资料简介
第
3
章 因式分解
3.1
多项式的因式分解
（
1
）
21
等于
3
乘那个数？
（
2
）
x
2
-1
等于
x
+1
乘哪个多项式？
21=3
×
7.
因为
(
x
+1 )(
x
-1 )=
x
2
-1
，
所以
x
2
-1=(
x
+1 )(
x
-1 ).
讨论
对于整数
21
于
3
，有整数
7
使得
21=3
×
7
，我们把
3
叫做
21
的
一个
因数，同理
7
也是
21
的一个因数
.
类似地，对于多项式
x
2
-1
与
x
+1
，由整式的乘法有多项式
x
-1
使得
x
2
-1=(
x
+1 )(
x
-1 )
成立，我们把多项式
x
+1
叫做
x
2
-1
的一个因式
.
同理，
x
-1
也是
x
2
-1
的一个因式
.
因式分解
一般地，对于两个多项式
f
与
g
，如果有多项式
h
使得
f
=
gh
，
那么
我们把
g
叫做
f
的一个
因式
.
此时，
h
也是
f
的一个因式
.
把
x
2
-1
写成
(
x
+1 )(
x
-1 )
的形式叫做把这个多项式因式分解
.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式
因式分解
.
为什么要把一个多项式因式分解呢？
每一个大于
1
的正整数都能表示成若干个素（质）数的乘积的形式
.
如
：
12=2
×
2
×
3
，
30=2
×
3
×
5.
根据这两个式子，很容易看出
12
和
30
的最大公因数为
2
×
3=6
，进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以
6
，得 同样地，每一个多项式可以表示成若干个基本的多项式乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁
.
例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解
.
思考
【例
1
】下列各式由左边到右边的边形，哪些是因式分解
，哪些
不是，为什么？
（
1
）
a
2
+2
ab
+
b
2
=(
a
+
b
)
2
；
（
2
）
m
2
+
m
-4=(
m
+3 )(
m
-2 )+2.
解：（
1
）是
.
因为从左边到右边是把多项式
a
2
+2
ab
+
b
2
表示成了
a
+
b
与
a
+
b
乘积的形式
.
（
2
）不是
.
因为
(
m
+3 )(
m
-2 )+2
不是几个多项式乘积的形式
.
【例
2
】检验下列因式分解是否正确
.
（
1
）
x
2
+
xy
=
x
(
x
+
y
)
；
（
2
）
a
2
-5
a
+6=(
a
-2)(
a
-3)
；
（
3
）
2
m
2
-
n
2
=( 2
m
-
n
)( 2
m
+
n
).
解：（
1
）因为
x
(
x
+
y
)=
x
2
+
xy
，所以（
1
）正确；
（
2
）因为
(
a
-2 )(
a
-3 )=
a
2
-5
a
+6
，所以（
2
）正确；
（
3
）因为
( 2
m
-
n
)( 2
m
+
n
)=4
m
2
-
n
2
≠2
m
2
-
n
2
，
所以
（
3
）不正确
.
1.
求
4
，
6
，
14
的最大公因数
.
答案：
2.
练习
2.
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解
，
哪些不是
，为什么？
（
1
）
(
x
+1 )(
x
+2 )=
x
2
+3
x
+2
；
（
2
）
2
x
2
y
+4
xy
2
=2
xy
(
x
+2
y
)
；
（
3
）
x
2
-2=(
x
+1 )(
x
+1 )-1
；
（
4
）
4
a
2
-4
a
+1=( 2
a
-1 )
2
.
答案：（
1
）、（
3
）不是因式分解；（
2
）、（
4
）是因式分解
.
3.
检验下列因式分解是否正确
.
（
1
）
-2
a
2
+4
a
=-2
a
(
a
+2 )
；
（
2
）
x
3
+
x
2
+x=
x
（
x
2
+
x
）；
（
3
）
m
2
+3
m
+2= (
m
+1 )(
m
+2 )
答案：（
1
）、（
2
）不正确；（
3
）正确
.
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
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3.2
提公因式法
第
3
章 因式分解
下列每个式子含字母的因式有哪些？
xy
，
xz
，
xw
.
xy
的因式有
x
，
y
，
…
xz
的因式有
x
，
z
，
…
xw
的因式有
x
，
w
，
…
讨论
几个多项式的公共的因式称为它们的
公因式
.
如何把多项式
xy
+
xz
+
xw
因式分解？
把乘法分配律从右到左地
使用
,
使得
xy
+
xz
+
xw
=
x
(
y
+
z
+
w
).
像右边那样，如果一个
多项式的各项有公因式，
可以把这个公因式提到
括号外面，这种把多项式
因式分解
的方法叫做
提公因式法
.
【例
1
】把
5
x
2
-3
xy
+
x
因式分解
.
解：
5
x
2
-3
xy
+
x
=
x
( 5
x
-3
y
+1 ).
【例
2
】把
4
x
2
-6
x
因式分解
.
解：
4
x
2
-6
x
=2
x
( 2
x
-3 ).
【例
3
】把
8
x
2
y
4
-12
xy
2
z
因式分解
.
解：
8
x
2
y
4
-12
xy
2
z
=( 4
xy
2
)
·
2
xy
2
-( 4
xy
2
)
·
3
z
=4
xy
2
( 2
xy
2
-3
z
).
1.
说出下列多项式中各项的公因式：
（
1
）
-12
x
2
y
+18
xy
-15
y
； （
2
）π
r
2
h
+
π
r
3
；
（
3
）
2
x
m
y
n
-1
-4
x
m
-1
y
n
（
m
，
n
均为大于
1
的整数）
.
答案：（
1
）
3
y
；（
2
）π
r
2
；（
3
）
2
x
m-1
y
n-1
.
练习
2.
在下列括号内填写适当的多项式：
（
1
）
3
x
3
-2
x
2
+
x
=
x
（ ）；
（
2
）
-30
x
3
y
2
+48
x
2
yz
=-6
x
2
y
（ ）
.
3
x
2
-2
x
+1
5
xy
-6
z
3.
把下列多项式因式分解：
（
1
）
3
xy
-5
y
2
+
y
；
（
2
）
-6
m
3
n
2
-4
m
2
n
3
+10
m
2
n
2
；
（
3
）
4
x
3
yz
2
-8
x
2
yz
4
+12
x
4
y
2
z
3
.
答案：（
1
）
y
(
3
x
-5
y
+1 )
；（
2
）
2
m
2
n
2
( -3
m
-2
n
+5 )
；
（
3
）
4
x
2
yz
2
(
x
-2
z
2
+3
x
2
yz
).
下列多项式中各项的公因式是什么？
（
1
）
2
am
(
x
+1 )+4
bm
(
x
+1 )+8
cm
(
x
+1 )
；
（
2
）
2
x
( 3
a
-
b
)-
y
(
b
-3
a
).
2
am
(
x
+1 )
，
4
bm
(
x
+1 )
与
8
cm
(
x
+1 )
的公因式是
2
x
(
x
+1
).
b
-3
a
可以看做
-( 3
a
-
b
)
，所以
2
x
( 3
a
-
b
)
与
y
(
b
-3
a
)
的公因式是
3
a
-
b
.
讨论
【例
4
】把下列多项式因式分解：
（
1
）
x
(
x
-2 )-3(
x
-2 )
；
（
2
）
x
(
x
-2 )-3(
2
-
x
)
；
解：
（
1
）
x
(
x
-2 )-3(
x
-2 )
= (
x
-2 )(
x
-3 ).
（
2
）
x
(
x
-2 )-3( 2-
x
)
；
=
x
(
x
-2 )+3(
x
-2 )
= (
x
-2 )(
x
+3 ).
【例
5
】把
(
a
+
c
)(
a
-
b
)
2
-(
a
-
c
)(
b
-
a
)
2
因式分解
.
解：
(
a
+
c
)(
a
-
b
)
2
-(
a
-
c
)(
b
-
a
)
2
= (
a
+
c
)(
a
-
b
)
2
-(
a
-
c
)(
b
-
a
)
2
= (
a
-
b
)
2
[(
a
+
c
)-(
a
-
c
)]
= (
a
-
b
)
2
-(
a
+
c
-
a
+
c
)
= 2
c
(
a
-
b
)
2
.
【例
6
】把
12
xy
2
(
x
+
y
)-18
x
2
y
(
x
+
y
)
因式分解
.
解：
12
xy
2
(
x
+
y
)-18
x
2
y
(
x
+
y
)
= 6
xy
(
x
+
y
)( 2
y
-3
x
).
把下列多项式因式分解：
（
1
）
y
(
x
-
y
)+
x
(
x
-
y
)
；
（
2
）
y
(
x
-
y
)+
x
(
y
-
x
)
；
（
3
）
a
(
x
-
y
)
2
-
b
(
y
-
x
)
2
；
（
4
）
4
a
2
b
(
a
-
b
)-6
ab
2
(
a
-
b
).
答案：（
1
）
(
x
-
y
)(
x
+
y
)
； （
2
）
-(
x
-
y
)
2
；
（
3
）
(
x
-
y
)
2
(
a
-
b
)
；（
4
）
2
ab
(
a
-
b
)( 2
a
-3
b
).
练习
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
第
3
章 因式分解
3.3
公式法
如何把
x
2
-25
因式分解？
我们学过平方差公式
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
，把这个乘法公式从右到左地使用，得
a
2
-
b
2
=(
a
+
b
)(
a
-
b
).
因此
x
2
- 25 =
x
2
- 5
2
= (
x
+5
)(
x
-5
).
a
2
-
b
2
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用，就可以把某些形式的多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做
公式法
.
思考
【例
1
】把
25
x
2
-4
y
2
因式分解
.
解：
25
x
2
-4
y
2
=(
5
x
)
2
-
(
2
y
)
2
=( 5
x
+2
y
)( 5
x
-2
y
).
【例
2
】把
(
x
+
y
)
2
- (
x
-
y
)
2
因式分解
.
解：
(
x
+
y
)
2
- (
x
-
y
)
2
= [(
x
+
y
)+(
x
-
y
)][(
x
+
y
) - (
x
-
y
)]
= 2
x
·
2
y
= 4
xy
.
【例
3
】把
x
4
-
y
4
因式分解
.
解：
x
4
-
y
4
= (
x
2
)
2
- (
y
2
)
2
= (
x
2
+
y
2
)(
x
2
-
y
2
)
= (
x
2
+
y
2
) (
x
+
y
) (
x
-
y
).
在因式分解时，必须进行到
每一个因式都不能分解为止
.
【例
4
】把
x
3
y
2
-
x
5
因式分解
.
解：
x
3
y
2
-
x
5
=
x
3
(
y
2
-
x
2
)
=
x
3
(
y
+
x
)(
y -
x
).
1.
填空
（
1
）
9
y
2
=( )
2
； （
2
）
=( )
2
；
3
y
2.
把下列多项式因式分解：
（
1
）
9
y
2
-4
x
2
； （
2
）
(
x
+
y
)
2
-(
y
-
x
)
2
；
（
3
）
x
4
-16
； （
4
）
a
3
-
ab
2
.
答案：（
1
）
( 3
y
+2
x
)( 3
y
-2
x
)
；（
2
）
4
xy
；
（
3
）
(
x
2
+4 )(
x
+2 )(
x
-2 )
；（
4
）
a
(
a
+
b
)(
a
-
b
).
练习
3.
计算：
（
1
）
49.6
2
-50.4
2
（
2
）
13.3
2
-11.7
2
答案：（
1
）
-80
；（
2
）
40.
4.
手表表盘的外圆直接为
D
=3.2cm
，内院直接
d
=2.8cm
，在外圆与内
圆直径
之间涂有防水材料
.
试求涂上防水材料的圆环的面积（结果保留π）
.
怎样
计算较简便？
答案：
0.6
π
cm
2
.
你能将多项式
a
2
+2
ab
+
b
2
或
a
2
-2
ab
+
b
2
进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
，
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
，把这个乘法公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解
.
例如，
x
2
+4
x
+4=
x
2
+ 2
·
x
·
2 + 2
2
= (
x
+2 )
2
.
思考
【例
5
】把
9
x
2
-6
x
+1
因式分解
.
解：
9
x
2
-6
x
+1
= ( 3
x
)
2
-2
·
( 3
x
)
·
1+1
2
= ( 3
x
+1 )
2
.
【例
6
】把
-4
x
2
+12
xy
-9
y
2
因式分解
.
解：
-4
x
2
+12
xy
-9
y
2
=
-(
4
x
2
-12
xy
+9
y
2
)
= -[( 2
x
)
2
-2
·
2
x
·
3
y
+( 3
y
)
2
]
= -( 2
x
-3
y
)
2
.
【例
7
】把
a
4
+2
a
2
b
+
b
2
因式分解
.
解：
a
4
+2
a
2
b
+
b
2
= (
a
2
)
2
+2
·
a
2
·
b
+
b
2
= (
a
2
+
b
)
2
.
【例
8
】把
x
4
-2
x
2
+1
因式分解
.
解：
x
4
-2
x
2
+1
= (
x
2
)
2
-2
·
x
2
·
1+1
2
= (
x
2
-1 )
2
=(
x
+1 )
2
(
x
-1 )
2
.
1.
填空（若某一栏不适用，填入
“
不适用
”
）：
多项式
能否表示成
(
a
+
b
)
2
或
(
a
-
b
)
2
的形式
a
，
b
各表示什么？
x
2
-10
x
+25
x
2
+2
x
+4
1+
y
+0.25
y
2
4
x
2
-12
xy
+9
y
2
能
a
表示
x
，
b
表示
5.
不适用
能
a
表示
1
，
b
表示
0.5
y
.
能
a
表示
2
x
，
b
表示
3
y
.
练习
2.
把下列多项式因式分解：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
（
4
）
答案：（
1
）
； （
2
）
( 4
y
-3
)
2
；
（
3
）
；（
4
）
3
x
2
(
x
+
y
2
)
2
.
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