资料简介
第
25
章 随机事件的概率
25.1
在重复试验中观察不确定现象
模仿抽签决定演讲比赛的出场顺序
5
名同学参加讲演比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序，签筒中有
5
根形状、大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号
1
，
2
，
3
，
4
，
5.
小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地取一根纸签，请考虑以下问题：
标
签
1
标
签
2
标
签
3
标
签
4
标
签
5
问题
1
每次抽签的结果不一定相同，序号
1
，
2
，
3
，
4
，
5
都有可能抽到，共有
5
种可能的结果，但是事先不能预料一次抽签会出现哪一种结果：
（
1
）抽到的序号有几种可能的结果？
（
3
）抽到的序号会是
0
吗？
（
2
）抽到的序号小于
6
吗？
（
4
）抽到的序号会是
1
吗？
抽到的序号 一定小于
6
；
抽到的序号不会是
0
；
抽到的序号可能是
1
，也可能不是
1
，
事先无法确定．
掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有
1
到
6
的点数（多重复几次）
.
请考虑以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上
.
在桌面上掷骰
（
1
）可能出现哪些点数？
每次掷骰子的结果不一定相同，从
1
到
6
的每一个点数都有可能出现，所有可能的点数共有
6
种，但是事先不能预料掷一次
骰
子会出现哪一种结果；
问题
2
（4）出现的点数会是4吗？
（
2
）出现的点数大于
0
吗？
（
3
）出现的点数会是
7
吗？
出现的点数可能是
4
，也可能不是
4
，事先无法确定．
出现的点数肯定大于
0
；
出现的点数绝对不会是
7
；
必然事件：在一定条件下重复进行试验时，有的
事件在每次试验中必然发生的事件．
例如，问题
1
中“抽到的序号小于
6”
，问题
2
中“出现的点数大于
0”
，这两个事件是必然发生的事件．
不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生．
例如，问题
1
中“抽到的序号是
0”
，问题
2
中“出现的点数是
7”
，这两个事件是不可能发生的事件．
不可能事件
必然事件
这两个事件是否发生不能确定，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。
在一定条件下，某些事件有可能发生，也有可能不发生，事先无法确定．例如，问题
1
中“抽到的序号是
1”
，问题
2
中“出现的点数是
4”.
随机事件
一定会发生的事件
必然事件
不可能发生的事件
不可能事件
可能发生也可能不发生的事件
随机事件
在
8
：
00
时拨打查号台（
114
），”线路接通“是随机事件，它可能发生，也可能不发生（出现”占线“等情况）．
举出现实生活你所知道的随机事件与必然事件
任意抛掷一枚硬币，“正面向上”是随机事件，它可能发生，也可能不发生（出现“反面向上”）；
太阳从东方升起到西方落下，这是必然事件．
指出下列事件，哪些是必然
事件
，哪些是不可能
事件
，哪些是随机事件：
（
1
）通常加热到
100℃
时，水沸腾；
（
2
）篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
（
3
）掷一次骰子，向上的一面是
6
点；
必然会发生，必然事件
可能发生，随机事件
可能发生，随机事件
（
4
）测量三角形的内角和，结果是
360°
；
（
5
）经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（
6
）某射击运动员射击一次，命中靶心．
不可能发生，不可能事件
可能发生，随机事件
可能发生，随机事件
1
、说一说下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
（
1
）地球上抛向空中的球会下落
.
（
2
）测量三角形的内角和，结果是
360
°
.
（
3
）经过城市中一有交通信号灯的路口，
遇到红灯
.
2
、想一想：已知地球上陆地面积与海洋面积之比为
3
：
7
，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，可能性大的是“落在海洋里”还是“落在陆地上”
.
第
25
章 随机事件的概率
25.2
随机事件的概率
25.2
随机事件的概率
一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，用
P
（事件）表示
.
你知道如何求事件发生的概率了吗？
同意
.
出现等可能的结果有
6
种，而出现
“6”
就只有
1
种，所以出现
“6”
的概率是
.
也有同学说：
它表示每
6
次就有
1
次掷得“
6”,
你同意这种说法吗？
不同意
.
概率表示的是事件发生的可能性，并不是一定是掷
6
次，就一定发生
1
次掷得“
6”.
2.
下列事件是什么事件？它们发生的概率是多少？
（
1
）每天太阳从西边落下
.
（
2
）在一个装有
5
个红球、
3
个黑球、
2
的白球的袋子中摸到绿球
.
你能总结事件发生的概率的取值范围吗？
0≤P(A)≤1.
当
A
为不可能事件时，
P(A) =0;
当
A
为必然事件时，
P(A)=1.
一个布袋中放着
8
个红球和
16
个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别
.
布袋中的球已经搅匀
.
从布袋中任意取
1
个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？
解
:
P
（取出黑球）
=
P
（取出红球）
=
还有其他方法没有？
甲袋中放着
22
个红球和
8
个黑球，乙袋中放着
200
个红球、
80
个黑球和
10
个白球
.
三种球除了颜色以外没有任何其他区别
.
两袋中的球都已经各自搅匀
.
从袋中任取
1
个球，如果你想取出
1
个黑球，选哪个袋成功的机会大？
先分别计算两个袋中取出黑球的概率，再进行比较
.
解：
在甲袋中，
P
（取出黑球）
=
在乙袋中，
P
（取出黑球）
=
所以，选乙袋成功的机会大.
5.
一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8.
投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果
.
（
1
）掷得“
7”
的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
【解】
掷得“
7”
的概率等于
.
它表示如果重复投掷这枚骰子很多次的话，那么平均每
8
次就有一次掷得
“7”.
（
2
）抛掷的数不是“
7”
的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
（
3
）抛掷的数小于或等于“
6”
的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
一个事件发生的各种等可能的概率之和等于
1
【解】掷得的数不是“
7”
的概率等于
.
它表示如果重复投掷这枚骰子很多次的话，那么平均每
8
次就有
7
次掷得的数不是
“7”.
【解】掷得小于或等于“
6”
的概率等于
.
它表示如果重复投掷这枚骰子很多次的话，那么平均每
4
次就有
3
次掷得的数小于或等于“
6”.
事件发生的概率：
一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，用
P
（事件）表示
.
概率的计算公式：
概率的取值范围：
0≤P(A)≤1
频率与概率的关系：
频率是概率的
近似值
；概率是频率的
稳定值
，即概率是一个
确定的值
。
经大量
重复试验
，当某事件发生的频率越来越接近某个
稳定值
时，这个稳定值就是该事件发生的
概 率
。
抛掷两枚硬币，“出现两个正面”
.
（1）通过试验，发现“出现两个正面”的频率稳定
在25
%
附近.
（
2
）你能用理论分析求出“出现两个正面”的概率吗？
出现均等机会的结果有
4
种，“出现两个正面”的结果有
1
种
.
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果。
也可用如下方法求概率：
开始
硬币
1
正
反
硬币
2
正
反
正
反
P
（出现两个正面）
=
树状图
树状图法：
按事件发生的次序从上至下每条路径
列出事件的每一个可能出现的结果。
例：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？
分析
：
对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2，3次抛掷来说也是这样。而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等。由此，我们可以画出树状图.
开始
第一次
正
反
第二次
正
反
正
反
第三次
正
反
正
正
正
反
反
反
正正正
正正反
正反正
反正正
正反反
反正反
反反正
反反反
解
：
综上，共有以下八种机会均等的结果：
P
（正正正）＝
P
（正正反）＝
所以，这一说法正确
.
将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率。
1.
一枚图钉被抛起后落地的结果有几种？
两种：“钉尖朝上”或“钉尖触地”
.
2.
你能用理论分析的方法计算出“钉尖触地”的概率吗？
不能.由于图钉的形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测P（钉尖朝上）与P（钉尖朝下）的数值.
这样的话，我们就只能用重复试验的方法来估计
P
（钉尖触地）。
通过小组合作，分别记录抛掷40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、180次后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图。
抛图钉次数
40
80
120
160
200
240
280
320
钉尖触地的频数
20
37
50
69
88
105
125
146
钉尖触地的频率
50
.
0%
46
.
3%
41
.
7%
43
.
1%
44
.
0%
43
.
8%
44
.
6%
45
.
6%
抛图钉次数
360
400
440
480
520
560
600
640
钉尖触地的频数
163
183
196
219
228
248
269
285
钉尖触地的频率
45
.
3%
45
.
8%
44
.
5%
45
.
6%
43
.
8%
44
.
3%
44
.
7%
44
.
5%
通过小组合作，分别记录抛掷40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、180次后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图。
抛图钉次数
680
720
760
800
840
880
920
960
钉尖触地的频数
305
328
347
366
383
401
421
445
钉尖触地的频率
44
.
9%
45
.
6%
45
.
7%
45
.
6%
45
.
6%
45
.
6%
45
.
8%
46
.
4%
抛掷次数
频率
可以看出，当试验进行到720次以后，所得的频率值就在46
%
上下浮动，所以，我们可以取46
%
作为这个事件概率的估计值．即P（钉尖触地）≈46
%
.
如果使用的图钉形状分别是如图的两种，那么两种图钉钉尖触地的概率相同吗？
不相同
注意:
1
.
通过重复试验用频率估计概率，
要求试验的条件
必须
相同.
2.在相同条件下试验的次数越多，就越有可能得到较好的估计值。
随机掷两枚均匀的硬币两次
,
两个正面朝上的概率是多少
?
开始
正
正
反
正
反
(
正
,
正
)
(
正
,
反
)
(
反
,
正
)
(
反
,
反
)
反
第一枚
第二枚
总共有
4
种结果
,
每种结果出现的可能性相同
,
而两个正面朝上的结果有
1
种
:
P
= .
以上的例题过程我们常把它称为
树状图。
它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明.
画树状图求概率的步骤
:
①
把第一个因素所有可能的结果列举出来
.
②
随着事件的发展
,
在第一个因素的每一种可能上都会发生第二个因素的所有的可能
.
③
随着事件的发展
,
在第二步列出的每一个可能上都会发生第三个因素的所有的可能
.
归纳
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，
放回搅匀，再摸出第2个球，两次摸球就可能出现3种结果:
(1)都是红球;
(2)都是白球；
(3)一红一白.
这三个事件发生的概率相等吗？
在分析上面问题时，一位同学画出如下图的树状图
.
开始
第一次
红
白
红
白
红
白
第二次
从而得到，
“
摸出两个红球
”
和
“
摸出两个白球
”
的概率相等，
“
摸出一红一白
”
的概率最大
.
他的分析有道理吗？为什么？
把两个白球分别记作白
1
和白
2
，
用树状图的方法看看有哪些等可能的结果
分析
开始
红
白
1
白
2
红
白
1
白
2
红
白
1
白
2
红
白
1
白
2
第一次
第二次
利用
树状图
或
表格
可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果
;
从而较方便地求出某些事件发生的概率
.
用树状图和列表的方法求概率时应注意
各种结果出现的可能性必须相同
.
用树状图法列举时应
注意同时取出还是放回后再抽取
，两种方法不一样
.
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