天天资源网 / 初中数学 / 三轮冲刺 / 2021年中考数学压轴题专项训练圆的综合含解析
资料简介
2021 年中考数学压轴题专项训练《圆的综合》
1．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ，AC 为直径，DE⊥BC，垂足为 E．
（1）求证：CD 平分∠ACE；
（2）若 AC＝8，CE＝3，求 CD 的长．
（1）证明：∵四边形 ABCD 是⊙O 内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝18 0°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝∠BAD，
∵ ，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACD，
∴CD 平分∠ACE；
（2）解：∵AC 为直径，
∴∠AD C＝90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠ADC，
∵∠DCE＝∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴ ，即 ，
∴ ．
2．如图，AB 为⊙O 的直径，C、F 为⊙O 上两点，且点 C 为 的中点，过点 C 作 AF 的
垂线，交 AF 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 D．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）当 BD＝2，sinD＝ 时，求 AE 的长．
（1）证明：连接 OC，如图，
∵点 C 为弧 BF 的中点，
∴弧 BC＝弧 CF．
∴∠BAC＝∠FAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE．
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵sinD＝ ＝ ，
∴设 OC＝3x，OD＝5x，
则 5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴OC＝3，OD＝5，
∴AD＝8，
∵sinD＝ ＝ ＝ ，
∴AE＝ ．
3．如图，已知 直线 l 切⊙O 于点 A，B 为⊙ O 上一点，过点 B 作 BC⊥l，垂足为点 C，连
接 AB、OB．
（1）求证：∠ABC＝∠ABO；
（2）若 AB＝ ，AC＝1，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接 OA，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB，
∵AC 切⊙O 于 A，
∴OA⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OA∥BC，
∴∠OBA＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABO；
（2）解：过 O 作 OD⊥BC 于 D，
∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，
∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，
∴OD＝AC＝1，
在 Rt△ACB 中，AB＝ ，AC＝1，由勾股定理得：BC＝ ＝3，
∵OD⊥BC，OD 过 O，
∴BD＝DC＝ BC＝ ＝1.5，
在 Rt△ODB 中，由勾股定理得：OB＝ ＝ ，
即⊙O 的半径是 ．
4．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，
AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D，连接 AC．
（1）求证：AC 平分∠DAE；
（2）若 cos∠DAE＝ ，BE＝2，求⊙O 的半径．
（1）证明：连接 OC，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC 平分∠DAE；
（2）解：设⊙O 的半径为 r，
∵OC∥AD，
∴∠DAE＝∠COE，
∴cos∠DAE＝cos∠COE＝ ，BE＝2，
∴ ＝ ，
解得：r＝4，
即⊙O 的半径为 4．
5．如图 a，AB 为⊙O 直径，AC 为⊙O 的为弦，PA 为⊙O 的切线，∠APC＝2∠1．
（1）求证：PC 是⊙O 的切线．
（2）当∠1＝30°，AB＝4 时，其他条件不变，求图 b 中阴影部分的面积．
（1）证明：连结 OC，
在圆 O 中，OA＝OC，
∴∠BOC＝2∠1＝∠APC，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠APC+∠AOC＝180°，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠OAP＝90°
又四边形内角和为 360°，
∴∠OCP＝90°，OC 为⊙O 的半径，
∴PC 为⊙O 的切线；
（2）解：PA 为⊙O 的切线，PC 为⊙O 的切线．
∴PA＝PC，
∵∠1＝30°，∠APC＝2∠1，
∴∠APC＝60°，
∴△APC 为等边三角形，
连结 OP，OC，
∵S 四边形 AOCP＝2× ×2×2＝4，S 扇形 AOC＝×π×4＝π，
∴S 阴影部分的面积＝4﹣π．
6．如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心，交⊙O 于 A，C 两点，BC＝1，AD 为⊙O 的弦，连
接 BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接 DO 并延长交⊙O 于点 E，连接 BE 交⊙O 于点 M．
（1）求证：直线 BD 是⊙O 的切线；
（2）求切线 BD 的长；
（3）求线段 BM 的长．
（1）证明：∵∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠DOB＝2∠BAD＝60°，
∴∠ODB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即 OD⊥BD，
∵OD 过 O，
∴直线 BD 是⊙O 的切线；
（2）解：设 OD＝OC＝r，
在 Rt△BDO 中，sin30°＝ ＝ ，
解得：r＝1，
即 OD＝1，OB＝1+1＝2，
由勾股定理得：BD＝ ＝ ；
（3）解：连接 DM，
∵DE 是⊙O 的直径，
∴∠DME＝90°，
即∠DMB＝∠BDE＝90°，
∵∠DBM＝∠DBE，
∴△BMD∽△BDE，
∴ ，
∴ ，
解得：BM＝ ．
7．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，且 AC 为⊙O 的直径， ＝ ，延长 BC
到 E，使得 BE＝AB，连接 DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若 DE 为⊙O 的切线，且 DE＝2 ，求 的长度．
（1）证明：连接 BD，
∵ ＝ ，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵AB＝BE，BD＝BD，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE；
（2）解：连接 OD，
∵ ＝ ，
∴AD＝CD，
∵AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠B＝∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，O 为 AC 的中点，
∴∠ODE＝ ∠ADC＝45°，
∵DE 为⊙O 的切线，
∴∠ODE＝90，
∴∠CDE＝45°，
∴∠ADE＝90°+45°＝135°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC＝67.5°，
∴∠BAD＝67.5°，
∵AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝22.5°，
∴AD＝CD＝2 ，
∴AC＝4，
∴OC＝2，
∴ 的长度是 ＝ ．
8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD⊥AC，垂足为 D 点，直线 OD 与⊙O
相交于 E，F 两点，P 是⊙O 外一点，P 在直线 OD 上，连接 PA，PB，PC，且满足∠PCA
＝∠ABC
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若 BC＝8， ，求 DE 的长．
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD 是 AC 的垂直平分线，
∴PA＝PC，
（2）证明：由（1）知：PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠PAC＝90°，即 AB⊥PA，
∴PA 是⊙O 的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝ BC＝ ＝4，
∵ ＝ ，
设 AB＝3a，DF＝2a，
∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝ ﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
9．如图，C 是 上的一定点，D 是弦 AB 上的一定点，P 是弦 CB 上的一动点，连接 DP，
将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PD′，射线 PD′与 交于点 Q．已知
BC＝6cm，设 P，C 两点间的距离为 xcm，P，D 两点间的距离为 y1cm，P，Q 两点间
的距离为 y2cm．
小石根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探
究，下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对
应值：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 4.29 3.33 1.65 1.22 1.50 2.24
y2/cm 0.88 2.84 3.57 4.04 4.17 3.20 0.98
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），
（x，y2），并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：连接 DQ，当△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度约为
1.3 或 5.7 cm．（结果保留一位小数）
解：（1）观察图象发现规律可知：
表格数据为：2.44；
（2）如图所示：
即为两个函数 y1，y2 的图象；
（3）观察图象可知：
两个图象的交点的横坐标即为△DPQ 为等腰三角形时，PC 的长度，
两个交点的横坐标为 1.3 和 5.7．
故答案为：1.3 或 5.7．
10．如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 P，此
时 PA•PB＝PC•PD
（1）如图（2），若 AB 与 CD 相交于圆外一点 P，上面的结论是否成立？请说明理由．
（2）如图（3），将 PD 绕点 P 逆时针旋转至与⊙O 相切于点 C，直接写出 PA、PB、PC
之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当 PC＝ ，PA＝1 时，阴影部分的面
积．
解：（1）成立．理由如下：
如图（2），连接 AD、BC，
则∠B＝∠D
∵∠P＝∠P
∴△PAD∽△PCB
∴ ＝
∴PA•PB＝PC•PD；
（2）PC2＝PA•PB
理由如下：
如图（3），连接 BC，OC，
∵PC 与⊙O 相切于点 C，
∴∠PCO＝90°，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°
∴∠PCA＝∠OCB
∵OC＝OB
∴∠OCB＝∠OBC
∴∠PCA＝∠OBC
∵∠P＝∠P
∴△PCA∽△PBC
∴PC：PB＝PA：PC
∴PC2＝PA•PB．
（3）如图（3），连接 OC，
∵PC2＝PA•PB，PC＝ ，PA＝1
∴PB＝3，AO＝CO＝1
∴PO＝2
∵PC 与⊙O 相切于点 C，
∴△PCO 是直角三角形
∴sin∠CPO＝ ＝
∴∠CPO＝30°，∠COP＝60°
∴△AOC 为等边三角形
∴S△AOC＝ ＝
S 扇形 AOC＝ ＝
∴S 阴影＝S 扇形 AOC﹣S△AOC
＝ ﹣ ．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2），点 B 在 x 轴上，以 AB 为直径作⊙C，
点 P 在 y 轴上，且在点 A 上方，过点 P 作⊙C 的切线 PQ，Q 为切点，如果点 Q 在第一
象限，则称 Q 为点 P 的离点．例如，图 1 中的 Q 为点 P 的一个离点．
（1）已知点 P（0，3），Q 为 P 的离点．
①如图 2，若 B（0，0），则圆心 C 的坐标为 （0，1） ，线段 PQ 的长为 ；
②若 B（2，0），求线段 PQ 的长；
（2）已知 1≤PA≤2，直线 l： y＝kx+k+3（k≠0）．
①当 k＝1 时，若直线 l 上存在 P 的离点 Q，则点 Q 纵坐标 t 的最大值为 6 ；
②记直线 l：y＝kx+k+3（k≠0）在﹣1≤x≤1 的部分为图形 G，如果图形 G 上存在 P
的离点，直接写出 k 的取值范围．
解：（1）①如图可知：C（0，1），
在 Rt△PQC 中，CQ＝1，PC＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为（0，1）； ；
②如图，过 C 作 CM⊥y 轴于点 M，连接 CP，CQ．
∵A（0，2），B（2，0），
∴C（1，1）．
∴M（0，1）．
在 Rt△ACM 中，由勾股定理可得 CA＝ ．
∴CQ＝ ．
∵P（0，3），M（0，1），
∴PM＝2．
在 Rt△PCM 中，由勾股定理可得 PC＝ ．
在 Rt△PCQ 中，由勾股定理可得 PQ＝ ＝ ．
（2）①如图 1：当 k＝1 时，y＝x+4，
∴Q（t﹣2，t），
∴CQ＝ ，
当 t＝2 时，CQ 最大，
在 Rt△CDQ 中，CD＝ ，CQ 最大则 DQ 最大，
∴Q（2，6），
故答案为 6；
②∵﹣1≤x≤1，
Q 点的在端点（﹣1，3）和（1，2k+4）之间运动，
当 Q 在（1，2k+4），P（0，4）时，
直线 PQ 的解析式 y＝（2k﹣1）x+4，
点 C（1，1）到直线 PQ 的距离为 时，可得 k＝0 或 k＝4，
∴0＜k＜4．
12．已知 AB 为⊙O 的直径．
（1）如图 a，点 D 为 的中点，当弦 BD＝AC 时，求∠A．
（2）如图 b，点 D 为 的中点，当 AB＝6，点 E 为 BD 的中点时，求 OE 的长．
（3）如图 c，点 D 为 上任意一点（不与 A、C 重合），若点 C 为的中点，探求 BD、
AD、CD 之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明．
解：（1）如图 1，连结 OC，
点 D 为 的中点，
∴ ＝ ═ ，
∵弦 BD＝AC，
∴ ＝ ，
∴ ═ ＝ ，即点 C 为 的中点．
∴ ＝ ═
∠A＝ ∠COB＝ × ×180°＝30°．
（2）如图 2，连结 OD，BC，OD 交 AC 于点 F，
AB 为⊙O 的直径，
∴∠C＝90o
点 D 为 的中点，半径 OD 所在的直线为⊙O 的对称轴，
则点 A 的对应点为 C，
∴OD⊥AC，OD 平分 AC，即：AF＝CF，
在△DEF 和△BEC 中，
，
∴△DEF≌△BEC （AAS），
∴CE＝EF，BC＝DF，
∵AO＝BO，AF＝CF，
∴OF＝ BC＝ DF，又 AB＝6，
∴OD＝3
∴OF＝1，BC＝DF＝2．
在 Rt△ABC 中，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，
∵点 F 为 AC 的中点，点 E 为 FC 的中点
∴EF＝ ，
在 Rt△OFE 中，EF＝ ，OF＝1，
∴OE＝ ＝ ＝ ．
（3）BD、AD、CD 之间的关系为：BD﹣AD＝ CD，
如图 3，连接 BC，OC，
∵AB 为⊙O 的直径，点 C 为 的中点，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
过点 C 作 CF⊥CD 交 BD 于点 F，
∴△DCF 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵∠ACD＝∠BCF＝90°﹣∠ACF，
又∵AC＝BC，CD＝CF
∴△ACD≌△BCF（SAS） ，
∴AD＝BF，
∵BD＝BF+DF，
∴BD＝AD+ CD，
即 BD﹣AD＝ CD．
13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，AB＝10，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于
点 D，交 AC 于点 E，连接 DE，过点 B 作 BP 平行于 DE，交⊙O 于点 P，连接 CP、OP．
（1）求证：点 D 为 BC 的中点；
（2）求 AP 的长度；
（3）求证：CP 是⊙O 的切线．
解：（1）BD＝DC．理由如下：
如图 1，连接 AD，
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）如图 1，连接 AP．
∵AD 是等腰△ABC 底边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴BD＝DE．
∴BD＝DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠DCE＝∠ABC＝ （180°﹣30°）＝75°，
∴∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC＝∠EDC＝30°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝75°﹣30°＝45°，
∵OB＝OP，
∴∠OBP＝∠OPB＝45°，
∴∠BOP＝90°．
∴△AOP 是等腰直角三角形．
∵AO＝ AB＝5．
∴AP＝ AO＝5 ；
（3）解法一：设 OP 交 AC 于点 G，如图 1，则∠AOG＝∠BOP＝90°，
在 Rt△AOG 中，∠OAG＝30°，
∴ ＝ ，
又∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∵∠AGO＝∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC＝∠AOG＝90°，
∴OP⊥PC，
∴CP 是⊙O 的切线；
解法二：如图 2，作 CM⊥AB 于 M，
∵∠BOP＝90°，
∴CM∥OP，
∵OP＝ AB，
在 Rt△AME 中，
∵∠BAC＝30°，可
∴CM＝ AC，
∴CM＝ AB，
∴CM＝OP，
∴四边形 OPCM 是矩形，
∴∠CPO＝90°，
∴CP 是圆 O 的切线．
14．如图，⊙O 的半径为 ，AB 是⊙O 的直径，F 是⊙O 上一点，连接 FO、FB．C 为
劣弧 的中点，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，CD 交 FB 于点 E，CG∥FB，交 AB 的
延长线于点 G．
（1）求证：CG 是⊙O 的切线；
（2）连接 BC，若 BC∥OF，如图 2．
①求 CE 的长；
②图中阴影部分的面积等于 2π ．
（1）证明：如图 1，连接 CO．
∵C 是 的中点，
∴∠BOC＝∠FOC．
又∵OF＝OB，
∴OC⊥BF．
∵CG∥FB，
∴OC⊥CG．
∴CG 是⊙O 的切线．
（2）①∵OF∥CB，
∴∠AOF＝∠OBC，∠COF＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°．
∴△OBC 是等边三角形．
∵CD⊥OB，OC⊥BF，
∴点 E 是△OBC 的重心．
∴CE＝2ED＝ CD．
又∵⊙O 的半径为 ，
∴可求得：CD＝OC•sin60°＝2 × ＝3，DE＝1，
∴CE＝2；
② ．
故答案是：2π．
查看更多
Copyright 2004-2019 ttzyw.com All Rights Reserved 闽ICP备18023965号-4
天天资源网声明：本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理，部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记