资料简介
实数与数轴问题
【例 1】(2019 年大庆)实数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是( )
A.m>n B.﹣n>|m| C.﹣m>|n| D.|m|<|n|
【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数,且m<n,由此逐项分析得出结论即可.
【解析】因为m、n都是负数,且m<n,|m|<|n|,
A、m>n是错误的;
B、﹣n>|m|是错误的;
C、﹣m>|n|是正确的;
D、|m|<|n|是错误的.
故选:C.
【变式 1-1】(2019 年徐州)如图,数轴上有O、A、B三点,O为原点,OA、OB分别表示
仙女座星系、M87 黑洞与地球的距离(单位:光年).下列选项中,与点 B表示的数最为
接近的是( )
A.5×106 B.107 C.5×107 D.108
【分析】先化简 2.5×106=0.25×107,再从选项中分析即可;
【解析】2.5×106=0.25×107,
(5×107)÷(0.25×107)=20,
从数轴看比较接近;
故选:C.
【变式 1-2】(2019 年枣庄)点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,AC=1,
OA=OB.若点C所表示的数为a,则点 B所表示的数为( )
A.﹣(a+1) B.﹣(a﹣1) C.a+1 D.a﹣1
【分析】根据题意和数轴可以用含a的式子表示出点 B表示的数,本题得以解决.
【解析】∵O为原点,AC=1,OA=OB,点C所表示的数为a,
∴点A表示的数为a﹣1,
∴点 B表示的数为:﹣(a﹣1),
故选:B.
【点拨】本题考查数轴,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【考点 2】整式的求值问题
【例 2】(2019 年泰州)若 2a﹣3b=﹣1,则代数式 4a2﹣6ab+3b 的值为( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.3
【分析】将代数式 4a2﹣6ab+3b 变形后,整体代入可得结论.
【解析】4a2﹣6ab+3b,
=2a(2a﹣3b)+3b,
=﹣2a+3b,
=﹣(2a﹣3b),
=1,
故选:B.
【点拨】本题考查代数式求值;熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键.
【变式 2-1】(2019 年常州)如果a﹣b﹣2=0,那么代数式 1+2a﹣2b的值是 5 .
【分析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b=2整体代入即可求值;
【解析】∵a﹣b﹣2=0,
∴a﹣b=2,
∴1+2a﹣2b=1+2(a﹣b)=1+4=5;
故答案为 5.
【变式 2-2】(2019•济宁)已知 x﹣2y=3,那么代数式 3﹣2x+4y 的值是( )
A.﹣3 B.0 C.6 D.9
【分析】将 3﹣2x+4y 变形为 3﹣2(x﹣2y),然后代入数值进行计算即可.
【解析】∵x﹣2y=3,
∴3﹣2x+4y=3﹣2(x﹣2y)=3﹣2×3=﹣3;
故选:A.
【考点 3】分式的求值问题
【例 3】(2019 年内江)若 2,则分式 的值为 ﹣4 .
【分析】由 2,可得m+n=2mn;化简 ,即可求解;’
【解析】 2,可得m+n=2mn,
=﹣4;
故答案为﹣4;
【点拨】本题考查分式的值;能够通过已知条件得到m+n=2mn,整体代入的思想是解题
的关键;
【变式 3-1】(2019 年绥化)当a=2018 时,代数式( ) 的值是 2019 .
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将 a的值代入化简后的式子
即可解答本题.
【解析】( )
=a+1,
当 a=2018 时,原式=2018+1=2019,
故答案为:2019.
【变式 3-2】(2019 年北京)如果m+n=1,那么代数式( )•(m2﹣n2)的值为
( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
【分析】原式化简后,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.
【解析】原式 •(m+n)(m﹣n) •(m+n)(m﹣n)=3(m+n),
当m+n=1 时,原式=3.
故选:D.
【考点 4】二次根式的性质与化简
【例 4】(2019 年绵阳)已知 x是整数,当|x |取最小值时,x的值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】根据绝对值的意义,由与 最接近的整数是 5,可得结论.
【解析】∵ ,
∴5 ,
且与 最接近的整数是 5,
∴当|x |取最小值时,x的值是 5,
故选:A.
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义,熟练掌握平方数是关键.
【变式 4-1】(2019 年菏泽)已知 x ,那么 x2﹣2 x 的值是 4 .
【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案.
【解析】∵x ,
∴x2﹣2 x+2=6,
∴x2﹣2 x=4,
故答案为:4
【变式 4-2】(2019 年内江)若|1001﹣a| a,则 a﹣10012= 1002 .
【分析】由二次根式有意义的条件得到 a≥1002,据此去绝对值并求得a的值,代入求值
即可.
【解析】∵a﹣1002≥0,
∴a≥1002.
由|1001﹣a| a,得﹣1001+a a,
∴ 1001,
∴a﹣1002=10012.
∴a﹣10012=1002.
故答案是:1002.
【考点 5】数字的变化规律
【例 5】(2019 年河池)a1,a2,a3,a4,a5,a6,…,是一列数,已知第 1个数 a1=4,第
5个数 a5=5,且任意三个相邻的数之和为 15,则第 2019 个数 a2019的值是 6 .
【分析】由任意三个相邻数之和都是 15,可知 a1、a4、a7、…a3n+1相等,a2、a5、a8、…
a3n+2相等,a3、a6、a9、…a3n相等,可以得出a5=a2=5,根据 a1+a2+a3=15 得 4+5+a3
=15,求得 a3,进而按循环规律求得结果.
【解析】由任意三个相邻数之和都是 15 可知:
a1+a2+a3=15,
a2+a3+a4=15,
a3+a4+a5=15,
…
an+an+1+an+2=15,
可以推出:a1=a4=a7=…=a3n+1,
a2=a5=a8=…=a3n+2,
a3=a6=a9=…=a3n,
所以a5=a2=5,
则 4+5+a3=15,
解得 a3=6,
∵2019÷3=673,
因此a2019=a3=6.
故答案为:6.
【变式 5-1】(2019 年益阳)观察下列等式:
①3﹣2 ( 1)2,
②5﹣2 ( )2,
③7﹣2 ( )2,
…
请你根据以上规律,写出第 6个等式 __________ .
【分析】第 n个等式左边的第 1个数为 2n+1,根号下的数为n(n+1),利用完全平方公式
得到第 n个等式右边的式子为( )2(n≥1的整数).
【解析】写出第 6个等式为 13﹣2 ( )2.
故答案为 13﹣2 ( )2.
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二
次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运
用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
【变式 5-2】(2019 年铜仁市)按一定规律排列的一列数依次为: , , , ,…(a
≠0),按此规律排列下去,这列数中的第 n个数是 _______ .(n为正整数)
【分析】先确定正负号与序号数的关系,再确定分母与序号数的关系,然后确定 a的指数
与序号数的关系.
【解析】第 1个数为(﹣1)1• ,
第 2个数为(﹣1)2• ,
第 3个数为(﹣1)3• ,
第 4个数为(﹣1)4• ,
…,
所以这列数中的第 n个数是(﹣1)n• .
故答案为(﹣1)n• .
【点拨】本题考查了规律型:数字的变化类:寻数列规律:认真观察、仔细思考,善用联
想是解决这类问题的方法.
【考点 6】图形的变化规律
【例 6】(2019 年大庆)归纳“T”字形,用棋子摆成的“T”字形如图所示,按照图①,图②,
图③的规律摆下去,摆成第 n个“T”字形需要的棋子个数为 .
【分析】根据题意和图形,可以发现图形中棋子的变化规律,从而可以求得第 n个“T”字
形需要的棋子个数.
【解析】由图可得,
图①中棋子的个数为:3+2=5,
图②中棋子的个数为:5+3=8,
图③中棋子的个数为:7+4=11,
……
则第 n个“T”字形需要的棋子个数为:(2n+1)+(n+1)=3n+2,
故答案为:3n+2.
【点拨】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中棋子的变化规
律,利用数形结合的思想解答.
【变式 6-1】(2019 年天水)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依
照此规律,第 2019 个图形中共有 6058 个〇.
【分析】根据题目中的图形,可以发现〇的变化规律,从而可以得到第 2019 个图形中〇的
个数.
【解析】由图可得,
第 1个图象中〇的个数为:1+3×1=4,
第 2个图象中〇的个数为:1+3×2=7,
第 3个图象中〇的个数为:1+3×3=10,
第 4个图象中〇的个数为:1+3×4=13,
……
∴第 2019 个图形中共有:1+3×2019=1+6057=6058 个〇,
故答案为:6058.
【点拨】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现图形中〇的变化规律,
利用数形结合的思想解答.
【变式 6-2】(2019 年甘肃)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第 1幅图中有 1个菱
形,第 2幅图中有 3个菱形,第 3幅图中有 5个菱形,如果第 n幅图中有 2019 个菱形,
则 n= 1010 .
【分析】根据题意分析可得:第 1幅图中有 1个,第 2幅图中有 2×2﹣1=3个,第 3幅图
中有 2×3﹣1=5 个,…,可以发现,每个图形都比前一个图形多 2个,继而即可得出答案.
【解析】根据题意分析可得:第 1幅图中有 1个.
第 2幅图中有 2×2﹣1=3个.
第 3幅图中有 2×3﹣1=5个.
第 4幅图中有 2×4﹣1=7个.
….
可以发现,每个图形都比前一个图形多 2个.
故第 n幅图中共有(2n﹣1)个.
当图中有 2019 个菱形时,
2n﹣1=2019,
n=1010,
故答案为:1010.
【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题,难度适中,要求学生通过观察,分析、归纳
并发现其中的规律.
1.(2019 年北京)在数轴上,点A,B在原点O的两侧,分别表示数a,2,将点 A向右平
移 1个单位长度,得到点C,若CO=BO,则 a的值为( )
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.1
【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为﹣2,据此可得a=﹣2﹣1=﹣3.
【解析】∵点C在原点的左侧,且CO=BO,
∴点C表示的数为﹣2,
∴a=﹣2﹣1=﹣3.
故选:A.
2.(2019 年黄石)下列四个数:﹣3,﹣0.5, , 中,绝对值最大的数是( )
A.﹣3 B.﹣0.5 C. D.
【分析】根据绝对值的性质以及正实数都大于 0,负实数都小于 0,正实数大于一切负实数,
两个负实数绝对值大的反而小判断即可.
【解析】∵|﹣3|=3,|﹣0.5|=0.5,| | ,| | 且 0.5 3,
∴所给的几个数中,绝对值最大的数是﹣3.
故选:A.
3.(2019 年云南)按一定规律排列的单项式:x3,﹣x5,x7,﹣x9,x11,……,第 n个单项式
是( )
A.(﹣1)n﹣1x2n﹣1 B.(﹣1)nx2n﹣1
C.(﹣1)n﹣1x2n+1 D.(﹣1)nx2n+1
【分析】观察指数规律与符号规律,进行解答便可.
【解析】∵x3=(﹣1)1﹣1x2×1+1,
﹣x5=(﹣1)2﹣1x2×2+1,
x7=(﹣1)3﹣1x2×3+1,
﹣x9=(﹣1)4﹣1x2×4+1,
x11=(﹣1)5﹣1x2×5+1,
……
由上可知,第 n个单项式是:(﹣1)n﹣1x2n+1,
故选:C.
4.(2019 年黔东南州)如果 3ab2m﹣1与 9abm+1是同类项,那么m等于( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
【分析】根据同类项的定义,含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同,列出等式,
直接计算即可.
【解析】根据题意,得:2m﹣1=m+1,
解得:m=2.
故选:A.
5.(2019 年常德)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,
根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019的结果的个位数字是( )
A.0 B.1 C.7 D.8
【分析】首先得出尾数变化规律,进而得出 70+71+72+…+72019的结果的个位数字.
【解析】∵70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,
∴个位数 4个数一循环,
∴(2019+1)÷4=505,
∴1+7+9+3=20,
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是:0.
故选:A.
6.(2019 年深圳)定义一种新运算 n•xn﹣1dx=an﹣bn,例如 2xdx=k2﹣n2,若 x﹣
2dx=﹣2,则m=( )
A.﹣2 B. C.2 D.
【分析】根据新运算列等式为m﹣1﹣(5m)﹣1=﹣2,解出即可.
【解析】由题意得:m﹣1﹣(5m)﹣1=﹣2,
2,
5﹣1=﹣10m,
m ,
故选:B.
7.(2019 年攀枝花)一辆货车送货上山,并按原路下山.上山速度为 a千米/时,下山速度
为b千米/时.则货车上、下山的平均速度为( )千米/时.
A. (a+b) B. C. D.
【分析】平均速度=总路程÷总时间,设单程的路程为 x,表示出上山下山的总时间,把相
关数值代入化简即可.
【解答】设上山的路程为 x千米,
则上山的时间 小时,下山的时间为 小时,
则上、下山的平均速度 千米/时.
故选:D.
8.(2019 年临沂)计算 a﹣1的正确结果是( )
A. B. C. D.
【分析】先将后两项结合起来,然后再化成同分母分式,按照同分母分式加减的法则计算
就可以了.
【解析】原式 ,
,
.
9.(2019 年舟山)数轴上有两个实数a,b,且 a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,b,﹣
a,﹣b的大小关系为 b<﹣a<a<﹣b (用“<”号连接).
【分析】根据两个负数比较大小,其绝对值大的反而小和负数都小于 0,即可得出答案.
【解析】∵a>0,b<0,a+b<0,
∴|b|>a,
∴﹣b>a,b<﹣a,
∴四个数a,b,﹣a,﹣b的大小关系为b<﹣a<a<﹣b.
故答案为:b<﹣a<a<﹣b
10.(2019 年咸宁)有一列数,按一定规律排列成 1,﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…,其中某
三个相邻数的积是 412,则这三个数的和是 ﹣384 .
【分析】根据题目中的数字,可以发现它们的变化规律,再根据其中某三个相邻数的积是
412,可以求得这三个数,从而可以求得这三个数的和.
【解析】∵一列数为 1,﹣2,4,﹣8,16,﹣32,…,
∴这列数的第 n个数可以表示为(﹣2)n﹣1,
∵其中某三个相邻数的积是 412,
∴设这三个相邻的数为(﹣2)n﹣1、(﹣2)n、(﹣2)n+1,
则(﹣2)n﹣1•(﹣2)n•(﹣2)n+1=412,
即(﹣2)3n=(22)12,
∴(﹣2)3n=224,
∴3n=24,
解得,n=8,
∴这三个数的和是:(﹣2)7+(﹣2)8+(﹣2)9=(﹣2)7×(1﹣2+4)=(﹣128)×3
=﹣384,
故答案为:﹣384.
11.(2019 年湘潭)若a+b=5,a﹣b=3,则 a2﹣b2= 15 .
【分析】先根据平方差公式分解因式,再代入求出即可.
【解析】∵a+b=5,a﹣b=3,
∴a2﹣b2
=(a+b)(a﹣b)
=5×3
=15,
故答案为:15.
12.(2019 年徐州)若a=b+2,则代数式a2﹣2ab+b2的值为 4 .
【分析】由a=b+2,可得 a﹣b=2,代入所求代数式即可.
【解析】∵a=b+2,
∴a﹣b=2,
∴a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2=22=4.
故答案为:4
13.(2019 年桂林)若 x2+ax+4=(x﹣2)2,则a= ﹣4 .
【分析】直接利用完全平方公式得出a的值.
【解析】∵x2+ax+4=(x﹣2)2,
∴a=﹣4.
故答案为:﹣4.
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.
14.(2019 年咸宁)若整式 x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则
m的值可以是 ﹣1 (写一个即可).
【分析】令m=﹣1,使其能利用平方差公式分解即可.
【解析】令m=﹣1,整式为 x2﹣y2=(x+y)(x﹣y).
故答案为:﹣1(答案不唯一).
15.(2019 年广州)代数式 有意义时,x应满足的条件是 x>8 .
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出 x的取值范围.
【解析】代数式 有意义时,
x﹣8>0,
解得:x>8.
故答案为:x>8.
16.(2019 年枣庄)观察下列各式:
1 1+(1 ),
1 1+( ),
1 1+( ),
…
请利用你发现的规律,计算:
,
其结果为 2018 .
【分析】根据题意找出规律,根据二次根式的性质计算即可.
【解析】
=1+(1 )+1+( )+…+1+( )
=2018+1
=2018 ,
故答案为:2018 .
17.(2019 年西藏)观察下列式子
第 1个式子:2×4+1=9=32
第 2个式子:6×8+1=49=72
第 3个式子:14×16+1=225=152
……
请写出第 n个式子: (2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2 .
【分析】由题意可知:①等号左边是两个连续偶数的积(其中第二个因数比第一个因数大 2)
与 1的和;右边是比左边第一个因数大 1的数的平方;②第 1个式子的第一个因数是 22﹣2,
第 2个式子的第一个因数是 23﹣2,第 3个式子的第一个因数是 24﹣2,以此类推,得出第
n个式子的第一个因数是 2n+1﹣2,从而能写出第 n个式子.
【解析】∵第 1个式子:2×4+1=9=32,即(22﹣2)×22+1=(22﹣1)2,
第 2个式子:6×8+1=49=72,即(23﹣2)×23+1=(23﹣1)2,
第 3个式子:14×16+1=225=152,即(24﹣2)×24+1=(24﹣1)2,
……
∴第 n个等式为:(2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2.
故答案为:(2n+1﹣2)×2n+1+1=(2n+1﹣1)2.
18.(2019 年海南)有 2019 个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后
两数的和.如果第一个数是 0,第二个数是 1,那么前 6 个数的和是 0 ,这 2019 个数
的和是 2 .
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数,从而可以数字的变化规律,本题得以解
决.
【解析】由题意可得,
这列数为:0,1,1,0,﹣1,﹣1,0,1,1,…,
∴前 6个数的和是:0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)=0,
∵2019÷6=336…3,
∴这 2019 个数的和是:0×336+(0+1+1)=2,
故答案为:0,2.
19.(2019 年安顺)如图,将从 1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第 3行、第 4列的
数是 12,则位于第 45 行、第 7列的数是 2019 .
【分析】观察图表可知:第 n行第一个数是 n2,可得第 45 行第一个数是 2025,推出第 45
行、第 7列的数是 2025﹣6=2019
【解析】观察图表可知:第 n行第一个数是 n2,
∴第 45 行第一个数是 2025,
∴第 45 行、第 7列的数是 2025﹣6=2019,
故答案为 2019
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