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第 15 章轴对称图形与等腰三角形 15.1 轴对称图形如果沿着折叠，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。一个图形一条直线完全重合 1. 下列图形是轴对称图形吗？如果是你能找出对称轴吗？你是怎样判别的？合作学习折叠可以判断一个图形是不是轴对称图形 2 、请找出下列哪些图形是轴对称图形 ? 并找出它的对称轴各有几条？一般等腰三角形等腰梯形正方形一般长方形等边三角形一般三角形圆一般梯形一般平行四边形课内练习 3. 在 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 这几个数字中，哪几个是轴对称图形？ 0 3 8 4.你能说出一些是轴对称图形的汉字吗？中田王干平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿着这条直线折叠，这两个图形能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的两点叫做对应点（对称点）。（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）下列各组中的两个图形是否关于给定的直线对称？巩固练习轴对称图形轴对称区别联系对两个图形而言只有一条对称轴对一个图形而言至少有一条对称轴 2、若将成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形沿对称轴看成两个图形，那么这两个图形关于这条对称轴成轴对称． 1 、沿某条直线对折后都能完全重合；说说轴对称与轴对称图形的区别与联系？交流与讨论请你用 2 种方法，将如图的四块小正方形纸板拼成一个大的正方形，并且使拼成的大正方形是至少有两条对称轴的轴对称图案。如果你是设计师小结：谈谈本节课你学到的知识有哪些？有什么感受 ? 第 15 章轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线第一环节创设情境导入新课如图， A ， B 表示两个仓库，要在 A ， B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 ? 第二环节性质探索与证明命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 如果，那么 . 分析命题的条件和结论一个点在线段的垂直平分线上这个点到这条线段两个端点的距离相等 2 、根据条件和结论写出已知和求证已知：直线 l ⊥ AB ，垂足是 C ， AC = BC ， P 是 l 上的任意一点．求证： PA = PB. ∵ l ⊥ AB （已知）， ∴∠ PCA =∠ PCB = 90° （垂直定义） . ∵ AC = BC （已知） , PC = PC （公共边） , ∴△ PCA △ PCB ( SAS ) . ∴ PA = PB ( 全等三角形的对应边相等 ) . _ P B A l P . C 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等 . 证明： 3、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 解：如图 . ∵ l 是 AB 的垂直平分线,点 P 是直线 l 上一点 , ∴ PA = PB . 或写成：∵ PC ⊥ AB , AC = BC ， ∴ PA = PB . B _ P A l P C 例：用几何推理符号语言怎么表示性质定理？ 4 、结合以上内容，从图形中你还能得到什么？ B _ P A l P C △ PAB 是等腰三角形、 ∠ A = ∠ B 、“三线合一”、线段的垂直平分线是它的一条对称轴等 . 5 、应用新知，反馈练习（ 1 ）如图，已知 AB 是线段 CD 的垂直平分线， E 是 AB 上的一点，如果 EC =7 cm ，那么 ED = ；如果 ∠ ECD =60° ，那么 ∠ EDC = . C A D B E 7 cm 60° （ 2 ）已知：如图， AB 是线段 CD 的垂直平分线， E ， F 是线段 AB 上两点 . 求证：∠ ECF =∠ EDF. F C A D B E 证明： ∵ AB 是线段 CD 的垂直平分线，（已知） ∴ EC = ED , FC = FD . （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）又 ∵ EF = EF ，（公共边） ∴ ∠ ECF = ∠ EDF . （全等三角形的对应角相等） ∴ △ EFC ≌ △ EFD . （ SSS ）第三环节逆向思维，探索判定你能写出上面定理的逆命题吗？如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 . 简写成：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 . 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . 如果，那么 . 一个点在一条线段的垂直平分线上这个点到这条线段两个端点的距离相等这是一个真命题吗？如果是真命题，请你加以证明 . B P A 已知： PA = PB ．如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 . C 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 4 、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ∵ PA = PB , ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 . B P A 用符号语言表示：在这里只能确定这一个点 P ，在线段 AB 的垂直平分线上，但不能说明经过 P 点的直线就是线段 AB 的垂直平分线 . 第四环节实际应用，归纳提高： 1 、已知：如图，在△ ABC 中， AB = AC，O 是 △ ABC 内一点， OB = OC . 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC ．证明： ∵ AB = AC （已知）， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（线段 BC 的垂直平分线判定定理） . ∵ OB = OC （已知）， ∴点 O 在线段 BC 的垂直平分线上（线段 BC 的垂直平分线判定定理）， ∴直线 AO 垂直平分线段 BC （两点确定一条直线）．归纳：逆定理可以作为线段垂直平分线的判定，但必须是经过满足条件的（）个点的直线才是线段的垂直平分线 . 两 2、观察与思考：（ 1 ）观察下面用尺规作线段垂直平分线的步骤，思考这种作法的依据 . 步骤一：分别以点 A ， B 为圆心，以固定长 ( 大于 AB 长的一半 ) 为半径画弧，两弧分别交于点 E ， F . 步骤二：过点 E ， F 作直线，则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线 . 尺规作线段垂直平分线的依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 第五环节：课堂小结，知识升华通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？ 1、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3、用几何符号语言对线段垂直平分线的性质定理及其定理进行了证明 . 4、逆定理作为线段垂直平分线的判定，但必须是经过满足条件的（两）个点的直线才是线段的垂直平分线. 5、通过对定理的证明体会理解证明的严谨性，并运用两个定理解决简单的实际问题等 . A B C          M N   实际上线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合 . 1 、在△ ABC 中，∠ A =50 0 ， AB = AC ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则∠ DBC 的度数为 . 2 、如图，在△ ABC 中，已知 AC =27 ， AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E ，△ BCE 的周长等于 50, 求 BC 的长 . 解： ∵ AB 的垂直平分线为 DE ， ∴ EA = EB . （线段垂直平分线性质定理） ∵△ BCE 的周长= BC + EC + EB , ∴△ BCE 的周长= BC + EC + EA . (等量代换) ∵ AC = EC + EA =27 , ∴△ BCE 的周长= BC + AC =50 . ∴ BC= 50-27=23 . 15 ° A B C D E 第六环节 : 达标检测，知识反馈 3 、如图，在△ ABC 中， AB = AC ,∠ BAC =120°, AB 的垂直平分线交 AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，连接 AF ，求∠ AFC 的度数 . 解： ∵ AB = AC ,∠ BAC =120° ∴∠ B =∠ C =(180° - 120°)/2=30° . （等边对等角） ∵ AB 的垂直平分线 EF , ∴ FB = FA , （线段垂直平分线性质定理） ∴∠1=∠ B =30° . （等边对等角）又∵∠ AFC =∠1 +∠ B , （三角形外角和定理） ∴∠ AFC =30°+30°=60° . A B C F E 1 2 C B P A 已知： PA = PB ．求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．证明：过点 P 作垂线 PC ⊥ AB ，垂足为点 C ， ∴ P C 是△ PAB 的高 . ∵ PA = PB （已知）， ∴ △ PAB 是等腰三角形 . ∴ PC是 △ PAB 的中线（三线合一） , ∴ AC = BC ， ∴ PC 是 AB 的垂直平分线 , ∴ P 点在 AB 的垂直平分线 PC 上 ( 垂直平分线定义 ) ．第七环节逆向思维，探索判定证法 1 ：证法 2 ：证明：作△ PAB 的中线 PC 所在直线， ∴ PC 是△ PAB 的中线（作法知） . ∵ PA = PB （已知）， ∴ △ PAB 是等腰三角形 , ∴ PC 是△ PAB 的高（三线合一） , ∴ PC ⊥ AB ， ∴ P 点在 AB 的垂直平分线 PC 上（垂直平分线定义）． B P A C 证法 3 ：证明：作△ PAB 的角平分线 PC 所在直线， ∵ PA = PB ，（已知）又∵ PC 是 △ PAB 的角平分线，（作法知） ∴ AC = BC , PC ⊥ AB. （等腰三角形中“三线合一 ”） ∴ P 点在 AB 的垂直平分线上． B P A C 第 15 章轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形 ( 第 1 课时 ) 共同特点如图，把一张长方形纸片，按图中的虚线对折 , 剪下一个角 , 再把它展开 , 得到一个什么样的三角形？操作有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 . 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 . A C B 腰腰底边顶角底角底角还记得吗：做一做：把剪出的等腰三角形纸片标上字母：三角形的顶角顶点记为 A ，底角顶点记为 B ， C ，折痕为 AD . B A C D A B C D A B ( C ) D 沿折痕折叠你发现图中有哪些相等的线段或角？（ 1 ）等腰三角形是轴对称图形（ 2 ）∠ B =∠ C （ 3 ） BD = CD （ 4 ）∠ ADB = ∠ ADC = 90° （ 5 ）∠ BAD =∠ CAD C A B D 问题 1: 上述结论（ 2 ）用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等 . 问题 2: 把上述结论（ 3 ） , （ 4 ） , （ 5 ）用一句话归纳 . 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边 . 等腰三角形的两个底角相等 . 已知：在 △ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C 猜想证明：作顶角的平分线 AD . 在 △ BAD 和 △ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), ∠1= ∠2( 辅助线作法 )， AD = AD ( 公共边) , ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SAS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C 1 2 证明：等腰三角形的两个底角相等 . 作顶角的平分线 D 证明：作底边中线 AD . 在△ BAD 和△ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), BD = CD ( 辅助线作法 )， AD = AD ( 公共边) , ∴ △ BAD ≌ △ CAD (SSS). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明：作底边高线 AD . 在 Rt△ BAD 和 Rt △ CAD 中， AB = AC ( 已知 ), AD = AD ( 公共边) , ∴ Rt△ BAD ≌ Rt△ CAD (HL). ∴ ∠ B = ∠ C ( 全等三角形的对应角相等). 已知：在△ ABC 中， AB = AC . 求证： ∠ B = ∠ C . A B C D 证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线等腰三角形的性质性质 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角” ）性质 2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. （简写成 “三线合一” ）在△ ABC 中， AB = AC = BC ，利用已有的知识，如何推导出 ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 的度数. A C B 探究推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于 60° ⒈等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______. 巩固练习 ⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 __________________. ⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为____ _ _ ___ . ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2 ④0°＜顶角＜180° 结论 :在等腰三角形中, 40° 35°，35° 70°,40°或55°,55° ⑤0°＜底角＜90° 已知：如图，在△ ABC 中， AB = AC , ∠ BAC =120 º , 点 D ， E 是底边上两点，且 BD = AD ， CE = AE . 求 ∠ DAE 的度数 . A D E B C 解： ∵ AB = AC ,( 已知 ) ∴ ∠ B = ∠ C. ( 等边对等角 ) ∴ ∠ B = ∠ C =1/2×(180º-120º)=30º. 又 ∵ BD = AD , ∴ ∠ BAD = ∠ B =30º.( 等边对等角 ) 同理 ∠ CAE = ∠ C =30º. ∴ ∠ DAE= ∠ BAC - ∠ BAD - ∠ CAE = 120º-30º-30º=60º . 例 ∵ AB = AC ， AD = DC ， AE = EB ，∴ DC = BE ，∠ DCB =∠ EBC .∵ BC = CB ， ∴△ BDC ≌ △ CEB （SAS）.∴ BD = CE . 已知： AB = AC ， AD = DC ， AE = EB . 求证： BD = CE . E O D C B A 证明：证明：等腰三角形两腰上的中线相等 . E D C B A 已知： AB = AC ， CE ⊥ AB ， BD ⊥ AC . 求证： BD = CE . 证明： ∵ AB = AC ， CE ⊥ AB 于点 E ， BD ⊥ AC 于点 D ，∴∠ AEC =∠ ADB =90° . ∵ AB = AC ，∠ A =∠ A ，∵△ ACE ≌ △ ABD ，∴ CE = BD . 证明：等腰三角形两腰上的高相等 . 小结本节课你学到了什么? 等腰三角形的性质文字叙述几何语言等腰三角形的两底角相等（简称 “ 等边对等角 ” ） ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C. 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边（简称 “ 三线合一 ” ） ∵ AB = AC ， ∠1=∠2 ， ∴ AD ⊥ BC ， BD = CD. 第 15 章轴对称图形与等腰三角形 15.3 等腰三角形（第 2 课时） 1 、写出“等腰三角形两个底角相等”的逆命题； 2 、这个逆命题是真命题吗？思考 ∴ AC = AB . ( 等角对等边 ) 等腰三角形的判定定理：在△ ABC 中， ∵∠ B =∠ C, ( 已知 ) 用符号语言表示为： A B C 你能证明这一结论吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 . （简称“ 等角对等边 ”） A B C D 已知：在 △ ABC 中，∠ B =∠ C . 求证： AB = AC . 证明：作∠ BAC 的平分线 AD. 在 △ BAD 和 △ CAD 中， ∠1=∠2 ， ∠ B =∠ C ， AD = AD ， ∴ △ BAD ≌ △ CAD . （ AAS ） ∴ AB = AC . （全等三角形的对应边相等） 2 1 在△ ABC 中，已知 ∠ A ＝ 40° ， ∠ B ＝ 70°. 判断△ ABC 是什么三角形，为什么？ A B C 40° 70° 70° 检测：问题 1 ：已知：如图，在 △ ABC 中，∠ A =∠ B =∠ C , 求证： AB = AC = BC . A B C 证明：在 △ ABC 中 , ∵∠ A =∠ B , （已知） ∴ BC = CA . （等角对等边）同理 CA = AB . ∴ BC = CA = AB . 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形问题 2 ：已知：在 △ ABC 中， AB = AC ，∠ A =60 0 . 求证： AB = AC = BC . 证明：在 △ ABC 中 , ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C . （等边对等角） ∵∠ A =60 0 , ∴∠ B =∠ C =60 0 . ∴ AB = AC = BC . A B C 推论 2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60° ，那么这个三角形是等边三角形 . 顶角等于 60° 已知：在 △ ABC 中， AB = AC ，∠ B =60 0 . 求证： AB = AC = BC. A B C 证明：在 △ ABC 中 , ∵ AB = AC ， ∴∠ B =∠ C. （等边对等角） ∵∠ B =60 0 , ∴∠ C =60 0 , ∴∠ A =60 0 . ∴ AB = AC = BC . 底角等于 60° 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1 、如图，是屋架设计的一部分，其中 BC ⊥ AC ， DE ⊥ AC ，点 D 是 AB 的中点，∠ A =30° ， AB =7.4 m ，求 BC , DE 的长 . A B C D E E 2 1 A B C D ③ 如果 AD =4 cm ，那么 1. 已知 : 如图 ,∠ A =36°, ∠ DBC =36° ，∠ C =72°. ①∠1= , ∠2= . ② 图中有个等腰三角形 . BC= cm. 72° 36° 3 4 个等腰三角形 . ④ 如果过点 D 作 DE ∥ BC , 交 AB 于点 E , 那么图中有 5 基础练习： 2. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 . A B C D E 1 2 如图，∠ CAE 是 △ ABC 的外角，∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC . 求证： AB = AC . 分析：从求证看 , 要证 AB = AC ，需证∠ B =∠ C . 从已知看 , 因为∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC ，可以找出∠ B 与∠ C 的关系 . 已知：基础练习：证明： ∵ AD ∥ BC ， ∴∠ 1=∠ B （两直线平行，同位角相等）， ∠ 2=∠ C （两直线平行，内错角相等） . ∵∠ 1=∠2 ， ∴∠ B =∠ C ， ∴ AB = AC （等角对等边） . A B C D E 1 2 基础练习：如图，∠ CAE 是 △ ABC 的外角， ∠ 1=∠2 ， AD ∥ BC . 求证： AB = AC. 2. 已知： B A D C 3. 已知：如图， AD ∥ BC ， BD 平分∠ ABC . 求证： AB = AD. 基础练习：证明：∵ AD ∥ BC , （已知） ∴∠ ADB =∠ DBC . （两直线平行，内错角相等）又∵ BD 平分∠ ABC . （已知） ∴ ∠ ABD =∠ DBC . （角平分线定理） ∴∠ ABD =∠ ADB . （等量代换） ∴ AB = AD . （等角对等边） 4. 已知：如图 , DE ∥ BC , ∠1=∠2. 求证： BD = CE . A B C D E 1 2 证明： ∵ ∠1=∠2, ( 已知 ) ∴ AE = AD . ( 等角对等边 ) ∵ DE ∥ BC , ( 已知 ) ∴ ∠1=∠ B , ∠2=∠ C . ( 两直线平行 , 同位角相等 ) ∴ ∠ B =∠ C . （等量代换） ∴ AB = AC . ( 等角对等边 ) ∴ AB - AD = AC - AE , （等式性质）即 BD ＝ CE ．基础练习： 5. 如图 , C 表示灯塔 , 轮船从 A 处出发以每小时 18 海里的速度向正北 ( AN 方向 ) 航行 ,2 时后到达 B 处 , 测得 C 在 A 的北偏西 40° 方向 , 并在 B 的北偏西 80° 方向 . 求 B 处到灯塔 C 的距离 . A B C N 1 解 ∠1=∠ A +∠ C ， ∠1=80° ， ∴∠ A =∠ C =40°. ∵∠ A =40°, ∴ AB = BC . （） ∵ AB = 18×2=36, ∴ BC =36. 答 : B 处到灯塔 C 的距离是 36 海里 . 等角对等边 40º 基础练习：本节课学习了什么内容？ 1 、等腰三角形的判定定理 2 、推论 1 3 、推论 2 4 、判定定理及两条推论的应用 5 、一个定理第 15 章轴对称图形与等腰三角形 15.4 角的平分线（第 1 课时）温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠ AOB 的平分线呢？ A B O 折纸法 度量法 尺规作图 A B O A O E B C P D 将 ∠ AOB 对折 , 再折出一个直角三角形 ( 使第一条折痕为斜边 ), 然后展开 , 观察两次折叠形成的三条折痕 , 你能得出什么结论 ? 可以看一看,第一条折痕是∠ AOB 的平分线 OC ,第二次折叠形成的两条折痕 PD , PE 是角的平分线上一点到 AOB 两边的距离,这两个距离相等. 折一折作法： 1 、以 __ _ _ 为圆心， ______ 长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 M 、 N 两点； 2 、分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两条圆弧交于 ∠ AOB 内一点 ____ ； 3 、作射线，就是所求作∠ AOB 的平分线 . 点 O 任意 M ， N P OP OP 尺规作图 A Ｂ N M P Ｏ为什么 OP 是角平分线呢？ B A N M P Ｏ已知： OM = ON ， PM = PN . 求证： OP 平分∠ AOB . 证明：在△ OMP 和△ ONP 中， OM = ON （已知）， MP = NP （已知）， OP = OP （公共边）， ∴ △ OMP ≌△ ONP . （ SSS ） ∴∠ MOP =∠ NOP . 即 OP 平分∠ AOB . 想一想大胆挑战 A B O P 当∠ AOB =180 ° 时，角平分线怎么画？已知：直线 AB 及一点 C ，求作：直线 AB 的垂线，使它经过点 C . 解：分两类情况作图 . A B C D E F 1. 当点 C 在直线 AB 上时，作平角 ACB 的平分线 CF ，直线 CF 就是所求的垂线 . 小试牛刀经过已知直线上一点作这条直线的垂线 . 经过已知直线外一点作这条直线的垂线 . 作法： 1) 任意取一点 K ，使 K 和 C 在 AB 的两旁； 2) 以点 C 为圆心， CK 长为半径作弧，交 AB 于点 D 和 E ; 3) 分别以点 D 和点 E 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 F ； 4) 作直线 CF . 直线 CF 是所求的垂线 . 2. 当 C 在直线 AB 外时 . A B C D E F K 探索如图，是一个平分角的仪器 , 其中 AB = AD , BC = CD . 将点 A 放在角的顶点 , AB , CD 沿着角的两边入放下 , 沿 AC 画一条射线 AE , AE 就是角平分线 . 你能说明它的道理吗 ? 经过上面的探索，你能得到作已知角的平分线的方法吗？在△ ADC 和△ ABC 中 , AB = AD , AC = AC , DC = BC , ∴ △ ADC ≌△ ABC .( SSS ) ∴∠ DAC =∠ BAC , AE 平分 ∠ BAD . 证明：尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法： A ＢＯＭＮＣ画法：１．以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M ，交 OB 于点 N ．２．分别以 M ， N 为圆心、大于 1/2 MN 的长为半径作弧．两弧在∠ AOB 的内部交于点 C ．３．作射线 OC ．射线 OC 即为所求．老师提示 : 作角平分线是最基本的尺规作图 , 这种方法要确实掌握 . A ＢＭＮＣ为什么 OC 是角平分线呢？ O 想一想：已知： OM = ON ， MC = NC . 求证： OC 平分∠ AOB . 证明：在△ OMC 和△ ONC 中， OM = ON ， MC = NC ， OC = OC ， ∴△ OMC ≌△ ONC . （ SSS ） ∴∠ MOC =∠ NOC . 即 OC 平分∠ AOB . 探索２将角 AOB 对折 , 再折出一个直角三角形 ( 使第一条折痕为斜边 ), 然后展开 , 观察两次折叠形成的三条折痕 , 你能得到什么结论 ? O A B A O B E D 操作、测量 : OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的任意一点 . 1. 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB , 点 D ， E 为垂足，测量 PD ， PE 的长 . 将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，写出结论： _______ . PD PE 第一次第二次第三次 C O B A PD = PE P D E 结论：在角平分线上的点到角的两边的距离相等 . 题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知： OC 是∠ AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB ，垂足分别是 D ， E . 求证： PD = PE . A O B P E D C 已知： OC 平分∠ AOB ，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA 于 D ， PE ⊥ OB 于点 E . 求证： PD = PE. A O B E D P C 例 1 ： ∵ PD ⊥ OA ， PE ⊥ OB , 证明： ∴ ∠ PDO =∠ PEO = 90°. 在△ POD 和 △ PEO 中 , ∴ △ PDO ≌△ PEO . （ AAS ） ∠ PDO ＝∠ PEO , ∠ AOC ＝∠ BOC , OP = OP , ∴ PD ＝ PE. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点在角平分线上 . 结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 . ∵ QD ⊥ OA ， QE ⊥ OB ， QD ＝ QE , ∴点 Q 在∠ AOB 的平分线上．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . ∵ QD ⊥ OA , QE ⊥ OB , 点 Q 在∠ AOB 的平分线上 , ∴ QD ＝ QE. 用数学语言表示为：用数学语言表示为：思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处 500 米，应建在何处？（比例尺 1 ： 20 000 ）ＳＯ公路铁路例 2 已知：如图，△ ABC 的角平分线 BM ， CN 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB ， BC ， CA 的距离相等 . 证明：过点 P 作 PD ， PE ， PF 分别垂直于 AB ， BC ， CA ，垂足为 D ， E ， F . ∵ BM 是△ ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE . （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点 P 到边 AB ， BC ， CA 的距离相等 . D E F A B C P M N 练习：如图，△ ABC 的∠ B 的外角的平分线 BD 与∠ C 的外角的平分线 CE 相交于点 P ．求证：点 P 到三边 AB ， BC ， CA 所在直线的距离相等．ＡＣＤＥ F G H ＢＰ及画一条已知直线的垂线 . 2 . 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3 . 角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 . 小结 1. 画一个已知角的角平分线已知 : 如图 , 在△ ABC 中 , AD 是它的角平分线 , 且 BD = CD , DE ⊥ AB , DF ⊥ AC , 垂足分别是 E , F . 求证 : EB = FC . B A E D C F 查看更多

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