资料简介
第
26
章 二次函数
26.1
二次函数
知识回顾
1.
一元二次方程的一般形式是什么？
2.
一次函数的定义是什么？
ax
2
+
bx
+
c
=0
形如
y
=
kx
+
b
(
其中
k
,
b
为常数且
k
≠0)
的函数叫做
x
的
一次函数。
(
a
≠0)
图片欣赏
用总长为
20 m
的
铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样
围，
才能使花圃的面积最大？
1.
设
矩形靠墙的一边
AB
的
长为
x
ｍ
，矩形的
面积为
y
ｍ
2
．能
用含
x
的代数式来表示
y
吗？
2.
试
填下面的
表。
3.
x
的值可以任意取？有限定范围吗？
4
.
我们
发现
y
是
x
的函数，试写出这个函数的关系式
。
x
x
20-2
x
B
C
D
A
问题
1
AB
的长
x
（ｍ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC
的长（ｍ）
12
面积
y
（ｍ
２
）
48
y
=
x
(20-2
x
)
=
-
2
x
2
+20
x
(
0﹤
x
﹤10)
18
18
32
14
42
16
10
50
8
48
6
42
4
32
18
0﹤
x
﹤10
2
1.
设
矩形靠墙的一边
AB
的
长
x
ｍ
，矩形的面积
y
ｍ
2
．
能用含
x
的代数式来表示
y
吗？
2
.
试
填下面的
表。
3
.
x
的值可以任意取？有限定范围吗？
4
.
我们
发现
y
是
x
的函数，试写出这个函数的关系式
。
能
某商店将
每件进
价为
8
元的商品按
每件
10
元出售，一天可售出
100
件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低
0.1
元，其销售量可增加约
10
件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
1
.
设
每件商品降低
x
元（
0≤
x
≤2
），该商品每天的利润为
y
，
y
是
x
的函数吗？填写下
表
。
2
.
怎样
写出该关系式？
每天利润
=
单件利润
×
每天销量
问题
2
单件利润（元）
每天销量（件）
每天利润（
y
元
)
降价
x
元前
降价
x
元后
100
（
10
-
8
）
×100
10-8
10-
x
-8
(10-
x
-8)(100+100
x
)
100+100
x
y
=(10-
x
-8)(100+100
x
)
即
y
=-100
x
2
+100
x
+200
(
0≤
x
≤2)
1
.
设
每件商品降低
x
元（
0≤
x
≤2
），该商品每天的利润为
y
元，
y
是
x
的函数吗？填写下表
.
2
.
怎样
写出该关系式？
得到的两个函数关系式有什么特点
?
(1)
右边都是关于
x
的整式
.
(2)
自变量
x
的最高次数是
2.
即都是自变量的二次整式！
探索
y
= -
2
x
2
+20
x
(0﹤
x
﹤10)
y
=-
100
x
2
+100
x
+200(
0≤
x
≤2)
对比一次函数归纳二次函数的
定义。
形如
y
=
ax
²+
bx
+
c
（
a
，
b
，
c
是常数，
a
≠
0
）的函数叫做
二次函数
。
提问：
2.
对于二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
中的
b
和
c
可否为
0
？若
b
和
c
各自为
0
或均为
0
，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
1
．上述概念中的
a
为什么不能是
0
？
思考：
判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为
0
。
1.
由问题
1
和
2
你认为判断二次函数的关键是什么？
2.
二次函数的一般式
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
（
a
≠
0
）与一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
（
a
≠
0
）有什么联系和区别？
联系：
(1)
等式一边都是
ax
2
＋
bx
＋
c
且
a
≠
0
；
(2)
方程
ax
2
＋
bx
＋
c
=0
可以看成是函数
y
=
ax
2
＋
bx
＋
c
中
y
=0
时得到的
.
区别
:
前者是
函数，后者
是
方程
。
等式
另一边前者是
y
,
后者是
0
。
1
、下列
函数，
哪些是二次函数？
(1)
y
=3
x
-1
（ ）
(2)
y
=3
x
2
（ ）
(3)
y
=3
x
3
+2
x
2
（ ）
(4)
y
=2
x
2
-2
x
+1
（ ）
(5)
y
=
x
-2+
x
（ ）
(6)
y
=
x
2
-
x
(1+
x
)
（ ）
×
√
知识运用
×
×
×
√
m
2
-2
m
-1=2
，
m
+1 ≠0
，
2
、
m
取何值时，
函数
是二次函数？
解
:
由
题意，得
∴
m
=3
。
第
26
章 二次函数
26.2
二次函数的图像与性质
第
1
课时
函数
y=ax²+bx+c
(a,b,c
是常数
,a
≠0)
叫做
x
的
二次函数。
什么叫二次函数
?
我们学过用什么方法画
函数的
图象
?
主要有哪些步骤
?
观察
y=
x
2
的表达式
,
选择
适当的
x
的值
,
并计算相应的
y
值
,
完成下表：
用描点法画二次函数
y=x
2
的图象
x
y=x
2
0
1
2
3
…
-1
-2
-3
…
0
1
4
9
…
1
4
9
…
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
描点
,
连线
y
=
x
2
?
观察图象
,
回答问题串
(1)
你能描述图象的形状吗
?
与同伴进行交流
.
(2)
图象是轴对称图形吗？如果是
,
它的对称轴是什么
?
请你找出几对对称点
,
并与同伴交流
.
(3)
图象 与
x
轴有交点吗？如果有
,
交点坐标是什么
?
(4)
在对称轴左侧
,
随着
x
值的增大
,
y
的值如何变化
？在
对称轴右侧呢？
(5)
当
x
取什么值时
,
y
的值最小
?
最小值是
什么？
你是如何知道的？
这条抛物线关于
y
轴对称
,
y
轴就
是
它的对称轴
.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点
.
二次函数
y
=
x
2
的
图象形如物体
抛射
时所经过的路线
,
我
们把它叫做
抛物线
.
(
１
)
二次函数
y
=-x
2
的图象是什么形状？
(2)
它与二次函数
y=x
2
的图象有什么关系？你能根据表格中的数据作出猜想吗？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-
x
2
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
y=x
2
x
0
1
2
3
…
-1
-2
-3
…
0
1
4
9
…
1
4
9
…
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点
,
连线
y
=-
x
2
抛物线
顶点
坐标
对称轴
位置
开口
方向
增减性
最值
y=x
2
y= -x
2
（
0
，
0
）
（
0
，
0
）
y
轴
y
轴
在
x
轴的上方
(
除顶点外
)
在
x
轴的下方
(
除顶点外
)
向上
向下
当
x=0
时
,
最小值为
0.
当
x=0
时
,
最大值为
0.
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而减小
.
在对称轴的右侧
, y
随着
x
的增大而增大
.
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而增大
.
在对称轴的右侧
, y
随着
x
的增大而减小
.
函数
y=ax
2
(a≠0)
的图象和
性质
１
.
顶点坐标与对称轴
２
.
位置与开口方向
３
.
增减性与最值
1.
抛物线
y=ax
2
的顶点是原点
,
对称轴是
y
轴
.
2.
当
a>0
时，抛物线
y=ax
2
在
x
轴的上方
(
除顶点外
),
它的开口向上
,
并且向上无限伸展；
当
a0
时
,
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而减小；在对称轴右侧
,y
随着
x
的增大而增大
.
当
x=0
时函数
y
的值最小
.
当
a0
时
,
抛物线
y=ax
2
在
x
轴
的上方（除顶点外）
,
它的开口向上
,
并且向上无限伸展；
当
a
0
时
,
在对称轴的左侧
,
y
随着
x
的
增大而减小；
在对称轴右侧
,
y
随着
x
的
增大而增大
.
当
x
=0
时
函数
y
的
值
最小。
当
a
0
时
，抛物线
y=ax
2
在
x
轴的上方
(
除顶点外
),
它
的开口向上
,
并且向上无限伸展；
当
a0
时
,
在对称轴的左侧
,y
随着
x
的增大而减小；在对称轴右侧
,y
随着
x
的增大而增大
.
当
x=0
时函数
y
的值最小
.
当
a0,
开口都
向上
2
x
y
O
顶点坐标
是点
(2,0)
.
直线
x=2
2
x
y
O
在对称轴
(
直线
:x=2
)
左侧
(
即
x0
时
,
抛物线在
x
轴的上方
(
除顶点外
),
它的开口向上
,
并且向上无限伸展；
当
a0
时
,
在对称轴
(x=h)
的左侧
,y
随着
x
的增大而减小
;
在对称轴
(
x=h)
右侧
,y
随着
x
的增大而增大
;
当
x=h
时函数
y
的值最小
(
是
0).
当
a0)
y=a(x-h)
2
(a0
时
,
向右平移
;
当
h0
时向上平移
;
当
k0)
y=a(x-h)
2
+k
(a0
时
,
向右平移
;
当
h0
时向上平移
;
当
k0
时
,
开口向上
,
在对称轴左侧
,y
都随
x
的增大而减小
,
在对称轴右侧
,y
都随
x
的增大而增大
. a0
a0
B.abc>0
C.a+b+c=0 D.a-b+c
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