资料简介
【考点 1】一次方程的有关定义
【例 1】（2019•呼和浩特）关于 x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0 如果是一元一次方程，
则其解为 ________ ．
【答案】x＝2或 x＝﹣2或 x＝﹣3
【解析】∵关于 x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为 x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当 2m﹣1＝0，即m 时，方程为 x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或 x＝﹣2或 x＝﹣3．
点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式 1-1】（2019•湘西州）若关于 x的方程 3x﹣kx+2＝0的解为 2，则 k的值为 ．
【答案】4
【解析】∵关于 x的方程 3x﹣kx+2＝0的解为 2，
∴3×2﹣2k+2＝0，
解得：k＝4．
故答案为：4．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．
【变式 1-2】（2019•常州）若 是关于 x、y的二元一次方程ax+y＝3 的解，则 a＝ ．
【答案】1
【解析】把 代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得 a＝1．
故答案是：1．
点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
【考点 2】方程组的解法
【例 2】（2019•南通）已知a，b满足方程组 ，则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【解析】 ，
①+②得：5a+5b＝10，
则 a+b＝2，
故选：A．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
【变式 2-1】（2019•荆门）已知实数 x，y满足方程组 则 x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解析】 ，
①+②×2，得 5x＝5，解得 x＝1，
把 x＝1 代入②得，1+y＝2，解得 y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正
确解关于 x、y的方程组是关键．
【考点 3】方程组的含参问题
【例 3】（2019•朝阳）关于 x，y的二元一次方程组 的解是 ，则m+n的值为
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】把 代入得： ，
解得： ，
则m+n＝0，
故选：D．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未
知数的值．
【变式 3-1】（2019•菏泽）已知 是方程组 的解，则a+b的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解析】将 代入 ，
可得： ，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本
题属于基础题型．
【变式 3-2】（2019•巴中）已知关于 x、y的二元一次方程组 的解是 ，则a+b
的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解析】将 代入 得：
，
∴a+b＝2；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的
关键．
【考点 4】二元一次方程的方案问题
【例 4】（2019•天门）把一根 9m长的钢管截成 1m长和 2m长两种规格均有的短钢管，且没
有余料，设某种截法中 1m长的钢管有a根，则 a的值可能有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
【答案】B
【解析】设 2m的钢管 b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为整数，
∴ ， ， ， ．
故选：B．
点睛：本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
【变式 4-1】（2019•齐齐哈尔）学校计划购买A和 B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球
60 元，一个 B品牌足球 75 元．学校准备将 1500 元钱全部用于购买这两种足球（两种足球
都买），该学校的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】设购买A品牌足球 x个，购买 B品牌足球 y个，
依题意，得：60x+75y＝1500，
∴y＝20 x．
∵x，y 均为正整数，
∴ ， ， ， ，
∴该学校共有 4种购买方案．
故选：B．
点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【考点 5】一次方程组的应用问题
【例 5】（2019•娄底）某商场用 14500 元购进甲、乙两种矿泉水共 500 箱，矿泉水的成本价
与销售价如表（二）所示：
类别 成本价（元/箱） 销售价（元/箱）
甲 25 35
乙 35 48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利多少元？
【答案】（1）购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱；
（2）该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元．
【解析】（1）设购进甲矿泉水 x箱，购进乙矿泉水 y箱，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购进甲矿泉水 300 箱，购进乙矿泉水 200 箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这 500 箱矿泉水，可获利 5600 元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
【变式 5-1】（2019•百色）一艘轮船在相距 90 千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙
地顺流航行用 6小时，逆流航行比顺流航行多用 4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行
时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【答案】（1）该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3千米/小时；
（2）甲、丙两地相距 千米．
【解析】（1）设该轮船在静水中的速度是 x千米/小时，水流速度是 y千米/小时，
依题意，得： ，
解得： ．
答：该轮船在静水中的速度是 12 千米/小时，水流速度是 3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得： ，
解得：a ．
答：甲、丙两地相距 千米．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式 5-2】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8 元/公里 0.3 元/分钟 0.8 元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程
计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程 7公里
以内（含 7公里）不收远途费，超过 7公里的，超出部分每公里收 0.8 元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里
程分别为 6公里与 8.5 公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等
候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的 1.5 倍，且比另一人的实际乘车时间
的一半多 8.5 分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【答案】（1）∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟；
（2）小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟．
【解析】（1）设小王的实际行车时间为 x分钟，小张的实际行车时间为 y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差 19 分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得 2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得 x＝37
∴小王的实际行车时间为 37 分钟，小张的实际行车时间为 18 分钟．
点睛：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列
方程或方程组是解题的关键．
1．（2019•南充）关于 x的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4的解为 x＝1，则 a+m的值为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】因为关于 x的一元一次方程 2xa﹣2+m＝4的解为 x＝1，
可得：a﹣2＝1，2+m＝4，
解得：a＝3，m＝2，
所以 a+m＝3+2＝5，
故选：C．
点睛：此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
2．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本 40 元；
按原价的九折出售，那么每件盈利 20元，则这种衬衫的原价是（ ）
A．160 元 B．180 元 C．200 元 D．220 元
【答案】C
【解析】设这种衬衫的原价是 x元，
依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，
解得：x＝200．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
3．（2019•鸡西）某学校计划用 34 件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突
出的班级，一等奖奖励 6件，二等奖奖励 4件，则分配一、二等奖个数的方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【解析】设一等奖个数 x个，二等奖个数 y个，
根据题意，得 6x+4y＝34，
使方程成立的解有 ， ， ，
∴方案一共有 3种；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
4．（2019•孝感）已知二元一次方程组 ，则 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】C
【解析】 ，
②﹣①×2得，2y＝7，解得 ，
把 代入①得， x＝1，解得 ，
∴
故选：C．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
5．（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出
七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8钱，会多 3钱；
每人出 7钱，又差 4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别
是（ ）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
【答案】B
【解析】设有 x人，物价为 y，可得： ，
解得： ，
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
6．（2019•台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走
4km，下坡每小时走 5km，那么从甲地到乙地需 54min，从乙地到甲地需 42min．甲
地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数 x，y，已经列出一个方程
，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设未知数 x，y，已经列出一个方程 ，则另一个方程正确的是： ．
故选：B．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
7．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有
人合伙买羊，每人出 5钱，会差 45 钱；每人出 7钱，会差 3钱．问合伙人数、羊价各是多
少？设合伙人数为 x人，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．
D．
【答案】B
【解析】设合伙人数为 x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．
8.（2019•铁岭）若 x，y满足方程组 ，则 x+y＝ ．
【答案】7
【解析】 ，
①+②得：4x＝20，
解得：x＝5，
把 x＝5 代入②得：y＝2，
则 x+y＝2+5＝7，
故答案为：7
点睛：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 4.5
尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长 x尺，绳子
长 y尺，可列方程组为_____________．
【答案】
【解析】设木条长 x尺，绳子长 y尺，
依题意，得： ．
故答案为： ．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次
方程组是解题的关键．
10．（2019•眉山）已知关于 x，y的方程组 的解满足 x+y＝5，则 k的值为 ．
【答案】2
【解析】 ，
②×2﹣①，得 3x＝9k+9，解得 x＝3k+3，
把 x＝3k+3 代入①，得 3k+3+2y＝k﹣1，解得 y＝﹣k﹣2，
∵x+y＝5，
∴3k+3﹣k﹣2＝5，
解得 k＝2．
故答案为：2
点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正
确解关于 x、y的方程组是关键．
11．（2019•自贡）某活动小组购买了 4个篮球和 5个足球，一共花费了 466 元，其中篮球的
单价比足球的单价多 4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为 x元，足球的单
价为 y元，依题意，可列方程组为 ．
【答案】
【解析】设篮球的单价为 x元，足球的单价为 y元，由题意得：
，
故答案为： ，
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系．
12．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九
枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意
思是：甲袋中装有黄金 9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银 11 枚（每枚白银重量
相同），称重两袋相等，两袋互相交换 1枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两（袋子重量忽略不计），
问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，根据题意可列方程
组为 ．
【答案】
【解析】设每枚黄金重 x两，每枚白银重 y两，由题意得：
，
故答案为： ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题
目中的等量关系．
13．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节
中，为促销该商品，按标价 8折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元．
【答案】2000
【解析】设这种商品的进价是 x元，
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：x＝2000，
故答案为 2000
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程解答．
14．（2019•南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买
鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买
鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几
个人？”设共有 x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 ．
【答案】9x﹣11＝6x+16
【解析】设有 x个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键．
15．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学
计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配 36 座新能源客车若干辆，则有 2人
没有座位；若只调配 22座新能源客车，则用车数量将增加 4辆，并空出 2个座位．
（1）计划调配 36 座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配 36 座和 22 座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车
型各需多少辆？
【答案】（1）计划调配 36 座新能源客车 6辆，该大学共有 218 名志愿者；
（2）需调配 36 座客车 3辆，22 座客车 5辆．
【解析】（1）设计划调配 36 座新能源客车 x辆，该大学共有 y名志愿者，则需调配 22 座
新能源客车（x+4）辆，
依题意，得： ，
解得： ．
答：计划调配 36 座新能源客车 6辆，该大学共有 218 名志愿者．
（2）设需调配 36 座客车m辆，22 座客车 n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n ．
又∵m，n均为正整数，
∴ ．
答：需调配 36 座客车 3辆，22 座客车 5辆．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）
找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
16．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：
所用火车车皮数量
（节）
所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）
第一批 2 5 130
第二批 4 3 218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【答案】每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6吨
【解析】设每节火车车皮装物资 x吨，每辆汽车装物资 y吨，
根据题意，得 ，
∴ ，
∴每节火车车皮装物资 50 吨，每辆汽车装物资 6吨；
点睛：本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元
法解方程组是关键．
17．（2019•河池）在某体育用品商店，购买 30 根跳绳和 60 个毽子共用 720 元，购买 10 根
跳绳和 50个毽子共用 360 元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日
期间购买 100 根跳绳和 100 个毽子只需 1800 元，该店的商品按原价的几折销售？
【答案】（1）跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4元/个；
（2）该店的商品按原价的 9折销售．
【解析】（1）设跳绳的单价为 x元/条，毽子的单件为 y元/个，可得： ，
解得： ，
答：跳绳的单价为 16 元/条，毽子的单件为 4元/个；
（2）设该店的商品按原价的a折销售，可得：（100×16+100×4） 1800，
解得：a＝9，
答：该店的商品按原价的 9折销售．
点睛：本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解
题关键．
18．（2019•泸州）某出租汽车公司计划购买 A型和 B 型两种节能汽车，若购买 A型汽车 4
辆，B型汽车 7辆，共需 310 万元；若购买A型汽车 10 辆，B型汽车 15 辆，共需 700 万
元．
（1）A型和 B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买A型和 B型两种汽车共 10 辆，费用不超过 285 万元，且A型汽车的
数量少于 B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）A型汽车每辆的进价为 25万元，B型汽车每辆的进价为 30 万元；
（2）最省的方案是购买A型汽车 4辆，购进 B型汽车 6辆，该方案所需费用为 280 万元．
【解析】（1）设A型汽车每辆的进价为 x万元，B型汽车每辆的进价为 y万元，
依题意，得： ，
解得 ，
答：A型汽车每辆的进价为 25 万元，B型汽车每辆的进价为 30万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进 B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：
解得：3≤m＜5，
∵m是整数，
∴m＝3或 4，
当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；
当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．
答：最省的方案是购买A型汽车 4辆，购进 B型汽车 6辆，该方案所需费用为 280 万元．
点睛：本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明
确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．
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