资料简介
第
1
章 二次函数
1.1
二次函数
1.
一元二次方程的一般形式是什么？
2.
一次函数、正比例函数的定义是什么？
请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量
y
与
x
之间的关系：
（
1
）圆的面积
y(
)
与圆的半径
x(cm);
（
2
）某商店
1
月的利润是
2
万元，
2
、
3
月利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为
x
，
3
月份的利润为
y;
合作学习 探索新知
（
3
）一个温室的平面图如图
,
温室外围是一个矩形，周长为
12
0
m
，室内通道的尺寸如图
,
设一条边长为
x
（
m
）
,
种植面积为
y
（
m
2
）
.
1
1
1
3
x
1.
y =πx
2
2.
y = 2(1+x)
2
3.
y= (60-x-4)(x-2)
=2x
2
+4x+2
=-x
2
+58x-112
思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些共同的特征
?
经化简后都具有
y=ax
²
+bx+c
的形式，
(a
，
b
，
c
是常数，且
)
.
a≠0
定义：一般地，形如
y=ax
²
+bx+c
(a,b,c
是常数
,
a
≠ 0)
的函数叫做
x
的
二次函数。
（
1
）等号左边是变量
y
，右边是关于自变量
x
的
整式；
（
3
）等式的右边最高次数为
，可以没有一次项和常数项，但
不能没有二次项
。
注意
：
（
2
）
a,b,c
为常数，且
（
4
）
x
的取值范围是
。
a
≠0
；
2
任意实数
二次函数的一般形式
:
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
其中
a
、
b
、
c
是常数
,
a
≠0)
二次函数的特殊形式：
当
b
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
c
当
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
＋
bx
当
b
＝
0
，
c
＝
0
时，
y
＝
ax
2
函数解析式
二次项系数
a
一次项系数
b
常数项
c
0
0
2
4
2
-
1
58
-
112
13
0
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
试一试
:
二次函数
y
＝
ax
2
+
bx+c
中
a
≠0,
但
b
、
c
可以为
0.
例题讲解
例 下列
函数中，
哪些是二次函数？若是
,
分别指出二次项系数
,
一次项系数
,
常数项
.
(1) y=3(x-1)
²
+1
(2) y=x+
(
3) s=3-2t
²
(4) y=(x+3)²-x²
(5)y=
-
x
(6) v=10
π
r²
1
x
__
x²
1
__
解
:
(1)
y=
3(
x-
1)²
+
1
=
3(
x
2
-
2
x+
1)
+
1
=
3
x
2
-
6
x+
3
+
1
即
y=
3
x
2
-
6
x+
4
是二次函数
.
二次项系数
:
一次项系数
:
常数项
:
3
-6
4
(2)
y=x+
1
x
__
不是二次函数
.
(3)
s=
3
-
2
t²
是二次函数
.
二次项系数
:
一次项系数
:
常数项
:
-2
0
3
(4)
y=
(
x+
3)²
-x
²
=x
2
+
6
x+
9
-x
2
即
y=
6
x+
9
不是
二次函数
.
二次项系数
:
一次项系数
:
常数项
:
10
π
0
0
不是二次函数
.
(5)
y=
-
x
x²
1
__
(6)
v=
10
π r
²
是二次函数
.
x
用
20
米长的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边长为
x m,
矩形的面积为
y m
2
。求
：
(
1)
写出
y
关于
x
的函数关系式
.
(2)
当
x=3
时
,
矩形的面积为多少
?
(2)
当
x=3
时
(
0
< x0
图
象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
x
y
O
向上
(0 ,0)
y
轴
当
x
0)
的形状是由
a
来确定
的
,
一般说来
,
a
越
大
,
开口越大
当
x
>0
时
，
y
随着
x
的增大而
增大
练习
1
：根据函数图象填空：
抛物线
y=2x
2
的开口方向是
对称轴是
，顶点坐标是
,
在
侧，
y
随着
x
的增大而增大；
在
侧，
y
随着
x
的增大而减小，
当
x=
时，函数
y
的值最小，最小值是
,
抛物线
y=2x
2
在
x
轴的
方（除顶点外）。
（
0
，
0
）
y
轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
向上
练习
2
：若抛物线
y=ax
2
(a
≠
0)
，
过
点
(-1
，
3
)
.
（
1
）则
a
的值是
；
（
2
）对称轴是
，开口
.
（
3
）顶点坐标是
，
抛物线在
x
轴的
方（除顶点外）
.
3
y
轴
向上
(0,0)
上
（
4
）求
出这个二次函数的最大值或最小值
.
（
5
） 在此抛物线上有两点
A(x1,y1),B(x2,y2),
且
x1>x2>0,
试比较
y1
与
y2
的大小
.
第
2
课时
复习
1
、二次函数
的
图象及性质：
(1)
图象是
；
(2)
顶点为
，
对称轴为
；
、
(3)
当
a
>0
时，
抛物线开口
向
，顶点
是最
点
，
在对称轴的
左侧，
y
随
x
的
增大而
，
在对称轴的
左侧，
y
随
x
的
增大而
，
a
值越大
，开口
越
；
、
(4)
当
a
0
时，向上
平移 个
单位；
(2)
当
c
0
时，开口向上；
在对称轴的左侧，
y
随
x
的增大而减小，
在对称轴的右侧，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
=0
时，
y
取最小值为
c
。
3.
当
a
0
时，向上
平移 个
单位；
(2)
当
c
0
时，开口向上；
在对称轴的左侧，
y
随
x
的增大而减小，
在对称轴的右侧，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
=0
时，
y
取最小值为
c
。
3.
当
a
0
时，向右平移
个
单位；
(2)
当
h
0
时，开口向上；
在对称轴的左侧，
y
随
x
的增大而减小，
在对称轴的右侧，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
=
h
时，
y
取最小值为
0
。
3.
当
a
0
时，向上
平移
个单位；
(2)
当
c
0
时，向右平移
个
单位；
(2)
当
h
0
时，开口向上；
在对称轴的左侧，
y
随
x
的增大而减小，
在对称轴的右侧，
y
随
x
的增大而增大；
当
x
=
h
时，
y
取最小值为
k
。
二次函数
图象
及性质：
归纳
3.
当
a
0
)
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
0
，抛物线
开口向上
解
:
a
=
－
1 < 0 ，抛物线 开口向下 （ 2 ） 解 : a = － 2 < 0 抛物线开口向下 （ 3 ） 解 : a = 0.5 > 0
抛物线开口向上
（
4
）
2
．已知直角三角形两条直角边的和等于
8
，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
第
1
章 二次函数
1.3
不共线三点确定二次函数的表达式
(1)
y=
k
x+
b
(
k≠
0)
系数
k
待定
找
一
个点
确定
一
个方程
解
一元一次方程
系数
k,
b
待定
找
两
个点
两
个方程
解
二元一次方程组
y=
k
x
(
k
≠0)
y=
(
k
≠
0)
x
k
1.
什么
是待定系数法？
怎样用待定系数法确定函数解析式？
2、二次函数的解析式怎样？
要确定二次函数表达式需待定的系数是哪些？
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
(
a
≠
0)
解：
设二次函数表达式是：
y
=
ax
2
+
bx
+c
c=2
a
+
b
+c=0
4
a
-2
b
+c=3
例1、
已知一个二次函数的图象过点
（
0
，
2
）、
（
1
，
0
）、（
-2
，
3
）
三点，求这个函数的表达式？
把点
(
0
，
2
)、(
1
，
0
)、(
-2
，
3
)
代入表达式，得：
解之得：
2
1
a
= -
2
3
b= -
c=2
∴
y
=
-
x
2
-
x
+2
2
3
2
1
已知
三点
求二次函数的解析式。
1.
设
y=ax
2
+bx+c
2.
代
（三点）
3.
列
（三元一次方程组）
4.
解
5.
写
（回代，写成一般形式）
（消元）
解：
设
y
=
a
(
x
＋
1
)
2
-
3
例2、
已知抛物线的顶点
为
(-
1,-3
)
，
与
x
轴交点为
(
0,-5)
，求
抛物线的解析式？
y
=
-
2(
x
＋
1)
2
-
3
，即
y
=
-
2
x
2
-4
x
-
5
y
=
-2
(
x
2
+
2
x
+
1
)
-3
又抛物线与
x
轴交点为（
0
，
-
5
）
a
-3
=-
5
，得
a
= -2
已知抛物线的
顶点
求表达式。
“设”时，不设一般式，而设为
“y=a(x
-
h)
2
+k
”
的形式（
顶点式
） 。
再把另一点代入，得一元一次方程。
(1
)已知
抛物线
y
=
x
2
+4
x
+3它的开口向
，对称轴
是
直线
，顶点坐标为
，图象与
x
轴的交
点为
，与
y
轴的交点为
.
上
x
=-2
（
-2
，
-1
）
(-3,0)
，
(-1,0
)
（
0
，
3
）
(
2
)
二次函数
y
=3(
x
+1)
2
+4的顶点坐标为
。
(-1
，
4
)
(3
)顶点
为（
0
，
0
）且过点（1，
-3
）的抛物线的解析
式
为
.
y
= -
3
x
2
(4
)抛物线
y
=-
x
2
-2
x
+
m
，若其顶点在
x
轴上
，则
m
=
.
-1
(
5)写出
一个图象经过原点的二次函数
的表达
式
.
y=x
2
y
=-
x
2
+3
x
1
、填空
巩固练习
4、已知抛物线与
x
轴交于点M
（
-
1
,
0
）
、
（2
,
0
）
，且
经过点
（
1
,
2
）
，求抛物线解析式．
3、当自变量
x
= 0
时，函数
值
y
=
-
2
，当自变量
x
=
-
1
时，函数值
y
=
-
1
，当自变量
x
=1
时，函数值
y
= 1,
求当自变量
x
=
2
时，函数值
y
是多少
？
y
=2
x
2
+
x
-2
2、二次函数的图象过点
（
-
1
,
0
）（
2,0
）（
-
3
,
5
）
求这个函数的表达式？
5、已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
的顶点坐标为
(2
，
1)
，且这条抛物线与
x
轴的一个交点坐标是
(3
，
0)
，求抛物线的表达式。
设一般式
a
-
b
+
c
=0
4
a
+2
b
+
c
=0
9
a
-3
b
+
c
=5
设一般式求出表达式，再求函数值。
实际就是已知三点，求函数表达式。
设顶点式，求解。
6、某抛物线是将抛物线
y=ax
2
向右平移一个单位长度
，再
向上平移一个单位长度
得到的
，且
抛物线过点（
3,-3
），求
该
抛物线的表达式
。
顶点坐标（
1
，
1
）设
y
=
a
(
x
-1)
2
+1
7、已知抛物线对称轴为
x
=2
，且经过点
（
1
，
4
）
和
（
5
，
0
）
，求该二次函数解析式。
8、抛物线的图象经过
（
2
，
0
）与（
6
，
0
）两点，其顶点的纵坐标是
2
，求它的函数关系式
提示：
由题意得
x
=
=
4
2
2
+6
∴
顶点坐标为（
4
，
2
）
由顶点式可
求得
,
y
=
-
x
2
+4
x
-6
2
1
设
y
=
ax
2
+
bx
+
c
-
=
2
2
a
b
a+b+c=
4
25
a
+5
b
+
c
=0
设
y
=
a
(
x
-2)
2
+
k
a
+
k
=4
9
a
+
k
=0
今天我们学到了什么？
1
、求二次函数解析式的一般方法：
.
已知图象上
三点
坐标，通常选择
一般式
。
.
已知图象的
顶点
坐标（
对称轴或最值
）,通常选择顶点式。
y=
a
x
2
+
b
x
+
c
（
a
≠
0
）
三个
系
数待定
找
三
个点
三
个方程
解
三元一次
方程组
2
、求二次函数解析式的
常用思想
：
转化思想
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为
一般形式
。
解方程或方程组
课堂小结
1.3
不共线三点确定二次函数的表达式
(2)
1
、求二次函数解析式的一般方法：
.
已知图象上
三点
坐标，通常选择
一般式
。
.
已知
图象的
顶点
坐标（
对称轴或最值
）,通常选择顶点式。
y=
a
x
2
+
b
x
+
c
（
a
≠
0
）
三个
系
数待定
找
三
个点
三
个方程
解
三元一次
方程组
2
、求二次函数解析式的
常用思想
：
转化思想
无论采用哪一种表达式求解，最后结果都化为
一般形式
。
解方程或方程组
3、求二次函数解析式的
两种形式：
一般式：
y=ax
2
+bx+c
顶点式：
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
例
1、已知抛物线与
x
轴交于点
A
(
-
2
,
0)
,
B
（
1
,
0
），
且
经过
点
C
（
2
,
8
）
，求该二次函数解析式。
解：
设二次函数解析式为
y=ax
2
+bx+c
，
则
4
a
-2
b
+
c
=0
a
+
b
+
c
=0
4
a
+2
b
+
c
=8
解
得
a
=2
b
=2
c
=-4
∴
y=
2
x
2
+2
x
-4
想一想：
还有更快更好的解法吗？
由
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象经过点(-2,0)和
(1，0)
，设
x
1
=
-
2，
x
2
=1，
将
x
1
、
x
2
分别代入二次函数解析
式中
可得
y
=0，
x
1
、
x
2
也就是一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0的根
，方程
可写成
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)=0
形式。
二次函数的解析式：
y
=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
) (
a
≠0)
，
我们把这种解析式称为
“交点式”
。
于是，二次函数的解析式也可得到以下这种形式：
小结：二次函数的表达式有几种形式？
已知抛物线与
x
轴交于点
A
(
-
2，0)，
B
（
1
，
0
），
且
经过
点
C
（
2
，
8
）
，求该二次函数解析式。
解法二：
设函数解析式为
y
=
a
(
x
+2)(
x
-1)
，
又抛物线经过
点
C(2,8)
，则
把点
C(2,8)
代入
可得
，
8=
a
(2+2)(2-1
)
，
解得
a
=2
故解析式为
y
=2(
x
+2)(
x
-1
)
，
即
y
=2
x
2
+2
x
-4
例2．已知二次函数图象经过点 (1，4)、(-1，0)和(3，0)
三点，
求
二次函数的表达式。
（交点式）
∵二次函数图象经过点 (3，0)、(-1，0)
∴设二次函数表达式为 ：
y
=
a
(
x
-3)(
x
+1)
∵ 函数图象过点(1，4) ∴ 4 =
a
(1-3)(1+1) 得
a
= -1
∴ 函数的表达式为：
y
= -(
x
+1)(
x
-3) = -
x
2
+2
x
+3
知道抛物线与
x
轴的两个交点的坐标，用交点式比较简便。
（一般式）
设二次函数解析式为
y
=
ax
2
+
bx
+c
∵
二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)，则得：
a+b+c=
4
a-b+c=
0
9
a
+3
b
+c=0
解得
a
= -1
b
=2
c
=3
∴
函数的解析式
为
y
=
-
x
2
+2
x
+3
∵ 抛物线与
x
轴相交两点
(-1,0)
和
(3,0)
，
∴ 点(1，4)为抛物线的顶点
可设二次函数解析式
为
y
=
a
(
x
-
1)
2
+4
（顶点
式）
∵ 抛物线过点(-1， 0)
∴
0=
a
(-1-1)
2
+4
得，
a
= -1
∴ 函数的解析式
为
y
= -(
x
-1)
2
+4=-
x
2
+2
x
+3
4、已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，
-
3），
求
出
对应的二次函数解析式。
y=-x
2
+4x-3
5、已知二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点
，
它
的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的解析式？
y=x
2
-4x-5
1
、求
经过三
点
A
（
-2
，
-
3
），
B
（
1
，
0
），
C
（
2
，
5
）
的二次函数
的
解析
式
.
2
、已知抛物线的顶点为
D(-1
，
-4)
，又经过点
C(2
，
5)
，求其解析式。
3
、已知抛物线与
x
轴的两个交点为
A(
-
3
，
0)
、
B(1
，
0)
，
又经过
点
C(2
，
5)
，求其解析式。
6
、抛物线与
x
轴的一个交点坐标是(-1，0)
，且
当
x
= 1
时
，
函数
有最大值为
4
，求此函数解析式。
课堂练习
7、已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当
x
=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式。
8、已知
二次函数的对称轴是直线
x
=1
，图像上最低点
P
的纵坐标为
-8
，图像还过点
(-2
，
10)
，求此函数的表达式。
顶点坐标（
1
，
-
8
）设
y
=
a
(
x
-1)
2
-8
9
、
已知
二次函数的图象与
x
轴两交点间的距离为
4
，
且当
x
=1
时，函数有最小值
-4
，求此表达式。
顶点坐标（
1
，
-4
）设
y
=
a
(
x
-1)
2
-4
10、有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为
16 m
，跨度为
40 m
．现把它的图形放在坐标系里
(
如图所示
)
，求抛物线的解析式．
y =
-
x
2
+
x
25
1
5
8
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
y=ax
2
+
bx+c
已知图象的顶点坐标、对称轴和最值
通常选择顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
已知图象与
x
轴的两个交点的横
x
1
、
x
2
，
通常选择交点式（两根式）
y
=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)
。
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
课堂小结
第
1
章 二次函数
1.4
二次函数与一元二次方程的联系
已知函数值
y
=
0
，
求对应自变量
x
.
请问
这位同学的跳远成绩是多少？
高度
y
(m)
与水平距离
x
(m)
之间具有的关系
:
高度
h(m)
与时间
t(s)
之间具有的关系
:
h=20t-5
t
2
球从飞出到落地需要多少时间？
已知函数值
h
=
0
，
求对应自变量
t.
已知
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的函数值
为
0
，
求
自变量
x
的值，可以看作解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0 (
a
≠0).
探究新知
(1)
球的飞行高度能否达到
15m?
若能
,
需要多少飞行时间
?
已知函数值
h=15
，求对应自变量
t.
(
2)
球的飞行高度能否达到
20m?
若能
,
需要多少飞行时间
?
(
3)
球的飞行高度能否达到
20.5m?
若能
,
需要多少飞行时间
?
已知
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的函数值为
m
，求自变量
x
的值，可以看作解一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
m
(
或
ax
2
+
bx
+
c
-
m
=0) (
a
≠0).
探究新知
h=20t-5
t
2
归纳总结
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的函数值
为
0
，求
自变量
x
的值，可以看作解
一元二次方程
ax
2
+
bx
+c=
0(
a
≠0
).
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
的
函数值为
m
，求自变量
x
的值，可以看作解一元二次方程
ax
2
+
bx
+c
=
m
(
或
ax
2
+
bx
+c
-
m
=0) (
a
≠0).
以上关系反之也成立
.
根据图象你能得出相应方程的解吗
?
思考
0
x
y
1
y
=
x
2
+
x
-2
y
=
x
2
-
6
x
+9
y
=
x
2
-
x
+1
.
.
(1)
方程
x
2
+
x
-2=0
的根是
______________;
(2)
方程
x
2
-6
x
+9=0
的根是
______________;
(3)
方程
x
2
-
x
+1=0
的根是
______________.
如果抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
与
x
轴有公共点
(
x
0
,
0
)
,
那么
x
=
x
0
就是方程
ax
2
+
bx
+
c
=0
的一个根
.
x
1
=-2,
x
2
=1
x
1
=
x
2
=3
无实数根
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象和
x
轴交点
一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0
的根
有两个交点
有两个相异的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
根的判别式
Δ
=b
2
-4ac
b
2
-4ac > 0
b
2
-4ac = 0
b
2
-4ac < 0 说明： a≠0 练一练 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？有几个交点？ (5) y=2 x 2 - (4k+1)x+2 k 2 -1; (1) y=2 x 2 +x-3; (2) y=-4 x 2 -4x-1; (3) y=3 x 2 -2x+3; (4) y= x 2 +(2k+1)x- k 2 + k; 若此抛物线 与 x 轴有两个交点 , 求 k 的取值范围 . 基础练习 : 1. 不与 x 轴相交的抛物线是 ( ) A y = 2 x 2 – 3 B y= - 2x 2 + 3 C y= - x 2 –3 x D y = - 2 (x+1) 2 - 3 2. 若抛物线 y=ax 2 +bx+c, 当 a>0,c
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