资料简介
湘教版九年级数学上册第3章测试题及答案
3.1 比例线段
一、选择题
1.下列线段，能成比例的是（ ）
A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm
C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm
2.如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如果a=3，b=2，且b是a和c的比例中项，那么c=（ ）
A. B. C. D.
4.在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（ ）
A. 2000000 B. 20000 C. 4000000 D. 40000
5.如果 =， 那么的值是（ ）
A. B. C. D.
6.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A. 2.4米 B. 2.8米 C. 3米 D. 高度不能确定
7.已知=， 则 的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. -4 D. -3
8.如果2:7=x:4，那么x的值是( )
A. 14 B.
C. D.
二、填空题
9.如图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP，PB，AB满足关系式________，即AP是________与________的比例中项．
10.如果=， 那么=________.
11.已知 = = ≠0，则 =________．
12.已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PB=________ ．
13.在比例尺为1：6000的地图上，图上尺寸为1cm×2cm的矩形操场，实际尺寸为________．
三、解答题
14.已知a、b、c是△ABC的三边长，且≠0，求：
（1）的值．
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长．
15.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求点C、D之间的距离．
16.已知a：b：c=2：3：4，且2a+3b﹣2c=10，求a﹣2b+3c的值．
参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3. C 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B
二、填空题
9. PB AB 10. 11.7 12.或3- 13.60m×120m
三、解答题
14.解：（1）设=k，则a=5k，b=4k，c=6k，
所以==；
（2）5k+4k+6k=90，解得k=6，
所以a=30，b=24，c=36．
15.解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC=BD=80× =40﹣40，
∴CD=BD﹣（AB﹣BD）=2BD﹣AB=80﹣160．
16.解：∵a：b：c=2：3：4，
∴设a=2k，b=3k，c=4k，
而2a+3b﹣2c=10，
∴4k+9k﹣8k=10，解得k=2，
∴a=4，b=6，c=8，
∴a﹣2b+3c=4﹣12+24=16．
3.2 平行线分线段成比例
一、选择题
1.如图，若DC∥FE∥AB，则有（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在△ABC中，点D、F在AB边上，点E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则CE的长为（ ）
A. 9 B. 15 C. 12 D. 6
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD∶DB=2∶1，则AE∶EC 的值是（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 2∶1
4.如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（ ）
A. 8cm B. 12cm C. 30cm D. 50cm
二、填空题
5.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知 =， 则=________ ．
6.如图，在△ABC中，点D、点E分别在AB、BC边上，且DE∥AC，DE=2，AC=3，BE=4，则BC的长度
为________ ．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果=m，=n．那么m与n满足的关系式是：m=________ （用含n的代数式表示m）．
8.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，则EC=________．
9.如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC=________cm．
三、解答题
10.如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF的周长．
11.如图，在▱ABCD中，EF∥AB，FG∥ED，DE：DA=2：5，EF=4，求线段CG的长．
12.已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，连接MD，交CE于点H.
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.D 4.B
二、填空题
5. 6.6 7.2n+1 8. 9.12
三、解答题
10.解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，DF=EC.
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴ .
∵AC=8，BC=12，
∴AF=2，DF=3.
∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6.
∴DE=FC=6，DF=EC=3.
∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．
答：四边形DECF的周长是18.
11.解：∵EF∥AB，
∴ ===.又EF=4，
∴AB=10.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10.
∵FG∥ED，
∴==，
∴DG=4，
∴CG=6．
12.证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴AB∥DN，
∴=，
而点M为AE的中点，
∴AM=ME，
∴BM=MN，
∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，
∴MB=MD.
（2）∵AB∥NE，
∴==1，即AB=NE.
∵AB=BC，DC=DE，
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°.
∵AB=BC，DC=DE，
∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠ACB=∠45°，
∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，
∴CE∥BN，AC∥DM，
∴四边形MGCH为平行四边形，
而∠GMH=90°，
∴四边形MGCH为矩形．
3.3 相似图形
一、选择题
1.我们已经学习了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，是相似图形的是（ ）
A. ①③ B. ①② C. ①④ D. ②③
2.下列两个图形一定相似的是（ ）
A. 任意两个等腰梯形 B. 任意两个菱形 C. 任意两个正方形 D. 任意两个矩形
3.下列说法，不一定正确的是（ ）
A. 所有的等腰直角三角形都相似 B. 所有的等边三角形相似
C. 所有的矩形相似 D. 直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形相似
4.在一张由复印机放大复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1cm变成了4cm，那么这次复印的面积变为原来的（ ）
A. 不变 B. 2倍 C. 3倍 D. 16倍
5.如图的各组图形，相似的是（ ）
A. （1）（2）（3） B. （2）（3）（4） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（4）
二、填空题
6.给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的是________ （填序号）．
7.（1）同一张底片印出来的不同尺寸的照片是________图形；
（2）正对且平行平面镜的一幅画在平面镜里的像与原画之间的关系是________； 用放大镜看这幅画，看到的放大后的像与原画之间的关系是________；
（3）下列各组图形，肯定是相似图形的是________（只填序号）．
①半径不等的两个圆；②边长不等的两个正方形；③周长不等的两个正六边形；④面积不等的两个矩形；⑤边长不等的两个菱形．
8.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的________倍．
9.如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）相似图形．
三、解答题
10.将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图（1）所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？
（1） （2） （3）
11.请任意画出两个相似的图形．
12.如图，是两个相似圆柱，它们的相似比为2：3，求它们的体积之比．
参考答案
一、选择题
1.C 2.C 3.C 4.D 5.B
二、填空题
6.①②④⑤ 7.相似 全等 相似 ①②③ 8.5 9.是
三、解答题
10.解：∵三角形、矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，
∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似.
∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，
∴变化前后的两个正方形相似．
11.解：如图，正方形ABCD和正方形EFGH是相似的图形．
正三角形ABC和正三角形DEF是相似的图形．
12. 解：小圆柱的体积是（2a）2π•2b=23a2bπ，
大圆柱的体积是（3a）2π•3b=33a2bπ，
所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23：33 ．
即小圆柱与大圆柱的体积的比为8：27．
3.4 相似三角形的判定与性质
一、选择题
1.下列命题错误的是（ ）
A. 两个全等的三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似
C. 两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 D. 相似的两个三角形不一定全等
2.如图，D是△ABC的边AB上的一点，那么下列四个条件不能单独判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A. ∠B=∠ACD B. ∠ADC=∠ACB C. D. AC2=AD•AB
3.如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A. 1：3 B. 1：5 C. 1：6 D. 1：11
4.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. = B. C. D.
5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（ ）
A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：
二、填空题
6.若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF=________．
7.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，若△AED的面积是4m2，则四边形DEBC的面积为________.
8.如图，在△ABC中，AB=9，AC=12，BC=18，D为AC上一点，DC=AC．在AB上取一点E得△ADE．若图中两个三角形相似，则DE的长是________ ．
9.将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于________.
三、解答题
10.如图，在△ABC中，点D在BC边上，有下列三个关系式：
① BAC=90°，② = ，③AD⊥BC．
选择其中两个式子作为已知，余下的一个作为结论，写出已知，求证，并证明．
已知：
求证：
证明：
11.如图，△AED∽△ABC，相似比为1：2．若BC=6，则DE的长是多少？
12.如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．
参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.C 4.A 5.C
二、填空题
6.4：9 7.21 8.6或8 9.1：3
三、解答题
10.解：已知①③， 求证：②，
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABD∽△CAD，
∴ ．
11.解：∵△AED∽△ABC，
∴DE：CB=1：2.
∵BC=6，
∴DE：6=1：2，
∴DE=3．
12.解：（1）如图，∵CD2=BC·CE，∴.
又∵∠1=∠2，∴△BCD∽△DCE.
（2）∵△BCD∽△DCE，∴∠3=∠4.
∴∠ADC=∠AED.
又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD.
（3）∵△ADE∽△ACD，∴，即.
∵AD=6，AE=4，∴，解得CE=5.
3.5 相似三角形的应用
一、选择题
1.某同学利用影长测量学校旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己的影长0.8米，旗杆的影长7米，已知他的身高1.6米，旗杆的高度为( )米.
A. 20 B. 7 C. 14 D. 12
2.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A、B之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A﹑B两点，连接AC、BC，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于点N，测得MN=38m，则A、B两点间的距离为（ ）
A. 76m B. 95m C. 114m D. 152m
3.数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（ ）m．
A. 3.04 B. 4.45 C. 4.75 D. 3.8
4.雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是（ ）
A. 30米 B. 40米 C. 25米 D. 35米
5.如图，为某市某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了（ ）米．
A. 0.6 B. 0.8 C. 1 D. 1.2
二、填空题
6.如图，课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度约是________ 米．
7.如图，已知小鱼同学的身高（CD）是1.6米，她与树（AB）在同一时刻的影子长分别为DE=2米，BE=5米，那么树的高度AB=________米．
8.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是________m．
三、解答题
9.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
10.如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．
参考答案
一、选择题
1.C 2.D 3.B 4.A 5.B
二、填空题
6.3 7.4 8.1
三、解答题
9.解：设正方形的边长为x mm，
则AI=AD﹣x=80﹣x.
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴
即.
解得x=48mm.
故这个正方形零件的边长是48mm．
10.解：根据题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，
∴CD∥AB.
可证得：
△CDE∽△ABE
∴ ①，
同理： ②.
又CD=FG=1.7m，
由①、②可得：
，
即 ，
解之得：BD=7.5m.
将BD=7.5代入①得：
AB=5.95m≈6.0m．
答：路灯杆AB的高度约为6.0m．
3.6 位似
一、选择题
1.下列各组图形中不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，以P（4，6）为位似中心，把△ABC缩小得到△DEF，若变换后，点A、B的对应点分别为点D、E，则点C的对应点F的坐标应为（ ）
A. （4，2） B. （4，4） C. （4，5） D. （5，4）
3.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A. 1：3 B. 3：1 C. 9：1 D. 1：9
4.△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（5，2），则点A1的坐标是（ ）
A. （5，﹣2） B. （﹣5，﹣2） C. （﹣2，﹣5） D. （﹣2，5）
5.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）
A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9
二、填空题
6.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________ .
7.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是________ ．
8.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为 ________.
9.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为． 则点A的对应点A′的坐标为________ ．
三、解答题
10.如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．
11.在图中，△ABC的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使 ===， 画出△DEF．你认为△DEF与△ABC相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？
12.如图，在△ABC中，已知DE∥BC．
（1）△ADE与△ABC相似吗？为什么？
（2）它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
参考答案
一、选择题
1.D 2.B 3.D 4.B 5.A
二、填空题
6.1：4 7.﹣（a+3） 8.4：9 9.（﹣， ）或（， ﹣）
三、解答题
10.解：∵点B的坐标是（4，0），点D的坐标是（6，0）， ∴OB=4，OD=6，
∴ = = .
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB与△OCD的相似比 .
11.解：相似．如图，
∵=，∠AOE=∠BOD，
∴△DOE∽△AOB，
∴==，
同理===，
∴△DEF∽△ABC，
它们也具有位似形的特征．
12.解：（1）△ADE与△ABC相似．
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE；
（2）是位似图形．由（1）知：△ADE∽△ABC．
∵△ADE和△ABC的对应顶点的连线BD，CE相交于点A，
∴△ADE和△ABC是位似图形，位似中心是点A．
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