资料简介
一、选择题(10×3=30 分)
1. (2017 山东滨州)若正方形的外接圆半径为 2,则其内切圆半径为( )
A. B.2 C. D.1
【分析】根据题意画出图形,再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可.
2. (2018•深圳)如图,一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,A 为 60°角与直尺交点,AB=3,则
光盘的直径是( )
A.3 B. C.6 D.
【分析】设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB,由切线长定理得出 AB=AC=3、∠OAB=60°,根据 OB=ABtan
∠OAB 可得答案.
【解答】解:设三角板与圆的切点为 C,连接 OA、OB,
由切线长定理知 AB=AC=3,OA 平分∠BAC,
∴∠OAB=60°,
在 Rt
△
ABO 中,OB=ABtan∠OAB=3 ,
∴光盘的直径为 6 ,
故选:D.
3. (2017 广东)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,DA=DC,∠CBE=50°,则∠DAC 的大小为( )
A.130° B.100° C.65° D.50°
4. (2018•成都)如图,在▱ABCD 中,∠B=60°,⊙C 的半径为 3,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.3π D.6π
5. (2018•重庆)如图,
△
ABC 中,∠A=30°,点 O 是边 AB 上一点,以点 O 为圆心,以 OB 为半径作圆,
⊙O 恰好与 AC 相切于点 D,连接 BD.若 BD 平分∠ABC,AD=2 ,则线段 CD 的长是( )
A.2 B. C. D.
【分析】连接 OD,得 Rt
△
OAD,由∠A=30°,AD=2 ,可求出 OD、AO 的长;由 BD 平分∠ABC,OB=OD
可得
OD 与 BC 间的位置关系,根据平行线分线段成比例定理,得结论.
【解答】解:连接 OD
∵OD 是⊙O 的半径,AC 是⊙O 的切线,点 D 是切点,
∴OD⊥AC
在 Rt
△
AOD 中,∵∠A=30°,AD=2 ,
∴OD=OB=2,AO=4,
∴∠ODB=∠OBD,又∵BD 平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB,
∴
即
∴CD= .
故选:B.学科&网
6. (2018•山西)如图,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O 的半径为 2,以点 A 为圆心,以 AC 长为半径画弧
交 AB 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,则图中阴影部分的面积为( )
A.4π﹣4 B.4π﹣8 C.8π﹣4 D.8π﹣8
7. (2018•沈阳)如图,正方形 ABCD 内接于 O,AB=2 ,则 的长是( )
A.π B. π C.2π D. π
【分析】连接 OA、OB,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出 AO,根据弧长公式求出即可.
【解答】解:连接 OA、OB,
8. 2018•广安)如图,已知⊙O 的半径是 2,点 A、B、C 在⊙O 上,若四边形 OABC 为菱形,则图中阴影部
分面积为( )
A. π﹣2 B. π﹣ C. π﹣2 D. π﹣
【分析】连接 OB 和 AC 交于点 D,根据菱形及直角三角形的性质先求出 AC 的长及∠AOC 的度数,然后
求出菱形 ABCO 及扇形 AOC 的面积,则由 S 菱形 ABCO﹣S 扇形 AOC 可得答案.
【解答】解:连接 OB 和 AC 交于点 D,如图所示:
∵圆的半径为 2,
∴OB=OA=OC=2,
又四边形 OABC 是菱形,
∴OB⊥AC,OD= OB=1,
9. (2018•泸州)在平面直角坐标系内,以原点 O 为圆心,1 为半径作圆,点 P 在直线 y= 上运动,
过点 P 作该圆的一条切线,切点为 A,则 PA 的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
【分析】如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH⊥CD 于 H,先利用一次解析式
得到 D(0,2 ),C(﹣2,0),再利用勾股定理可计算出 CD=4,则利用面积法可计算出 OH= ,连
接 OA,如图,利用切线的性质得 OA⊥PA,则 PA= ,然后利用垂线段最短求 PA 的最小值.
【解答】解:如图,直线 y= x+2 与 x 轴交于点 C,与 y 轴交于点 D,作 OH⊥CD 于 H,
当 x=0 时,y= x+2 =2 ,则 D(0,2 ),
当 y=0 时, x+2 =0,解得 x=﹣2,则 C(﹣2,0),
∴CD= =4,
∵ OH•CD= OC•OD,
∴OH= = ,
连接 OA,如图,
∵PA 为⊙O 的切线,
∴OA⊥PA,
∴PA= = ,
当 OP 的值最小时,PA 的值最小,
而 OP 的最小值为 OH 的长,
∴PA 的最小值为 = .
故选:D.
10. (2018•无锡)如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交
于点 E、点 F,给出下列说法:(1)AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心;(2)AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆
心;(3)BC 与圆 O 相切,其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解答】解:连接 DG、AG,作 GH⊥AD 于 H,连接 OD,如图,
∵G 是 BC 的中点,
∴AG=DG,
∴GH 垂直平分 AD,
∴点 O 在 HG 上,
∵AD∥BC,
∴HG⊥BC,
∴BC 与圆 O 相切;
∵OG=OG,
∴点 O 不是 HG 的中点,
∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点;
而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形,
∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;
∴(1)错误,(2)(3)正确.
故选:C.学科&网
二、填空题(6×4=24 分).
11. (2018•重庆)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,以点 B 为圆心,以 AB 为半径画弧,交对角线 BD
于点 E,则图中阴影部分的面积是 (结果保留π)
12. (2017 湖南株洲)
如图,已知 AM 为⊙O 的直径,直线 BC 经过点 M,且 AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段 AB 和 AC 分别交
⊙O 于点 D、E,∠BMD=40°,则∠EOM= .
【分析】连接 EM,根据等腰三角形的性质得到 AM⊥BC,进而求出∠AMD=70°,于是得到结论.
13. (2018•安徽)如图,菱形 ABOC 的边 AB,AC 分别与⊙O 相切于点 D,E.若点 D 是 AB 的中点,则
∠DOE= °.
【分析】连接 OA,根据菱形的性质得到
△
AOB 是等边三角形,根据切线的性质求出∠AOD,同理计算即
可.
【解答】解:连接 OA,
∵四边形 ABOC 是菱形,
∴BA=BO,
∵AB 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥AB,
∵点 D 是 AB 的中点,
∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线,
∴OA=OB,
∴△AOB 是等边三角形,
∵AB 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥AB,
∴∠AOD= ∠AOB=30°,
同理,∠AOE=30°,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°,
故答案为:60.
14. (2018•荆门)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以 AB 为直径的⊙O 交 BC
于点 E,则阴影部分的面积为 .
【解答】解:连接 OE、AE,
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠AEB=90°,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,
∴AE= AB=2,BE= =2 ,
∵OA=OB=OE,
∴∠B=∠OEB=30°,
∴∠BOE=120°,
∴S 阴影=S 扇形 OBE﹣S
△
BOE,
= ﹣ × ,
= ﹣ ,
= ﹣ ,
故答案为: ﹣ .学科&网
15. (2018•宁波)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点,P 是 BC 边上的动点,连结 PM,以
点 P 为圆心,PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时,BP 的长为 .
【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 CD 相切时,设 PC=PM=m.
在 Rt
△
PBM 中,∵PM2=BM2+PB2,
∴x2=42+(8﹣x)2,
∴x=5,
∴PC=5,BP=BC﹣PC=8﹣5=3.
如图 2 中当⊙P 与直线 AD 相切时.设切点为 K,连接 PK,则 PK⊥AD,四边形 PKDC 是矩形.
16. (2018•泰州)如图,
△
ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,AC=12,将
△
ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到
△
A'B'C,P 为线段 A′B'上的动点,以点 P 为圆心,PA′长为半径作⊙P,当⊙P 与
△
ABC 的边相切时,⊙P 的
半径为 .
【分析】分两种情形分别求解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,如图 2 中,当⊙P 与 AB 相切
于点 T 时,
【解答】解:如图 1 中,当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时,连接 PQ.
∵△A′BT∽△ABC,
∴ = ,
∴ = ,
∴A′T= ,
∴r= A′T= .
综上所述,⊙P 的半径为 或 .
三、解答题(共 46 分).
17. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图,AB 是⊙O 的直径, = ,E 是 OB 的中点,连接 CE 并延长到点
F,使 EF=CE.连接 AF 交⊙O 于点 D,连接 BD,BF.
(1)求证:直线 BF 是⊙O 的切线;
(2)若 OB=2,求 BD 的长.
18. (2018·辽宁省抚顺市)(12.00 分)如图,Rt
△
ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O,点 D 为⊙O
上一点,且 CD=CB.连接 DO 并延长交 CB 的延长线于点 E.
(1)判断直线 CD 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 BE=4,DE=8,求 AC 的长.
【分析】(1)欲证明 CD 是切线,只要证明 OD⊥CD,利用全等三角形的性质即可证明;
(2)设⊙O 的半径为 r.在 Rt
△
OBE 中,根据 OE2=EB2+OB2,可得(8﹣r)2=r2+42,推出 r=3,由 tan∠E= = ,
推出 = ,可得 CD=BC=6,再利用勾股定理即可解决问题;
【解答】(1)证明:连接 OC.
∵CB=CD,CO=CO,OB=OD,
∴△OCB≌△OCD,
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥DC,
∴DC 是⊙O 的切线.
在 Rt
△
ABC 中,AC= = =6 .学科&网
19. (2018•呼和浩特•10 分)如图,已知 BC⊥AC,圆心 O 在 AC 上,点 M 与点 C 分别是 AC 与⊙O 的交
点,点 D 是 MB 与⊙O 的交点,点 P 是 AD 延长线与 BC 的交点,且 = .
(1)求证:PD 是⊙O 的切线;
(2)若 AD=12,AM=MC,求 的值.
(2)连接 CD.由(1)可知:PC=PD,
∵AM=MC,
∴AM=2MO=2R,
在 Rt
△
AOD 中,OD2+AD2=OA2,
∴R2+122=9R2,
∴R=3 ,
∴OD=3 ,MC=6 ,
∵ = = ,
∴DP=6,
∵O 是 MC 的中点,
∴ = = ,
20. (2018·辽宁省盘锦市)如图,在 Rt
△
ABC 中,∠C=90°,点 D 在线段 AB 上,以 AD 为直径的⊙O 与
BC 相交于点 E,与 AC 相交于点 F,∠B=∠BAE=30°.
(1)求证:BC 是⊙O 的切线;
(2)若 AC=3,求⊙O 的半径 r;
(3)在(1)的条件下,判断以 A.O、E.F 为顶点的四边形为哪种特殊四边形,并说明理由.
【解答】解:(1)如图 1,连接 OE,∴OA=OE,∴∠BAE=∠OEA.
∵∠BAE=30°,∴∠OEA=30°,
∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°.
在
△
BOE 中,∠B=30°,
∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°,
∴OE⊥BC.
∵点 E 在⊙O 上,∴BC 是⊙O 的切线;
(3)以 A.O、E.F 为顶点的四边形是菱形,
理由:如图 3.在 Rt
△
ABC 中,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,连接 OF,
∴OA=OF,∴△AOF 是等边三角形,
∴OA=AF,∠AOF=60°,连接 EF,OE,
∴OE=OF.
∵∠OEB=90°,∠B=30°,
∴∠AOE=90°+30°=120°,
∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°.
∵OE=OF,∴△OEF 是等边三角形,
∴OE=EF.
∵OA=OE,∴OA=AF=EF=OE,
∴四边形 OAFE 是菱形.
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