
≤ ，再构造函数 2 2cossin xxh xx ， 0,x ，求
函数 ( )h x 的最小值即得解.
【详解】
证明（1） 2 2cos 2 1 cosx xf x
∵ 0,x ∴ 0f x ′ 恒成立， f x 在 0, 上单调递增
试卷第 18页，总 22页
又 0 0f ∴ 0,x ，都有 0 0f x f
∴ f x 在区间 0, 上没有零点
（2） sin 2f x x≥ 即 2 sin sin 2 0x a x x ≥ ，由 0,x 得
2 sin 2 2 2cossin sin
x x xa xx x
≤
令 2 2cossin xxh xx ， 0,x
3 2
2 2 2
2cos sin cos2sin 2 cos 2sin 2sin cos 2 cos
sin sin sin
x x x xx x x x xh x x x
x x xx
令 sin cosxm xx x ， 0,x
2 2cos sin 1 cos 2 1 0x x xm x
得 m x 在 0, 单调递减， 0 0m x m
从而 0, 2x
， 0h x ， h x 单调递减
,2x
， 0h x ， h x 单调递增
∴ min 2h x h
得 a .
21．已知抛物线 E ： 2 2y px （ 0p ）的焦点为 F ，准线与 x 轴交于点 K ，过点 K
作圆C ： 2 23 4x y 的两条切线，切点为 M ， N ， 2 3MN .
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）设 A ， B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 9
4OA OB （其中 O
为坐标原点），求 FAB 与 OAF△ 面积之和的最小值.
【答案】（1） 2 4y x ；（2） 9 14
2
.
【分析】
（1）由已知可得 ,02
pK
，圆C ： 2 23 4x y 的圆心 3,0C ，半径 2r = ，
试卷第 19页，总 22页
设 MN 与 x 轴交于 R ，则可得 60MCR ，有 4CK ，所以3 42
p ，从而可求
出 p 的值，进而可得抛物线的方程；
（2）设直线 AB ： x my t ，
2
1
1,
4
yA y
，
2
2
2,
4
yB y
，设 1 0y ， 2 0y ，直线
方程与抛物线方程联立消去 x ，整理后利用根与系数的关系可得 1 2 4y y m ，
1 2 4y y t ，而由 9
4OA OB 列方程可求得 9
2t ，则有 AB 恒过定点 9 ,02Q
，
而 1 1 2 1 1 2
1 1 1 1 7
2 2 2 2 2FAB AOFS S OF y FQ y y y y y ，消去 2y 后
再利用基本不等式可得答案
【详解】
解：（1）由已知可得 ,02
pK
，圆C ： 2 23 4x y 的圆心 3,0C ，半径 2r = .
设 MN 与 x 轴交于 R ，由圆的对称性可得 3MR .于是 1CR ， 60MCR
所以 4CK ，即有3 42
p ，解得 2p ，则抛物线 E 的方程为 2 4y x
（2）设直线 AB ： x my t ，
2
1
1,
4
yA y
，
2
2
2,
4
yB y
，设 1 0y ， 2 0y
联立抛物线方程可得 2 4 4 0y my t ∴ 1 2 4y y m ， 1 2 4y y t
由 9
4OA OB 有
2 2
1 2
1 2
9
4 4 4
y y y y ，
解得 1 2 18y y 或 2（舍去），即 4 18t ，解得 9
2t .
则有 AB 恒过定点 9 ,02Q
；
1 1 2 1 1 2
1 1 1 1 7
2 2 2 2 2FAB AOFS S OF y FQ y y y y y
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
7 9 91 7 18 1 63 63 63 9 1422 4 2 4 2 4 2 4 2 2
y y yy y yy y y y
（当且仅当 1
1
9 63
4 2
y
y
，即 1 14y 时取等号）
试卷第 20页，总 22页
∴ FAB 与 OAF△ 面积之和的最小值 9 14
2
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学计算能力，解题的关键是由
9
4OA OB 推出直线 AB 恒过定点 9 ,02Q
，从而可把 FAB 与 OAF△ 面积之和表
示出来.
（二）选考题：
22．（本题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为 2cos 2sin
cos sin
x
y
（ 为参
数）.以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
3sin 4 24
.
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）过原点 O 引一条射线分别交曲线 C 和直线l 于 A ，B 两点，求 2 2
1 8
OA OB
的最
大值.
【答案】（1）
2 2
18 2
x y ， 8 0x y ；（2） 7 13
16
.
【分析】
（1）消去参数即可得到曲线C 的直角坐标方程，再由 cosx ， siny 代入
即可得到直线l 的直角坐标方程；
（2）在极坐标系内，可设 1,A ， 2 ,B ，则 2 2 2 2
1 2
1 8 1 8
OA OB ，再根
据三角函数的性质计算可得；
【详解】
解：（1）由曲线C 的参数方程 2cos 2sin
cos sin
x
y
（ 为参数）得：
2
2 22 cos sin cos sin 24
x y
试卷第 21页，总 22页
∴曲线C 的直角坐标方程为
2 2
18 2
x y .
又由 3sin 4 24
， cos sin 8
将 cosx ， siny 代入上式，
得直线l 的直角坐标方程为 8 0x y .
（2）在极坐标系内，可设 1,A ， 2 ,B ，
则
2 2 2 2
1 1cos sin 18 2
， 2 2cos sin 8
2 2
2 2 2 2
1 2
1 8 1 8 cos 4sin 1 sin 2
8OA OB
7 13sin 2 7 13
16 16
（当 sin 2 1 时取等号，符合题意）
∴ 2 2
1 8
OA OB
的最大值为 7 13
16
23．（本题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 2f x x a x a .
（1）若 1a ，求不等式 24f x x 的解集；
（2）已知 2m n ，若对任意 xR ，都存在 0m ， 0n ，使得
24 2m nf x mn
，
求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） 1 1x x ；（2） 5, 3
5 ,3
.
【分析】
（1）由题意可得 21 2 4x x x ，分类讨论当 2x ， 2 1x ， 1x 时
的情况，进而可得结果.
（2）由含有绝对值不等式的性质可得 3f x a ，由基本不等式可得
24 2 5m n
mn
试卷第 22页，总 22页
即 2
3m ， 4
3n 时等号成立，进而可得结果.
【详解】
（1）当 1a 时，不等式 24f x x 即为 21 2 4x x x ①
当 2x 时，①化为 2 2 5 0x x 无解，
当 2 1x 时，①化为 2 1x ，从而 1 1x
当 1x 时，①化为 2 2 3 0x x 无解
∴原不等式的解集为 1 1x x
（2） 2 2 3f x x a x a x a x a a
24 2 4 2 4 4 41 2 1 5m n m m m n m n m n
mn n m n m n m n m
当且仅当 2m n ，即 2
3m ， 4
3n 时等号成立
∴5 3 a ，
∴ 5
3a 或 5
3a ，
∴ a 的取值范围为 5, 3
5 ,3
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