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专题02 （利用数列前n项和与通项探究递推关系 ) (教案)-备战2021年高考数学中数列与立体几何知识点提优（江苏专用）

2021-11-19
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专题二利用数列前 n 项和与通项探究递推关系例题 1.（2020 浙江，7 题）已知等差数列的前 n 项和，公差，记，晦晦，，下列等式不可能成立的是 A. 晦 B. 晦 C. D. 【分析】本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前 n 项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．由已知利用等差数列的通项公式判断 A 与 C；由数列递推式分别求得，分析 B，D 成立时是否满足公差，判断 B 与 D．思维升华解决这一类问题，我们要熟记公式，这样考试当中才能灵活运用公式。解决这类题目的主要方法是对 Sn 与 an 的关系式递推(可前推也可以后推)后，两式相减，消去和 Sn，得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解，有时也将 an 表示 Sn－Sn－1(n≥2，n∈N*)后，消去项 an. 基本知识 )1( )2( 1 1    naa naSS n nnn 【答案】B 【解析】【解答】解：在等差数列中，晦，在数学模拟考试和高考题中，利用数列{an}的前 n 项和为 Sn 与通项 an 的关系求解数列的通项公式 an＝f(n)或者其他类似问题是常考题型和热点问题，解决这类题目的主要方法是对 Sn 与 an 的关系式递推(可前推也可以后推)后，两式相减，消去和 Sn，得到相邻两项(或者是相邻三项)关系后求解，有时也将 an 表示成 Sn－Sn－1(n≥2，n ∈N*)后，消去项 an 1.直击高考晦晦晦晦晦，晦，晦，晦晦 ͷ ．晦， ͷ ，， ͷ ͷͷ ． A. 晦晦，晦晦晦晦 ͷ 晦，故 A 正确； B. ，晦晦，若晦，则，即不合题意，故 B 错误； C.若，则晦晦晦香，即晦晦䁕晦晦香，得，，，符合，故 C 正确； D.若，则 ͷ 晦 ͷ ͷͷ ，即晦 ͷ 晦 ͷ ，则有两不等负根，满足，故 D 正确．等式不可能成立的是 B．故选：B．例 2.（2020 江苏，20 题）已知数列的首项，前 n 项和为设和 k 为常数，若对一切正整数 n，均有晦晦成立，则称此数列为“ ”数列．若等差数列是“ ”数列，求的值；若数列是“ ”数列，且，求数列的通项公式；对于给定的，是否存在三个不同的数列为“ ”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】解：时，晦晦晦，由 n 为任意正整数，且，，可得；晦晦，则晦晦晦晦晦晦晦晦，因此晦晦晦，即晦晦，晦晦晦，从而晦，又，可得，，，综上可得，；若存在三个不同的数列为“ ”数列，则晦晦，则晦晦晦晦晦晦，由，，且，令晦，则晦，时，，由，可得，则晦，即晦，此时唯一，不存在三个不同的数列，时，令，则晦，则晦晦，时，晦晦，则，同上分析不存在三个不同的数列； ൏ ൏ 时， ൏ ，晦晦无解，则，同上分析不存在三个不同的数列；时，，则，同上分析不存在三个不同的数列时，即 ൏ ൏ 时，，晦晦有两解，，设 ൏ ，晦，，则 ൏ ൏ ൏ ，则对任意，晦或晦或晦，此时，，均符合条件．对应，，，则存在三个不同的数列为“ ”数列，且，综上可得 ൏ ൏ ．【解析】由“ ”数列可得，结合数列的递推式，以及等差数列的定义，可得的值；运用“ ”数列的定义，结合数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求通项公式；若存在三个不同的数列为“ ”数列，则晦晦，由两边立方，结合数列的递推式，以及 t 的讨论，二次方程的实根分布和韦达定理，即可判断是否存在，并可得取值范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列的递推式的运用，考查分类讨论思想，以及运算能力和推理论证能力，是一道难题．例 3（2020 浙江，20 题）已知数列，，满足，晦晦，晦晦．若为等比数列，公比，且晦，求 q 的值及数列的通项公式；若为等差数列，公差，证明：晦晦晦晦 ൏ 晦，．【答案】解：由题意，，，晦，晦，整理，得，解得舍去，或，晦晦晦，数列是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，，．晦晦，则，，，，各项相加，可得晦晦晦晦．证明：依题意，由晦晦，可得晦晦，两边同时乘以晦，可得晦晦晦晦，晦，数列晦是一个常数列，且此常数为晦，晦晦，晦晦晦晦晦晦晦晦晦，晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦晦 ൏ 晦，晦晦晦 ൏ 晦，故得证．【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于综合题．先根据等比数列的通项公式将，代入晦，计算出公比 q 的值，然后根据等比数列的定义化简晦晦可得晦，则可发现数列是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，从而可得数列的通项公式，然后将通项公式代入晦晦，可得晦晦，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列的通项公式；通过将已知关系式晦晦不断进行转化可构造出数列晦，且可得到数列晦是一个常数列，且此常数为晦，从而可得晦晦，再计算得到晦晦，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．变式 1.如果数列的前 n 项和晦，则 ͷ A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 2.变式训练【解析】【分析】本题考查了数列的递推关系，以及等比数列的判定和通项公式，属于基础题．根据题意得到晦，，两式作差得到，可得到数列的通项，进而得到结果．【解答】解：数列的前 n 项和晦，则，两式作差得到，由此可得到数列是公比为 2 的等比数列，令代入已知式子得到，解得，故得到数列通项为，令 ͷ 得到 ͷ ．故选 B．变式 2.数列满足前 n 项和晦，则数列的通项公式为______．【答案】【解析】【分析】本题考查数列的通项公式的求法，是基础题．利用，能求出数列的通项公式．【解答】解：数列满足前 n 项和晦，当时，晦晦，又当时，，故．故答案为：．变式 3.已知数列的前 n 项和晦．求数列的通项公式令，求数列的前 n 项和．【答案】解：当时，当时，晦晦，当时，也符合上式，数列的通项公式为晦．晦晦，晦晦晦晦晦晦．【解析】本题考查数列的通项公式，数列的递推关系，裂项相消法求和，考查运算化简的能力，属于基础题．由，时，，可得数列的通项公式，注意时验证；由晦晦，利用裂项相消法求和即可．串讲 1.已知数列的前 n 项和为，且，则 ͷ 等于 A. B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 3.活学活用【解析】【分析】本题考查数列的递推公式和通项公式，属于基础题．根据题意，由数列的递推公式分析可以求出数列是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，即可得数列的通项公式，将 ͷ 代入计算即可得答案．【解答】解：根据题意，，当时，，解得，当时，，，数列是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，．则 ͷ ͷ ，故选 B．串讲 2.若数列的前 n 项和，则的通项公式是______ 【答案】【解析】解：数列的前 n 项和，，时，．的通项公式是．故答案为：．，时，由此能求出的通项公式．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式和数列的前 n 项和的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．串讲 3.已知是数列的前 n 项和，满足，晦．求数列的通项公式；求数列的前 n 项和．【答案】解：晦，，相减得晦，，，故．晦晦，晦晦，晦晦晦晦晦晦晦晦．【解析】本题考查数列的递推公式，考查数列的通项公式，以及利用裂项相消法求和，属于中档题．由题意得到，利用，即可求解；由题意得到晦晦，利用裂项相消法求和．查看更多

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