资料简介
第二十六章 解直角三角形
26.1
锐角三角函数（
1
）
如图所示
,
轮船在
A
处时
,
灯塔
B
位于它的北偏东
35°
的方向上
.
轮船向东航行
5 km
到达
C
处时
,
轮船位于灯塔的正南方
,
此时轮船距灯塔多少千米
?(
结果保留两位小数
)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段
?
(
事实上
,
求轮船距灯塔的距离
,
就是在
Rt△
ABC
中
,
已知
∠
C=
90°,∠
BAC=
55°,
AC=
5 km,
求
BC
长度的问题
)
学 习 新 知
直角三角形中锐角的对边与邻边的比是定值
1.
如图，在
Rt△ABC
中和
Rt△
中，
=
与 具有怎样的关系
?
=
90°
.
当
=
时，
(
三角形相似
)
引导思考
:
(1)
如何证明线段成比例
?
(2)
根据已知
,
你能证明这两个直角三角形相似吗
?
(∵∠
A=
∠
A'
,∠
C=
∠
C'=
90°,∴Rt△
ABC
∽Rt△
A'B'C'
)
(3)
由三角形相似的性质可以得到 与 之间的关系吗
?
（
Rt△
ABC
∽Rt△
A'B'C'
,
∴
2.
如图所示
,
已知
∠
EAF<
90°,
BC
⊥
AF
,
B‘C’
⊥
AF
,
垂足分别为
C
,
C‘.
与 具有怎样的关系
?
在两个直角三角形中
,
当一对锐角相等时
,
这两个直角三角形相似
,
从而两条对应直角边的比相等
,
即当
∠
A
(
小于
90°)
确定时
,
以
∠
A
为锐角的
Rt△
ABC
的两条直角边的比
是确定的
.
如图所示
,
在
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°,
我们把
∠
A
的对边与邻边的比叫做
∠
A
的
正切
,
记作
tan
A
,
即
tan
A=
= .
大家谈谈
(tan
A
是一个比值
,
没有单位
)
(1)∠
A
的正切
tan
A
表示的是
tan
与
A
的乘积还是一个整体
?
(tan
A
表示的是一个整体
)
(2)
当
∠
A
的大小变化时
,tan
A
是否变化
?
(tan
A
随着
∠
A
的大小变化而变化
)
(3)tan
A
有单位吗
?
(4)∠
B
的正切怎么表示
?tan
A
与
tan
B
之间有怎样的关系
?
(tan
B
= ,
tan
A
·
tan
B
=1.)
(6)
若知道直角三角形的斜边和一直角边
,
你能求一个锐角的正切值吗
?
(5)
要求一个锐角的正切值
,
我们需要知道直角三角形中的哪些边
?
(
需要知道这个锐角的对边和邻边
)
(
根据勾股定理求出另一直角边
,
再根据正切定义求解
)
例
1
在
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°
.
(1)
如图
(1)
所示
,∠
A=
30°,
求
tan
A
,tan
B
的值
.
(2)
如图
(2)
所示
,∠
A=
45°,
求
tan
A
的值
.
解
:(1)
在
Rt△
ABC
中
,∵∠
A=
30°,
∴∠
B=
60°,
且
.
∴ = = .
∴tan
A=
tan 30°
= ,
tan
B=
tan 60°
= .
(2)
在
Rt△
ABC
中
,
∵∠
A=
45°,
∴
a=b.
∴tan
A=
tan 45°
= .
这样
,
就得到
tan 30°
=
,
tan 45°
=
1,tan 60°
= .
5
.
tan
2
A
表示
(tan
A
)
2
,
而不能写成
tan
A
2
.
[
知识拓展
]
1
.
正切是一个比值
,
没有单位
.
2
.
正切值只与角的大小有关
,
与三角形的大小无关
.
3
.
tan
A
是一个整体符号
,
不能写成
tan
·
A.
4
.
当用三个字母表示角时
,
角的符号“
∠”
不能省略
,
如
tan∠
ABC.
1
.
如图所示
,
在
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°,
三边分别为
a
,
b
,
c
,
则
tan
A
等于
(
)
A. B. C. D.
解析
:
根据锐角正切的定义可得
tan
A=
= ,
故选
B.
B
检测反馈
2
.
把
△
ABC
三边的长度都扩大为原来的
3
倍
,
则锐角
A
的正切值
(
)
A.
不变
B.
缩小为原来的
C.
扩大为原来的
3
倍
D.
不能确定
解析：因为△
ABC
三边的长度都扩大为原来的
3
倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角
A
的大小没改变，所以锐角
A
的正切值也不变．故选
A
．
A
3
.
已知
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°,tan
A=
,
BC=
12,
则
AC
等于
.
解析
:
根据正切定义可得
tan
A= = =
，
所以
AC=9.
故填
9.
9
4
.
如图所示
,
在
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°
.
(1)
若
tan
A=
,
BC=
9,
求
AB
的长
;
(2)
若
tan
B=
,
AC=
16,
求
AB
的长
.
解：（
1
）
∵tanA= =
，
又
BC=9,∴AC=12,
由勾股定理可得
AB=
=15.
∴
AB
的长为
15.
(2)∵tan
B= =
,
AC=
16,∴
BC=
12
.
由勾股定理可得
AB= =20.
∴
AB
的长为
20
.
(2)∵tan
B= =
,
AC=
16,∴
BC=
12
.
由勾股定理可得
AB= =20.
∴
AB
的长为
20
.
第二十六章 解直角三角形
26.1
锐角三角函数（
2
）
观察两个不同大小的三角板，当角是
30°
、
45°
、
60°
时，它们的对边与斜边、邻边与斜边的比值有什么规律？谈谈你的看法
.
问题思考
学 习 新 知
大家谈谈
如图所示
,
在
Rt△
ABC
中
,∠
C=
90°
.
(1)∠
B
的正弦与余弦分别是哪两边的比值
?
（
∠
B
的正弦是
,∠
B
的余弦是
.
）
(2)
由
a
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