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湖南省2021届高三下学期4月六校联考数学试题（word版，含答案）

2021-04-19
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1 湖南省 2021 届高三下学期六校联考数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合 }5,4,3,2,1{A ， }03|{ 2  xxxB ，则 BCA R 中的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数 21, zz 在复平面内对应的点分别为 ),3(1 aZ ， )1,2(2Z ，且 21 zz  为纯虚数，则实数 a A．6 B． 2 3 C． 5 6 D．-6 3．函数 xx ee xxxf   2cos)( 的图象大致是 4．某地安排 4 名工作人员随机分到 3 个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为 A． 16 9 B． 9 5 C． 9 8 D． 9 4 5．已知 6|| a ， )3,(mb  ，且 )2()( baab  ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影的最大值为 A．4 B．2 C．1 D． 2 6 6．数学里有一种证明方法叫做 Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形 ABC 中，点O 为斜边 AB 的中点，点 D 为斜边 AB 上异于顶点的一个动点，设 aAD  ， bBD  ，则该图形可以完成的无字证明为 2 A． )0,0( 2  baabba B． )0,0(22 22  bababa C． )0,0(2  baabba ab D． )0,0(222  baabba 7．已知 21,FF 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点，点 P 是该双曲线上一点且在第一象限内， 1221 sinsin2 FPFFPF  ，则双曲线的离心率的取值范围为 A． )2,1( B． )3,1( C． ),3(  D． )3,2( 8．定义函数      为无理数，为有理数， x xxD ,1 ,1)( 则下列命题中正确的是 A． )(xD 不是周期函数 B． )(xD 是奇函数 C． )(xDy  的图象存在对称轴 D． )(xD 是周期函数，且有最小正周期二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9．下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的必要条件的是 A．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B．若 5x ，则 10x C．已知 a 是直线 a 的方向向量， n 是平面 的法向量，若 a ，则 na  D．已知可导函数 )(xf ，若 0)( 0  xf ，则 )(xf 在 0xx  处取得极值 10．已知数列 }{ na 满足 11 a ， 32 a ， 22  nn aa ， *Nn ，则 A． ),(),(),( 654321 aaaaaa  为等差数列 B． ),(),(),( 563412 aaaaaa  为常数列 C． 3412  na n D．若数列 }{ nb 满足 n n n ab  )1( ，则数列 }{ nb 的前 100 项和为 100 11．已知函数       2||,0)cos(2)( xxf 的图象上，对称中心与对称轴 12 x 的最小距离为 4  ，则下列结论正确的是 A．函数 )(xf 的一个对称点为      0,12 5 3 B．当 ]2,6[ x 时，函数 )(xf 的最小值为 3 C．若            2,05 4cossin 44  ，则       4 f 的值为 5 334  D．要得到函数 )(xf 的图象，只需要将 xxg 2cos2)(  的图象向右平移 6  个单位 12．已知球 O 的半径为 2，球心O 生大小为 60°的二面角   l 内，二面角   l 的两个半平面分别截球面得两个圆 1O ， 2O ，若两圆 21 OO，的公共弦 AB 的长为 2，E 为 AB 的中点，四面体 21OOAO 的体积为V ，则下列结论中正确的有 A． 21,,, OOEO 四点共面 B． 2 3 21 OO C． 2 3 21 OO D．V 的最大值为 16 3 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．已知某省 2020 年高考理科数学平均分 X 近似服从正态分布 )100,89(N ，则  XP 79( )109 . （附：）9545.0)22(,6827.0)(   XPXP 14．请写出满足条件“ )1()( fxf  对任意的 ]1,0[x 恒成立，且 )(xf 在 ]1,0[ 上不是．．增函数”的一个函数： . 15．已知 )0()1(1 6 2       axxa 的展开式中各项的系数和为 192，则其展开式中的常数项为 . 16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数 )( *Nnn  可以表示成二进制数 2210 )( kaaaa  ，   2 2 1 10 222 kkk aaan 01 1 22   kk aa ，其中 10 a ， }1,0{ia ， Nkki  ,,,2,1,0  ．用 )(nf 表示十进制数 n 的二进制表示中 1 的个数，则 )7(f ；对任意 *Nr  ，     )( 12 2 2 1 nf n r r . 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）已知数列 }{ na 的前 n 项和 nS 满足 nnSn 32 2  . (Ⅰ)求数列 }{ na 的通项公式； (Ⅱ)数列       1 1 nnaa 的前 n 项和是 nT ，若存在 *Nn ，使得 01  nn aT  成立，求实数  的取值范围． 18．（本小题满分 12 分）已知函数 )(2 1coscossin3)( 2 Rxxxxxf  . (Ⅰ)当     12 5,12 x 时，分别求函数 )(xf 取得最大值和最小值时 x 的值； (Ⅱ)设 ABC 的内角 CBA ,, 的对应边分别是 ,,, cba 且 32a ， 126      Afb ，，求 c 的值， 19．（本小题满分 12 分）甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为 0.6，乙胜的概率为 0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行 3 局热身训练，下午进行正式比赛． (Ⅰ)上午的 3 局热身训练中，求甲恰好胜 2 局的概率； (Ⅱ)下午的正式比赛中： ①若采用“3 局 2 胜制”，求甲所胜局数 x 的分布列与数学期望； ②分别求采用“3 局 2 胜制”与“5 局 3 胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？ 5 20．（本小题满分 12 分）某建筑工地上有一个旗杆CF （与地面垂直），其正南、正西方向各有一标杆 BE ， DG （均与地面垂直， DB，在地面上），长度分别为 1m，4m，在地面上有一基点 A（点 A 在 B 点的正西方向，也在 D 点的正南方向上），且 BCBA  m2 ，且 GFEA ,,, 四点共面． (Ⅰ)求基点 A 观测旗杆顶端 F 的距离及仰角 的正切值； (Ⅱ)若旗杆上有一点 M ，使得直线 BM 与地面 ABCD 所成的角为 4  ，试求平面 ABM 与平面 AEFG 所成锐二面角的正弦值． 21．（本小题满分 12 分）已知 A，B 分别为椭圆 )3(13: 2 2 2  ay a xE 的左、右顶点，Q 为椭圆 E 的上顶点， QBAQ  1 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)已知动点 P 在椭圆 E 上，两定点      2 3,1M ，       2 3,1N . ①求 PMN 的面积的最大值； ②若直线 MP 与 NP 分别与直线 3x 交于 DC, 两点，问：是否存在点 P ，使得 PMN 与 PCD 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分 12 分）已知 2 1 )1(cos2)1ln()(   xxxxf ， 21cos)( axxxg  . (Ⅰ)若 0)( xg 恒成立，求实数 a 的取值范围； (Ⅱ)确定 )(xf 在 ),1(  内的零点个数. 数学参考答案 6 一、二选择题题号 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D C B B C BD ABD BC ACD 三、填空题 13．0.8186 14． xxf 2 5sin)(  （答案不唯一） 15．17 16．3 )(32 *Nrr  四、解答题 17．【解析】(Ⅰ) nnS n 32 2  ， 2),1(3)1(2 2 1  nnnSn ，…………………………………………2 分两式相减得： 222  nan ，则 )2(1  nnan ，………………………………4 分由 422 11  as 知 21 a ，也满足上式，故 )(1 *Nnnan  . …………………………………………5 分 (Ⅱ) 2 1 1 1 )2)(1( 11 1   nnnnaa nn . ………………………………6 分 )2(2  n nTn . …………………………………………7 分 21 )2(20)2()2(20   n nnn naT nn  ，由存在性得 max 2)2(2      n n . ………………………………………8 分而 16 1 442 1 )2(2 2         nnn n （当且仅当 2n 时取等号），故      16 1, . ………………………………………10 分 18．【解析】(Ⅰ) 7 1)62sin(12cos2 12sin2 3 2 1 2 2cos12sin2 3)(  xxxxxxf ， ………………………………………2 分     12 5,12 x ， 3 2 623   x ， 162sin2 3       x ， ∴当 162sin       x ，即 262  x ，得 3 x 时， )(xf 取得最大值 0； ……4 分当 2 3 62sin       x ，即 362  x ，得 12 x 时， )(xf 取得最小值 12 3  . ………………………………………6 分（Ⅱ） 116sin2           AAf 且 ),0( A ， 6  A .…………………8 分由余弦定理 cos2222 bcbca  A 得 024362  cc ，……………10 分解得 34c 或 32 . ………………………………………12 分另解： 116sin2           AAf 且 ),0( A ， 6  A ，………………8 分由正弦定理 B b A a sinsin  有 2 3sin B ，则 3 B 或 3 2B ，…………………9 分当 3 B 时． 2 c ，由勾股定理有 34c .………………………………………10 分当 3 2B 时， 6  AC ，则 32 ac . 综上， 34c 或 32 . ………………………………………12 分 19．【解析】(Ⅰ)甲恰好胜 2 局的概率为 432.04.06.0 22 3  CP .………………………4 分 (Ⅱ)①甲所胜局数 x 可取 0，1，2． 16.04.0)0( 22 2  CxP ， 192.04.04.06.0)1( 1 2  CxP ， 648.06.04.06.06.06.0)2( 1 2 2 2  CCxP ，………………………………6 分 8 ∴甲所胜局数 x 的分布列为 x 0 1 2 P 0.16 0.192 0. 648 488.1648.02192.0116.00)( xE .…………………………………8 分 ②采用“3 局 2 胜制”时，甲获胜的概率为 648.06.06.06.04.06.0 2 2 1 21  CCP ，采用“5 局 3 胜制”时，甲获胜的概率为 68256.06.06.04.06.06.04.06.0 33 3 22 3 222 42  CCCP . ……………10 分对甲而言，显然“5 局 3 胜制”更有利，由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利， ………………………12 分 20．【解析】(Ⅰ)易知平面 //ABE 平面 CDGF，且 A、E、F、G 四点共面于平面 AEFG，故 GFAE // ，同理 EFAG // ，故 AEFG 为平行四边形，故 FGAF  ，过点 G 作 CF 的垂线，垂足为 N，则 GNFABE  ， 1 BEFN ， 514 FC ， 22AC ， 3322  FCACAF . 4 25 22 5tan  AC FC . ……………………………………5 分 (Ⅱ)以 A 为原点， ADAB、为 yx, 轴建立直角坐标系， )0,0,2(,2 BMC  ， )2,2,2(M ， )0,0,2(AB ， )2,2,2(AM . ……………………………………6 分设平面 ABM 的法向量 ),,( zyxm  ，则      ,0222 ,02 zyxAMm xABm 设 1,1  zy ，取 )1,1,0( m ， ………………8 分又 )1,0,2(E ， )5,2,2(F ， )1,0,2(AE ， )5,2,2(AF ，设平面 AEFG 的法向量 ),,( zyxn  ，则      ,0522 ,02 zyxAFn zxAEn 设 1x ，则 4,2  yz ，取 )4,2,1( n ， ……………………………10 分则 7 42 212 )4(2,cos    nm ， 9 设平面 ABM 与平面 AEFG 所成锐二面角为α，则 7 7)7 42(1sin 2  为所求. ……………………………12 分 21．【解析】(Ⅰ)由题意得 )3,0(),0,(),0,( QaBaA  ，则 )3,(aAQ  ， )3,(  aQB . 由 1QBAQ ，得 132 a ，即 2a ，所以椭圆 E 的方程为 134 22  yx . ……………………………3 分 (Ⅱ)①设 )sin3,cos2( P ，直线 xyMN 2 3:  即： 023  yx ，点 P 到直线 MN 的距离 13 394 13 |)3sin(|34 13 |sin32cos6|    d ， 13|| MN ，则 32||2 1  dMNS PMN ，即 32)( max PMNS ，……………………………7 分 ②设 ),( 00 yxP ， 13|| MN ，点 P 到直线 MN 的距离 13 |23| 00 1 yxd  ， |23|2 1||2 1 001 yxdMNS PMN  . …………………………………………8 分直线 2 3)1(1 2 3 : 0 0    xx y yMP ，令 3x ，可得 )2 3 1 64,3( 0 0   x yC ，直线 2 3)1(1 2 3 : 0 0    xx y yPN ，令 3x ，可得 )2 3 1 32,3( 0 0   x yD ， 1 )3)(23(|| 2 0 000   x xyxCD ， P 到直线 CD 的距离为 |3| 02 xd  ， 2 02 0 00 2 )3(1 23 2 1||2 1 xx yxdCDS PCD   ， ……………………………10 分 MPN 与 PCD 面积相等， 2 02 0 00 00 )3(1 23 2 1|23|2 1 xx yxyx   ，故 023 00  yx （舍）或 2 0 2 0 )3(|1| xx  ， 10 解得 3 5 0 x ，带入椭圆方程得 6 33 0 y ，故点       6 33,3 5P 或        6 33,3 5 . ………………………………………………12 分 22．【解析】(Ⅰ)显然 )(xg 为偶函数，故只需 0)( xg 在 ),0[  上恒成立即可，由 0)( g 知 0a ， axxgaxxxg 2.cos)(,2sin)(  .………………………………………1 分 (1)若 12 a ，则 0)(  xg ， )(xg 在 ),0(  上单调递增， 0)0()(  gxg ， )(xg 单调递增， 0)0()(  gxg ，故 2 1a 满足条件． ………………………………………3 分 (2)若 2 10  a ，则存在      2,00 x ， 0)( 0  xg ，当 ),0( 0xx 时， 0)( 0  xg ， )(xg 单调递减， 0)0()(  gxg ， )(xg 单调递减， 0)0()(  gxg ，不成立，故 2 10  a 不满足条件，所以所求 a 的范围为 2 1a . ………………………………………5 分（Ⅱ） 2 5 2 )1(4 3cos2)1( 1)(,2 3)1(2 1sin21 1)(  xxxxfxxxxf ． ……………………………………… 6 分 (1)当 ]0,1(x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递减， 0)0()(  fxf ， )(xf 单调递增，又 01)0( f ， 024 3cos22ln24 3     f ， )(xf 在 )0,1( 内恰有一个零点； ………………………………………7 分 (2)当     3,0 x 时，可以证明 2)1ln( 2xxx  ，由（Ⅰ）知 21cos 2xx  ， 02 31 1 1 2 32)( 22    xx x xxxf ，故 )(xf 在     3,0  内无零点； 11 …………………………………8 分 (3)当     2,3 x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递减， 03)(      fxf ， )(xf 单调递减， 02)(      fxf ，故 )(xf 在     2,3  无零点；……………………………………9 分 (4)当      6 5,2x 时， 02 3)1(2 111 1)(  xxxf ， )(xf 单调递减，又 02     f ， 032ln26 5136 51ln6 5 2 1                f ， )(xf 在      6 5,2 内恰有一零点； ………………………………………10 分 (5)当      ,6 5x 时， 0)(  xf ， )(xf  单调递增，又 0)(  f ， 06 5      f ， ∴存在唯一       ,6 5 0x ， 0)( 0  xf ，当      0,6 5 xx  时， 0)(  xf ， )(xf 递减，当 ),( 0 xx 时， 0)(  xf ， )(xf 递增， 0)(6 5max)(              ffxf ，， )(xf 在      ,6 5 内无零点；综上， )(xf 恰有两个零点， ………………………………………12 分查看更多

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