资料简介
【课标解读】
数学文化是指数学在发展过程中蕴含的人文成分,这个人文成分包括以下这些方面的要素，例如包括数
学概念、公式一数学游戏一数学家的创造活动+ 数学的发展史一数学发展社会背景等数学史,还包括日常应
用中的数学,以及数学思想方法和数学精神等。在近几年的中考中，以数学文化为载体的数学题越来越多，
只要我们平时注意积累和了解这方面的常识，解题时注意审题，实现载体与考点的有效转化，透过现象看
本质，问题便可迎刃而解．
【解题策略】
首先在理解古代名人研究的成果的基础上，结合语意进行探索，并进行转化，转为为数学知识进行解
答.
【考点深剖】
★考点一 以古代名人或者成就为背景
【典例 1】2018•莱芜•4 分）如图，若△ABC 内一点 P 满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点 P 为△ABC 的布罗卡
尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗
卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△
ABC 中，CA=CB，∠ACB=120°，P 为△ABC 的布罗卡尔点，若 PA= ，则 PB+PC= ．
【分析】作 CH⊥AB 于 H．首先证明 BC= BC，再证明△PAB∽△PBC，可得 = = = ，即可求出 PB.PC；
【解答】解：作 CH⊥AB 于 H．
∴ = = = ，
∵PA= ，
∴PB=1，PC= ，
∴PB+PC=1+ ．
故答案为 1+ ．学科&网
★考点二 以古代名著作品为背景
【典例 2】（2018•福建）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，
索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，
绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意
的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
★考点三 以科学技术为背景
【典例 3】（2016·陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城
南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”
的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离
不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮
和“望月阁”之间的直线 BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线 BM 上的对应位置
为点 C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 D 时，看到“望月阁”顶端点 A 在镜面中
的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度 ED=1.5 米，CD=2 米，然后，在阳光下，他们
用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从 D 点沿 DM 方向走了 16 米，到达“望月阁”
影子的末端 F 点处，此时，测得小亮身高 FG 的影长 FH=2.5 米，FG=1.65 米．
如图，已知 AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中
提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB 的长度．
【考点】相似三角形的应用．
★考点四 以其他方面的知识为背景
【典例 4】阅读理解：如图 1，⊙O 与直线 a、b 都相切，不论⊙O 如何转动，直线 a、b 之间的距离始终保
持不变（等于⊙O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图 2 是利用圆的这一特性的例
子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就
是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．
拓展应用：如图 3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图 4，夹在平行线 c，d 之
间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线 c，d 之间的距离等于 2cm，则莱洛三角
形的周长为 cm．
【点评】本题主要考查新定义下弧长的计算，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．
【讲透练活】
变式 1：（2018 广西南宁）（3.00 分）如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，
得到的封闭图形是莱洛三角形，若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C．2 D．2
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边
三角形的面积，分别求出即可．
变式 2：(2017 湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为勾股数．世界上
第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： 其
中 m＞n＞0，m，n 是互质的奇数．
应用：当 n=1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．
【分析】由 n=1，得到 a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，根据直角三角形有一边长为 5，列方程
即可得到结论．
【解答】解：当 n=1，a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，
∵直角三角形有一边长为 5，
∴Ⅰ、当 a=5 时， （m2﹣1）=5，解得：m= （舍去），
Ⅱ、当 b=5 时，即 m=5，代入①③得，a=12，c=13，
Ⅲ、当 c=5 时， （m2+1）=5，解得：m=±3，
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12，13 或 3，4．学科&网
变式 3：（2017 江西）钓鱼岛自古就是中国的！2017 年 5 月 18 日，中国海警 2305，2308，2166，33115 舰
船队在中国的钓鱼岛领海内巡航，如图，我军以 30km/h 的速度在钓鱼岛 A 附近进行合法巡逻，当巡逻舰行
驶到 B 处时，战士发现 A 在他的东北方向，巡逻舰继续向北航行 40 分钟后到达点 C，发现 A 在他的东偏北
15°方向，求此时巡逻舰与钓鱼岛的距离（ ≈1.414，结果精确到 0.01）
变式 4：（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条
分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用
“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S 矩形 NFGD=S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S 矩形 EBMF=S△ABC﹣（ S△AEF + S△FCM ）．
易知，S△ADC=S△ABC， S△ANF = S△AEF ， S△FGC = S△FMC ．
可得 S 矩形 NFGD=S 矩形 EBMF．
【考点】LB：矩形的性质．
变式 5：（2017 湖北随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组
成（如图 1），图 2 是从图 1 引出的平面图．假设你站在 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55°，沿 HA 方向水
平前进 43 米到达山底 G 处，在山顶 B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端 D（D、C、H
在同一直线上）的仰角是 45°．已知叶片的长度为 35 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高 BG 为
10 米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆 CH 的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°
≈0.6）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作 BE⊥DH，知 GH=BE、BG=EH=10，设 AH=x，则 BE=GH=43+x，由 CH=AHtan∠CAH=tan55°•x 知
CE=CH﹣EH=tan55°•x﹣10，根据 BE=DE 可得关于 x 的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作 BE⊥DH 于点 E，
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