资料简介
第
22
章 一元二次方程
22.1
一元二次方程
分别指出下面的方程叫作什么方程？
(l)3
x
+4=l；(2)6
x
-5
y
=7；(3)
.
解：（1）一元一次方程；
（2）二元一次方程；
（3）分式方程
.
一、新课导入
理解一元二次方程的概念及它的一般形式;
会判断一元二次方程的二次项系数、一次项
系数和常数项；理解一元二次方程的解的概念
.
1
2
二、学习目标
三、研读课文
认真阅读课本上的内容，完成练习并体验知识点的
形成过程
.
知 识 点 一
引言中的方程
①
请问方程
是什么方程呢？
如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600
cm
2
, 那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题1
设切去的正方形的边长为
x
cm，
则盒底的长为______
____
_,
宽为_____
____
__,
得方程____________
____
___.
整理得_______________②
(100-
2
x
)cm
(50-
2
x
)cm
(100-
2
x
)(50-
2
x
)=3 600
x
2
-75
x
+350=0
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
问题 2
设应邀请
x
个队参赛，每个队要与其他 ____个队各比赛一场，可列方程为 ______________
整理得________③
观察 方程①②③的共同点：
（1）这些方程的两边都是_____；
（2）都只含有______未知数
x
；
（3）它们的最高次数都是____次。
x
-1
x
2
-
x
=56
整式
一个
2
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是
2
（二次）的方程叫做
一元二次方程
．
一元二次方程的概念
练一练
下列方程是一元二次方程的是_____（填序号）.
①3x
2
+7=0
②3x-4=5x+6
③(x-2)(x+5)=x
2
-1
④3x
2
-
=0
①
一元二次方程一般的形式
一般地，任何一个关于
x
的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax
2
+
bx
+
c
=0
（
a
≠0
）．这种形式叫做一元二次方程的
一般形式
．
因为当
a
=0时，二次项就不存在了，方程就不再是一元二次方程了，所以规定
a
≠0.
一元二次方程一般的形式
思考：为什么规定
a
≠0？
根据下列问题，列出关于
x
的方程，并将所列的方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长
x
；
解：所列方程为
_____
_
,化成一元二次方程的一般形式
为
.
4
x
2
=25
4
x
2
-25=0
练一练
（2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长
x
；
解：所列方程为__________ ，化成一元二次方程的一般形式为
___________。
x
(
x
-2)=100
x
2
-2
x
-100=0
练一练
（3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长
x
.
解：所列方程为
_____
_
__
_,
化成一元二次方程的一般形式为
_____
______
.
x
=(1-
x
)
2
x
2
-
3
x
+
1=0
练一练
一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0(
a
≠0)，其中
ax
2
是
二次项
,
a
是二次项系数；
bx
是
一次项
,
b
是
一次项系数
;
c
是
常数项
。
二次项、一次项和常数项
例题
例 将方程
3
x
(
x
-1)=5(
x
+2)
化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3
x
2
-3
x
=5
x
+10.
移项、合并同类项，得
3
x
2
-8
x
-10=0.
其中二次项系数为
3
，一次项系数为
-8
，常数项为
-10 .
将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：
4
x
(
x
+2)=25
(3
x
-2)(
x
+1)=8
x
-3
练一练
(3
)
把 化为一般形式为
4
x
2
+8
x
-25=0，
二次项系数为
4
，一次项系数为
8
，
常数项
为
-25
．
4
x
(
x
+2)=25
(4
)
把 化为一般形式为
3
x
2
-
7
x
+1=0，
二次项系数为
3
，一次项系数为
-7
，
常数项 为
1
．
(3
x
-2)(
x
+1)=8x-3
练一练
(
1
)
把 化为一般形式为
5
x
2
-4
x
-1
=0
，
二次项系数为
5
，一次项系数为
-4
，
常数项为
-1
．
(2)
把 化为一般形式为
4c
2
-81=0，
二次项系数为
4
，一次项系数
0
，
常数项为
-81
．
使方程
左右两边相等
的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做
一元二次方程的根
.
一元二次方程的解（根）
下面那些数是方程
x
2
-x-6=0
的根？
-
4，
-
3，
-
2，
-
1，0，1，2，3，4.
解：因为
-
2
和
3
能使方程
x
2
-x-6=0
的左右
两边
相等，所以
-
2
和
3
是方程
x
2
-x-6=0
的根.
练一练
4、学习反思：
_____________________________
.
1、等号两边都是____，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ___的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式是：_____________
_.
3、使方程
____________
的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做
_______________
.
四、归纳总结
Thank you!
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第
1
课时
用直接开平方法解一元二次方程
一桶某种油漆可刷的面积为
1500
d
m
2
，李林用这桶油漆恰好刷完
10
个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
创设情景 明确目标
这个一元二次方程有什么特点？
怎样解这个一元二次方程？
1
．体会解一元二次方程降次的转化思想．
2
．会利用直接开平方法解形如
x
2
＝
p
或
(
m
x
＋
n
)
2
＝
p
(
p
≥0)
的一元二次方程．
学习目标
探究点一
合作探究 达成目标
二元、三元一次方程组
一元一次方程
一元二次方程
消元
降次
例
1
：
一桶某种油漆可刷的面积为
1500dm
2
，李林用这桶油漆恰好刷完
10
个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
10×6
x
2
=1500
由此可得
x
2
=25
即
x
1
=5
，
x
2
=
－
5
可以验证，
5
和－
5
是方程 ①
的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为
5dm
．
解：设正方体的棱长为
x
dm
，则一个正方体的表面积为
6
x
2
dm
2
，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
①
合作探究 达成目标
等量关系：
10
个正方体盒子的表面积＝油漆可刷的总面积
平方根的意义
小组讨论
1
形如
x
2
=
p
(
p
≥0
)
的方程可用什么方法求解？
【
针对练一
】
解得：
【
答案
】
小组讨论
2
（
2
）对于常数
p
，为什么要限定条件
p
≥0
？
一般地，对于
x
2
＝
p
当
p
＞
0
时，方程有两个不相等的实数根，即：
当
p
＜
0
时，方程无实数根
.
当
p
=0
时，方程有两个相等的实数根，即：
探究点二
例
2
：解方程
【
思考
】
①
方程（
1
）与
x
2
=25
这个方
程有
什么不同？可以直接开平方吗？
②方程（
2
）与方程（
1
）有什么不同？怎样将方程
(
2
)
转化为方程（
1
）的形式？
③方程（
3
）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？
小组讨论
3
对于可化为
(
m
x
＋
n
)
2
＝
p
(
p
≥0)
或（
ax
+
b
）
2
=(
c
x
+
d
)
2
的方程，可以用直接开平方发求解吗？
1.
当方程的一边容易变形为含未知数的完全平方式，另一边是非负数时，可以用直接开平方法求解，
即：对于
(
m
x
＋
n
)
2
＝
p
(
p
≥0)
，得：
2.
若两边都是完全平方式，
即：
（
ax
+
b
）
2
=(
c
x
+
d
)
2
，得
【
针对练二
】
5.
方程（
2
x
-1)
2
=(
x
+2)
2
的解为：
x
1
=3,
x
2
=
D
D
1/5
D
1.
降次的实质：
将一个二次方程转化为两个一次方程；
降次的方法：
直接开平方法
；
降次体现了：
转化思想
；
2.
用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求解
.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
可以
可以
可以
不可以
可以
达标检测 反思目标
2.
3.
4.
-1
-5
解：
达标检测 反思目标
5.
已知方程 的一个根是
,
求
k
的值和方程的另一个根。
解：把
代入
得：
解得：
原方程为：
所以方程的根为：
即方程的另一个根为
-1
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
创设情景 明确目标
1
．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
2
．在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根和与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
学习目标
探究点一
一元二次方程的根与系数的关系的推导
合作探究 达成目标
-
-1
x
1
+x
2
=
+
=
=
-
x
1
x
2
= ·
=
=
=
一元二次方程根与系数的关系
(
韦达定理）
推论
1
【
针对训练
1】
-3
1
D
例
1.
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程
两根 的和与积
.
合作探究 达成目标
探究点二
一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)
方程（
3
）与方程（
1
）（
2
）在形式上有何区别 ？
【
小组讨论
2
】
(1)
在求两根的和与积时，必须将方程怎样处理 ？
【
针对训练
2】
A
C
4.
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
＋
mx
＋
n
＝
0
的两个实数根分别为
x
1
＝－
2
，
x
2
＝
4
，则
m
＋
n
的值是（ ）
A
．－
10
B
．
10 C
．－
6 D
．
2
5.
已知一元二次方程
x
2
-6
x
+
c
=0
有一个根为
2
，则另一个根为：（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【
针对训练
2】
C
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
D
0
3
-2
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第
3
课时 公式法
创设情景 明确目标
请用配方法解方程：
x
2
-
x
-1=0
1
．理解一元二次方程求根公式的推导．
2
．会用求根公式解简单数字系数的
一元二次方程．
3
．理解一元二次方程的根的判别式，
并会
用它判别一元二次方程根的情况．
学习目标
任何一元二次方程都可以写成一般形式
你能否也用配方法得出①的解呢？
二次项系数化为
1
，得
配方
即
①
②
移项，得
探究点一
一元二次方程根的判别式的应用
因为
a
≠0,4
a
2
>0,
当
b
2
－
4
ac
＞
0
时，所以方程有
两个不相等
的实数根
由②式得
当
b
2
－
4
ac=
0
时，方程有
两个相等
的实数根
当
b
2
－
4
ac
＜
0
时，方程
没有
实数根
（
1
）一元二次方程根的判别式与根的情况有何关系？
（
2
）如何用根的判别式不解方程判断方程根的情况？
活动
二：
交流思考下面的问题 ：
当 时，方程有
两个不相等
的实根； 当 时，方程有
两个相等
的实根； 当 时，方程
没有
实根
.
b
2
-
4
ac
＞
0
b
2
-
4
ac
=
0
b
2
-
4
ac
＜
0
【
小组讨论
1
】
一元二次方程根的判别式在使用时应注意什么 ？
【
针对训练
1
】
A
2
-1
1.
（
2015
重庆）已知一元二次方程
则该方程根的情况是
( )
A
．有两个不相等的实数根
B
．有两个相等的实数根
C
．两个根都是自然数
D
．无实数根
（
2015
青岛）
关于
x
的一元二次方程
有两个不相等的实数根，求
m
的取值范围
.
一元二次方程
的根由方程的系数
a
，
b
，
c
确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的
求根公式
，利用它解一元二次方程的方法叫做
公式法
，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
时，将
a
，
b
，
c
代入式子
探究点二
用公式法解一元二次方程
例
2
：
用公式法解下列方程 ：
探究点二
用公式法解一元二次方程
【
小组讨论
2
】
用公式法解一元二次方程的前提条件是什么 ？
【
针对训练
2
】
C
(2)
（
2015
大连）
x
2
－
6
x
－
4=0
.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
A
D
4
-3
-5
a≥-1
解：
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第
4
课时 因式分解法
☞
思考
根据物理学规律
,
如果把一个物体从地面以
10m/s
秒的速度竖直上抛，那么经过
x
秒物体离地高度（单位：米）为
10
x
-4.9
x
2
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到
0.01S
）
10
x
-4.9
x
2
=0
①
创设情景 明确目标
1
、请用配方法或公式法求方程①的解；
2
、若将方程左边分解因式为：
x
(10-4.9
x
)=0
，是否有比学过的两种方法更简便的解法呢？
1
．会用因式分解法解某些简单
数字系数
的一元二次方程．
2
．进一步体会转化的思想，能
选择恰当
的方法解一元二次方程．
学习目标
于是得
上述解中，
x
2
≈2.04
表示物体约在
2.04
时落回地面，面
x
1
=0
表示物体被上抛时离地面的时刻，即在
0s
时物体被抛出，此刻物体的高度是
0m
．
如果
a·b
=0
那么
a
=0
或
b
=0
．
探究点一
用因式分解法解一元二次方程
10
x
-4.9
x
2
=0
①
方程①的右边为
0
，左边可因式分解，得
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于
0
的形式，再使这两个一次式分别等于
0
，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法
．
以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次的方程？
讨
论
①
②
当一元二次方程的一边是
0,
而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时
,
我们就可以用分解因式的方法求解
.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为
分解因式法
.
1.
用分解因式法解一元二次方程的
条件
是
:
方程
左边
易于分解
,
而
右边
等于零
;
2.
理论依据
是
:
“
如果
两个
因式的
积
等于
零
,
那么
至少
有
一个
因式等于
零
”
例
:1
解下列方程
:
(1)
x
(
x
-2)+
x
-2=0;
分解因式法解一元二次方程的步骤是
:
2.
将方程
左边
因式分解
;
3.
根据“
至少有一个因式为零
”
,
转化为两个一元一次方程
.
4.
分别解
两个
一元一次方程，它们的根就是原方程的根
.
1.
化方程为
一般形式
;
【
小组讨论
1
】
运用因式分解法解一元二次方程时方程两边如何处理 ？
右化零 左分解
两因式 各求解
【
针对训练
1】
D
解：
（
2015
重庆
）
一元二次方程
x
2
－
2
x
=0
的根是
( )
A.
x
1
=0
，
x
2
=
－
2 B.
x
1
=1
，
x
2
=2
C.
x
1
=1
，
x
2
=
－
2 D.
x
1
=0
，
x
2
=2
探究点二
选择恰当的方法解一元二次方程
思考：
（
1
）哪种方法更简便？
（
2
）因式分解法适合什么样的方程？
例
2
：试用合适的方法解下列方程：
【
小组讨论
2】
解一元二次方程的基本思路是什么？ 有哪些方法可以达到这个目的 ？
用公式法求解即可
:
若一边可以分解成
两个因式乘积的形式
,
可以因式分解法解方程
.
【
针对训练
2】
(5)
(6)
【
答案
】
解一元二次方程的
基本思路
是将二次方程化为一次方程，即
降次
.
使用的方法有
配方法、公式法、因式分解法．
当一元二次方程的
一边为
0
，而另一边
易于分解
成两个一次因式的乘积时，我们就用分解因式的方法来求解
.
总结梳理 内化目标
达标检测 反思目标
B
D
3
（
x
+12)(
x
+8)
x
1
=-12,
x
2
=-8
解：
第二十一章 一元二次方程
21.2
解一元二次方程
第
2
课时 用配方法解一元二次方程
温故而知新
1.
解下列方程：
(1)2
x
²=8
(2)(
x
+3)²-25=0
(3)9
x
²
+6
x
+1=4
2.
你能解这个方程吗？
x
²+6
x
+4=0
直接开平方法
1
．理解配方的基本过程，会运用配方
法解
一元二次方程．
2
．经历探索利用配方法解
一元二次方程的
过程，体会转化的数学思想．
学习目标
回顾与复习
因式分解的完全平方式，你还记得吗
?
完全平方式
填一填
1
4
它们之间有什么关系
?
1
2
4
2
(1)
x
²+10
x
+
=(
x
+
)²
(2)
x
²-12
x
+
=(
x
-
)²
(3)
x
²+5
x
+
=(
x
+
)²
(4)
x
²-
x
+
=(
x
-
)²
(5)4
x
²+4
x
+
=(2
x
+
)²
6
²
5
5
²
6
1
²
1
移项
两边加上
3
2
,
使左边配成
完全平方式
左边写成完全平方的形式
开平方
变成了
(
x
+
h
)
2
=
k
的形式
想一想如何解方程？
以上解法中
,
为什么在方程 两边加
9?
加其他数行吗
?
像上面那样
,
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法
,
叫做配方法
.
这个方程怎样解？
变形为
的形式．（
ａ
为非负常数）
变形为
x
2
－
8
x
＋
1
＝
0
(
x
－
4)
2
=15
x
2
-8
x
+16=-1+16
活动
一：
探究点一
用配方法解二次项系数为
1
的一元二次方程
（
1
）解答过程都有哪些步骤？
（
1
）
移项
:
把常数项移到方程的右边
（
2
）
配方
:
方程两边都加上一次项系数
一半的平方
（
3
）
开方
:
根据平方根意义
,
方程两边开平方
（
4
）
求解
:
解一元一次方程
（
5
）
定解
:
写出原方程的解
用配方法解二次项系数为
1
的一元二次方程的
步骤
:
小组讨论
1
（
1
）把常数项移到方程右边后，两边加上的常数和一次项系数有何关系？ （
2
）左边的平方式中的符号与一次项系数的符号有什么关系？
【
针对练一
】
36
6
4
2
16
4
（
2015
随州）
用配方法解一元二次方程
x
2
－
6
x
－
4=0
，下列变形正确的是（
）
A
．
(
x
－
6)
2
=
－
4+36 B
．
(
x
－
6)
2
=4+36
C
．
(
x
－
3)
2
=
－
4+9 D
．
(
x
－
3)
2
=4+9
D
解：
探究点二
配方法解二次项系数不为
1
的一元二次方程
(1)
这两个小题与活动一中的方程有什么不同？如何将此例方程转化为活动一中方程的情形？
配方法解一元二次方程应注意些什么 ？
小组讨论
2
在用配方法解二次项系数不为
1
的一元二次方程时，通常是先让方程的各项除以二次项系数，即把这类方程转化为例
1
中的方程类型；
解一元二次方程的基本思路
把原方程变为
(
x
+
n
)
2
＝
p
的形式
(
其中
n
、
p
是常数）
当
p
≥0
时，两边同时开平方，这样原方程就转化为
两个
一元一次方程
二次方程
一次方程
当
p
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