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青岛版九年级数学上册第3章测试题及答案
3.1 圆的对称性
1.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为E，且CD＝，BD＝，则AB的长为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
第1题图 第2题图
2. 如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6 cm，则直径AB的长是( )
A．cm B．cm
C．cm D．cm
3．下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是旋转对称图形．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB＝2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( )
第4题图
A．3∶2 B．∶2
C．∶ D．5∶4
5．下列语句中，不正确的有 ( )
①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．
A．①③④ B．②③ C．② D．②④
6.下列语句中不正确的有
①平分弦的直径垂直于弦； ②圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；③长度相等的两条弧是等弧
A.3个 B.2个
C.1个 D.以上都不对
7．如图，在⊙O中，弦AB的长为6 cm．圆心O到AB的距离为4 cm，则⊙O的半径长为 ( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
第7题图 第8题图
8．如图3－38所示，C为的中点，CN⊥OB于N，弦CD⊥OA于M．若⊙O的半径为5 cm，ON＝4 cm，则CD的长等于 ．
9．如图3－39所示，在⊙O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA的长为 ．
第9题图
10．P为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为 ．
11.如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值
为____，最大值为______.
12．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A.B两点，M.N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是 ．
第11题图 第12题图
13．如图，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为P，AC＝CD＝，求OP的长．
第13题图
14．如图4，⊙O的直径是4 cm，C是的中点，弦AB，CD相交于P，CD＝cm，求∠APC的度数．
第14题图
15．如图，A.B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
第15题图
参考答案
1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．B
7．C 【解析】 作OC⊥AB于点C，连接AO，则OC＝4，AC＝3，所以在Rt△AOC中，AO＝＝5(cm)．故选C．
8．6 cm 【解析】提示：由题意可知CD＝CE＝2CN，又CN＝＝3，所以CD＝2CN＝6(cm).
9．5 cm
10．12 cm 【解析】过P的最长弦为直径，即直径等于20 cm，最短弦为过P且垂直OP的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半长为6 cm，则弦长为12 cm．
11.解：当OM垂直于AB时OM最小，这时AM=1/2AB=4,
连AO得直角三角形AOM，
由勾股定理得，0M=3,当M于A或B重合时，OM最大为半径5
12. 4
13．解：连接OC，∵AB是直径，CD⊥AB，∴CP＝CD＝．
在Rt△ACP中，AP＝＝3，
∴OP＝AP－AO＝3－AO＝3－OC．在Rt△COP中，OC2＝OP2＋CP2，
即OC2＝(3－OC)2＋．
解得OC＝2．∴OP＝3－2＝1．
14．解：连接OC，交AB于E．
∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠PEC＝90°．
作OF⊥CD，垂足为F，∴CF＝CD＝(cm)．
∵⊙O的直径是4 cm，∴OC＝2 cm．
在Rt△COF中，cosC＝，∴∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－30°＝60°．
15．（1）证明：连接OC，
∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC，
∴△ACO是等边三角形，
∴OA=AC，同理OB=BC，
∴OA=AC=BC=OB，
∴四边形AOBC是菱形，
∴AB平分∠OAC；
（2）解：连接OC，如答图.
∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴OAC是等边三角形，
∵OA=AC，
∴AP=AC，
∴∠APC=30°，
∴△OPC是直角三角形，
∴．
第15题答图
3.3 圆周角
1．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（ ）
A．32° B． 38° C． 52° D． 66°
（1题图） （2题图）
2．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25° B． 30° C． 40° D． 50°
3．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）
A．50° B． 20° C． 60° D． 70°
（3题图） （4题图）
4．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（ ）
A．∠A=∠D B． = C． ∠ACB=90° D． ∠COB=3∠D
5．如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）
A．80° B． 90° C． 100° D． 无法确定
（5题图） （6题图）
6．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（ ）
A．25° B． 50° C． 60° D． 30°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° B． 50° C． 60° D． 75°
（7题图） （8题图）
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（ ）
A．60° B． 90° C． 100° D． 120°
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）
A．80° B． 100° C． 60° D． 40°
（9题图） （10题图）
10．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（ ）
A．60° B． 48° C． 30° D． 24°
11．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B= ．
（11题图） （12题图）
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= °．
13．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为 ．
（13题图） （14题图）
14．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．
15．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB=80°，则∠ACB= °．
（15题图） （16题图）
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．
17．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为 ．
（17题图） （18题图）
18．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE= ．
19．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于 ．
20．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E= °．
（19题图） （20题图）
21．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
第21题图
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求BE的长；
（2）求△ACD外接圆的半径．
第22题图
23．如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径画⊙O交BC于点D，交AB于点E，连接CE．
（1）求证：BD=CD；
（2）求CE的长．
第23题图
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
第24题图
25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AD=CD；
（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．
第25题图
参考答案
1．B 2．D 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．D
11．40° 12．100 13．110° 14． 15．40 16．70 17．61° 18．50° 19．130° 20．215
21．解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：连结AE，如答图，
∵=，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形.
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE==8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AE•BC=BD•AC，
∴BD==，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，
∴AD==，
∴sin∠ABD===．
第21题答图
22．解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），
又AD是△ABC的角平分线（已知），
∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），
∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；
∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，
∴根据勾股定理得：AB==13，
∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；
（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，
设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，
即（12﹣x）2=x2+82，
解得：x=，
∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，
∴根据勾股定理得：AD==，
根据AD是△ACD外接圆直径，
∴△ACD外接圆的半径为：×=．
23．（1）证明：连结AD，如答图，
∵AC为直径，∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴BD=CD；
（2）解：在Rt△ADC中，∵AC=13，CD=BC=5，
∴AD==12，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴CE•AB=AD•BC，
∴CE==．
第23题答图
24．（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，∴=，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
第24题答图
25．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴OD⊥AC，
∴=，∴AD=CD；
（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，
∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，
在Rt△AEO中，
OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，
∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，
∴AE===4，
在Rt△AED中，
tan∠DAE===，
∵∠DBC=∠DAE，
∴tan∠DBC=．
3.4 直线与圆的位置关系
1．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
（1题图） （2题图）
2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．20°
3．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
（3题图） （4题图）
4．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
（5题图） （6题图）
6．如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（ ）
A．12 B．24 C．8 D．6
7．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ．
（7题图） （8题图）
8．如图所示，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 ．
9．PA.PB切⊙O于A.B两点，CD切⊙O于点E，交PA.PB于C.D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是 ．
10．如图，PA.PB.DE分别切⊙O于A.B.C，DE分别交PA，PB于D.E，已知P到⊙O的切线长为8CM，那么△PDE的周长为 ．
（9题图） （10题图）
11．已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．
第11题图
12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD
（1）求证：△ADO∽△ACB．
（2）若⊙O的半径为1，求证：AC=AD•BC．
第12题图
13．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
第13题图
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心.OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长．
第14题图
15．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）求cos∠E的值．
第15题图
16．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接AE，若∠C=45°，求sin∠CAE的值．
第16题图
17．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）当△ABC满足什么条件时，以点O.B.E.D为顶点的四边形是正方形？
第17题图
参考答案
1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．D
7．1或5 8．（5，4） 9． 10．16cm
11．（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，∴∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，∴=，∴AC•AD=AB•AE；
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD，∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．
（11题答图）
12.（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C=∠ADO=90°，
∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ACB；
（2）解：由（1）知：△ADO∽△ACB．∴，∴AD•BC=AC•OD，
∵OD=1，
∴AC=AD•BC．
13.（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，解得x=．则EC=2x=．
（13题答图） （14题答图）
14.（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，
∴=，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC==，
又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，∴AC=15．
又∵AC=2OE，∴OE=AC=．
15.（1）证明：如图，
方法1：连接OD.CD．
∵BC是直径，∴CD⊥AB．
∵AC=BC．∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，∴OD⊥EF．∴EF是O的切线．
方法2：∵AC=BC，∴∠A=∠ABC，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∵∠A+∠ADF=90°∴∠EDB+∠BDO=∠A+∠ADF=90°．即∠EDO=90°，
∴OD⊥ED，∴EF是O的切线．
（2）解：连BG．∵BC是直径，∴∠BDC=90°．∴CD==8．
∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，∴BG==．∴CG==．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF． ∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG==．
（15题图） （16题图）
16.解：（1）连接OD，BD，
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）作EF⊥CD于F，设EF=x
∵∠C=45°，∴△CEF.△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=x，
∴BE=CE=x，
∴AB=BC=2x，
在RT△ABE中，AE==x，∴sin∠CAE==．
17.解：（1）连接OD.OE，
∵O为AB的中点，E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE∥AC，
∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A，∵OA=OD
∴∠A=∠ODA，∴∠DOE=∠BOE。
∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE。∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．
（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：
连接BD，
∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC，
∵AB=BC，∴D为AC的中点，
∵E为BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴OD⊥AB，∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∵OD=OB，∴四边形OBED为正方形．
第17题答图
3.5 三角形的内切圆
1. 下列命题正确的是（ ）
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
2. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
第2题图 第3题图
3. 如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（ ）
A．112.5° B．112° C．125° D．55°
4. 如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）
A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m
第4题图 第5题图
5. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（ ）
A．r B． C．2r D．
6. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF= .
第6题图
7. 等边三角形内切圆与外接圆半径之比 .
8. 在等腰直角△ABC中，∠C=90°，斜边AB=6，则此三角形的内心与外心之间的距离是
.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若⊙O 的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为 .
第9题图 第10题图
10. 如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是 .
11. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)若BC=5. AC=12，⊙O的半径为R，求R的值．
第11题图
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．
（1）求证：BF=CE；
（2）若∠C=30°，CE=2，求AC的长．
第12题图
13. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，DC=1，求⊙O的半径.
第13题图
14. 如图，已知△ABC的内切圆⊙O分别和边BC，AC，AB切于D，E，F，如果AF=2，BD=7，CE=4．
（1）求△ABC的三边长；
（2）如果P为上一点，过P作⊙O的切线，交AB于M，交BC于N，求△BMN的周长．
第 14题图
15. 阅读材料：
已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA. OB. OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．
∴r=．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．
第15题图
参考答案
1. C 2. B 3. A 4. C 5. C
6. 55°7. 1:2 8. 9. 30 10. （）nR
11. （1）证明：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，OF⊥AB，
∴∠OED=∠ODE=90°，OE=OD，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是正方形；
第11题答图
（2）【解】BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13，
连接OA. OB. OC. OF，
∵S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴
∴5×12=13R+12R+5R，
∴R=2．
12.
第12题答图
13.【解】设⊙O的半径为r，过点O分别作OF⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为F，E.
∴OE//BC，∴∠AOE=∠ODF，所以△DFO∽OEA，
∴，即，
解得，⊙O的半径.
14. 【解】（1）∵⊙O分别和边BC，AC，AB切于点D，E，F，
∴AE=AF=2，BF=BD=7，CD=CE=4，
∴AB=AF+BF=9，BC=BD+CD=11，AC=AE+CE=6；
（2）∵⊙O分别和BC，AB，MN切于点D，F，P，
∴MP=MF，NP=ND，
∴MP+NP=MF+ND，
∴BM+MN+BN=BM+MP+NP+BN=BM+MF+ND+BN=BF+BD=14，
则△BMN的周长为14．
15. 【解】（1）如图2，连接OA. OB. OC. OD．
∵S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD=+++=，
∴r=．
（2）如图3，过点D作DE⊥AB于E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AE===5，
∴EB=AB﹣AE=21﹣5=16．
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，
∴DE=12，
∴DB==20．
∵S△ABD===126，
S△CDB===66，
∴===．
3.6 弧长及扇形的面积
1. 一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 ( )
A. B. C. D.
2. 如图， 是平行四边形， 是 的直径，点 在 上，，则图中阴影部分的面积为 ( )
第2题图
A. B. C. D.
3. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ( )
A. B. C. D.
4. 若扇形的面积为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径为 ( )
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，，，，分别以 、 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )
[
第5题图
A. B. C. D.
6. 若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 ( )
A. B. C. D.
7. 如图， 是 的直径，弦 ，，，则 ( )
A. B. C. D.
第7题图 第8题图
8. 如图，扇形 的半径为 ，，以 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为 ( )
A. B. C. D.
9. 如图，水平地面上有一面积为 的灰色扇形 ，其中 的长度为 ，且 与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点 再一次接触地面，如图（乙）所示，则 点移动了 ( )
第9题图
A. B. C. D.
10. 如图，以 为圆心，半径为 的圆与 轴交于 、 两点，与 轴交于 、 两点，点 为 上一动点， 于 ．当点 从点 出发顺时针运动到点 时，点 所经过的路径长为 ( )
第10题图
A. B. C. D.
11. 如图，在 中，，，将 绕 点逆时针旋转 后得到 ，点 经过的路径为 ，则图中阴影部分的面积是 ．
第11题图 第12题图
12. 如图，三角板 中，，，，三角板绕直角顶点 逆时针旋转，当点 的对应点 落在 边上时即停止转动，则点 转过的路径长为 ．
13. 某班同学在圣诞节前要为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞纸帽，已知圆锥的母线长为 ，底面圆直径为 ，则这个纸帽的表面积为 ．
14. 如图，从半径为 的圆形纸片上剪去 圆周的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 ．
第14题图 第15题图
15. 如图， 为半圆 的直径， 是半圆上一点，且 ，设扇形 ，，弓形 的面积分别为 ，，，则它们之间的关系是 ．
16. 如图，将一个三角形纸板 的顶点 放在 上， 经过圆心，，半径 ，则在 上被遮挡住的 的长为 ．（结果保留 ）
第16题图
17. 已知扇形的面积为 ，半径等于 ，则它的圆心角等于 ．
18. 圆锥的底面半径是 ，母线长 ，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为 度．
19. 如图， 的边 位于直线 上，，，．若 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 第 次落在直线 上时，点 所经过的路线的长为 （结果用含 的式子表示）．
第 19题图
20. 某厂接到为雅安地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成，样式如图所示，则赶制这样的帐篷 顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）
为 ．（ 取 ，）
第20题图
21. 如图，在 中，，，，把 绕直线 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 ，把 绕直线 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为 ．求 的值．
第21题图
22. 如图 ①，半径为 ，圆心角为 的扇形面积是 ．由弧长 ，得 ．通过观察，我们发现 类似于 ．类比扇形，我们探索扇环（如图 ②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为 ， 的长为 ， 的长为 ，线段 的长为 （即两个同心圆半径 与 的差）．类比 ，用含 ，， 的代数式表示 ，并证明．
（2）用一段长为 的篱笆围成一个如图 ② 所示的扇环形花园，线段 的长 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?
第22题图
23. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图，它的底面半径 ，高 ，求这个圆锥形漏斗的侧面积．
第23题图
24. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 ， 的夹角为 ， 长为 ，贴纸部分中 的长为 ，求贴纸部分的面积．
第24题图
25. 如图，有一块圆形铁皮， 是 的直径，，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．
（1） 当 的半径为 时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留 ）．
（2）当 的半径为 时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．
第25题图
参考答案
1. B 2. A 3. D 4. D 5. D 6. D 7. D 8. C 9. D 10. B
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.
21. 【解】在 中，，，，
．
绕 旋转一周圆锥的表面积 ；
绕 旋转一周圆锥的表面积 ．
．
22. 【解】（1） ．证明如下：
（2） 由 ，得 ．
当 时， 有最大值为 ．
当线段 的长为 时，花园的面积最大，最大面积为 ．
23. 根据题意，由勾股定理可知 ．
．
圆锥形漏斗的侧面积 ．
24. 【解】设 ，，
答：贴纸部分的面积为 ．
25. 【解】（1） 是 的直径，，
，，．
当 的半径为 时，，
．
（2） 不能．理由如下：
当 的半径为 时，．
阴影部分扇形的弧长为 ，．
以 为直径作圆，是剩余材料③中所作的最大的圆，其圆周长为 ．
，
不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．
3.7 正多边形与圆
1. 正八边形的每个内角为( )
A.120° B.135° C.140° D.144°
2.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )
A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A.12 mm B.12 mm C.6 mm D.6 mm
5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝( )
第5题图
A.30° B.35° C.45° D.60°
6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A. B. C. D.
7.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )
第7题图
A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2
8.用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆____________等分，再将____________平分，最后依次连接各分点即可得正八边形.
9.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为____________.
第9题图
10.在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝____________.
11.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.
12.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积.(结果保留根号)
13.如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.
第13题图
14.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
第14题图
15.如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)
第15题图
参考答案
1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.A 7.A
8.四 直角 9.π 10.30°或90°
11.【解】图略.两位同学的方法正确.连BO，CO，设BC交AD于点E.
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.
∴∠BOE＝60°.由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD为直径，
∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形.
12.【解】如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D.
∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形.
∵正六边形的周长为24，
∴AB＝4.
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝30°，AD＝2.
在Rt△AOD中，根据勾股定理得OD＝2.
∴S△AOB＝×4×2＝4.
∴S正六边形＝6×4＝24.
13.【证明】连接OM.
∵MN⊥OB，OE＝OB＝OM，
∴∠EMO＝30°.
∴∠MOB＝60°.
∴∠MOC＝30°，∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°.
∴MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.
14.(1)【证明】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.
在△BCF和△CDM中，
∴△BCF≌△CDM(SAS).
(2)【解】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCF＝＝108°.
∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.
∵△BCF≌△CDM，
∴∠MCD＝∠CBF.
∴∠MCD＋∠CFB＝72°.
∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.
15.【解】(1)连接OB，OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠BOC＝120°.而BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS).
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON＝.
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