资料简介
第
5
章 轴对称与旋转
5.1
轴对称
5.1.1
轴对称图形
下列图形有什么共同的特征？
观察
像这样，对折后两边能够完全重合的图形就是
轴对称图形
.
这条直线（折痕）就是
对称轴
.
轴对称图形
0
c
下列图形哪些是轴对称图形，如果是轴对称图形，找出它们的对称轴
.
观察
哪些图形是轴对称图形？各有几条对称轴？
思考
长方形有两条对称轴
正方形有四条对称轴
圆有
无数条对称轴
……
等腰三角形有一条对称轴
不是轴对称图形
不是轴对称图形
不是轴对称图形
1.
找出下列各图形的对称轴
.
练习
通过本节
课
，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
我思
我
进步
5.1.2
轴对称
变换
如图，用印章在一张纸上盖一个印（
a
），趁印迹未干之时
，将
纸张沿着直线
l
对折，得到印（
b
），随后打开，观察图形（
a
）与图形（
b
）有怎样的关系
.
(
a
)
(
b
)
观察
把图形
(
a
)
沿着直线
l
翻折并将图形“复印”下来得到图形
(
b
)
，就叫做该图形关于直线
l
作了
轴对称变换
，
也叫
轴反射
.
图形
(
a
)
叫做
原像
，图形
(
b
)
叫做图形
(
a
)
在这个轴反射下的
像
.
(
a
)
(
b
)
如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
关于这条直线对称，
也称这两个图形成
轴对称
.
这条直线叫做
对称轴
.
原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的
对应点
.
(
a
)
(
b
)
上图中，对称轴
l
两边的图形
(
a
)
与
(
b
)
的形状和大小发生变化了吗？
轴对称变换具有下述性质：
例如：长度、角度和面积等都不改变
.
上图中，两图形的形状和大小均没有发生改变
.
轴对称变换不改变图形的形状与大小
.
讨论
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“
14”
这个数字，将纸打开后铺平：
上图中，两个“
14”
有什么关系？
关于直线
m
成轴对称
m
讨论
对应线段：相等
线段
AB
与
A
′
B
′
，
CD
与
C
′
D
′
，
CE
与
C'E'
，
DF
与
D'F'
有什么关系？
m
打开
∠
1
与∠
2
有什么关系？∠
3
与∠
4
呢？
对应角：相等
打开
m
如果连接
C
、
C
′
，
F
、
F
′
那么所构造的线段与直线
m
有什么关系？
对应点所连接的线段被对称轴垂直平分
打开
m
轴对称的性质
1.
对应点的连线被对称轴垂直平分
2.
对应线段相等，对应角相等
如图，
AD
为 △
ABC
的高，∠
B
＝
2∠
C
，借助于轴对称的性质想一想：
CD
与
AB
＋
BD
相等吗？请说明你的理由
.
练习
答：相等，理由如下：
在
DC
上截取
DE
使
DE
＝
DB
，连接
AE
∵
AD
⊥
BE
且
DB
＝
DE
∴
B
、
E
关于
AD
对称
∴△
ABD
与△
AED
关于直线
AD
对称
∴ △
ABD
≌
△
AED
∴
AB
＝
AE
，∠
AED
＝ ∠
B
又∵ ∠
B
＝
2 ∠
C
∴ ∠
AED
＝
2 ∠
C
而∠
AED
＝ ∠
C
＋ ∠
CAE
∴ ∠
CAE
＝ ∠
C
∴
AE
＝
CE
∴
AB
＝
CE
故
AB
＋
BD
＝
DE
＋
EC
即：
AB
＋
BD
＝
CD
通过本节
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，你有
什么
收获？
你还存在哪些疑问，和同伴交流。
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我
进步
第
5
章 轴对称与旋转
5.2
旋转
如图
,
观察钟表的指针，电风扇的叶片，汽车的雨刮器
在转动
的过程中有什么共同的特征
.
钟表的指针绕中间的固定点旋转，电风扇的叶片绕电机的轴旋转，汽车的雨刮器绕支点旋转
.
思考
将一个平面图形
F
上的每一个点，绕这个平面内一定点
O
旋转
同一个角
α
，（即把图形
F
上每一个点与定点的连线绕
定点
O
旋转角
α
），得到图形
F'
，如图，图形的这种变换叫做
旋转
.
这个定点
O
叫
旋转中心
，角
α
叫做
旋转角
.
原位置的图形
F
叫做
原像
，新位置的图形
F'
叫做图形
F
在旋转下的
像
.
图形
F
上的每一个点
P
与它在旋转下的像点
P'
叫做在旋转下的
对应点
.
旋转的决定因素：
旋转中心和旋转角度
(
旋转方向
).
垂直的定义
一般地，旋转具有下述性质：
A'
B'
C'
A
B
C
O
.
.
P '
P
60º
一个图形和它经过旋转所得到的图形中， 对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等
.
观察右图△
ABC
旋转到△
A'B'C'
位置时，形状和大小是否发生改变
.
旋转不改变图形的形状和大小
.
【例】如图，将三角形
ABC
按逆时针方向旋转
45º
，得到
三角形
AB'C'
.
（
1
）图中哪一点是旋转中心？
（
2
）
∠
B'CB
和
∠
C'AC
有何关系？它们的度数是多少
？（
3
）
AB
与
AB'
，
AC
与
AC'
有何关系？
解：（
1
）点
A
是旋转中心
.
（
2
）
B
与
B'
，
C
与
C'
是对应点
.
因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以
∠
B'AB
=∠
C'AC
=45º.
（
3
）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以
AB
=
AB'
，
AC
=
AC'
.
1.
如图
,
此图案可看成是由图中的哪个基础图形经过怎样的变换而得到
?
解：由左图旋转
4
次可得；
（方法不唯一）
练习
A
B
O
A
B
O
2.
如图，将直角三角形
ABO
绕点
O
顺时针旋转
90º
， 作出旋转后的直角三角形
.
解：以
O
点为旋转中心可得，如图：
1
、相同：
2
、不同
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
平移和旋转的异同：
都是一种运动；运动前后
不改变
图形的
形状和大小
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第
5
章 轴对称与旋转
5.3
图形变换的简单应用
图（
1
）是由正方形图案 作平移得到的
.
欣赏图案
，说出
它分是
由哪个基础图形经过怎样
的变换
得到的，在图中把基础图形标出来
.
（
1
）
观察
【例
】
以图的右边缘所在的直线为轴，将该图形向右
作轴对称
变换，再绕中心
O
按顺时针方向旋转
180°
，所得到
的图形
是（
）
【分析】将图以右边缘所在的直线为轴作轴对称变换，得到图 ，
A
再绕中心
O
按顺时针方向旋转
180°
，得到图
.
1.
下图中只能用其中一部分平移可以得到的是（ ）
.
B
D
A
B
C
2
、当一个字母
F
旋转
90
度或
180
度时，其中旋转
后位置正确的是（ ）
A
B
C
D
C
练习
生活中的图形变换现象
数学问题
图形变换的规律
实际问题
转化
依据
解决
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