资料简介
27.2.1 相似三角形的判定（第 1 课时）
自主预习
1. 在△ABC 和△A′B′C′中，若∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∠C=∠C′, AB BC AC
A B B C A C
，
则△ABC∽△A′B′C′，若 AC=3 A′C′, 则△ABC 与△A′B′C′的相似比
是 ，
△A′B′C′与△ABC 的相似比是 ，
2．如图，直线 l1∥l2∥l3.直线 AC 交 l1，l2，l3 于点 A，B，C，直线 DF 交 l1，l2，
l3 于点 D，E，F，已知AB
AC
＝1
3
，则 AB
BC = , DE
EF = , EF
DE
＝ .
2 题图 3 题图 4 题图
3．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC，若 BD＝2AD，
则( )
A . AD
AB
＝1
2 B．AE
EC
＝1
2 C. AD
EC
＝1
2 D．DE
BC
＝1
2
4．如图，若△ADE∽△ACB，且AD
AC
＝2
3
，DE＝10，则 CB＝ .
5．如图，已知直线 l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求 DE 和 EF 的长．
5 题图
互动训练
知识点一：平行线分线段成比例
1．如图，AD∥BE∥CF，直线 a，b 与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和点 D、
E、F，若 AB=2，AC=6，DE=1.5，则 DF 的长为（ ）
A．7.5 B．6 C．4.5 D．3
1 题图 2 题图 3 题图
2．如图，在△ABC 中，DE∥AB，且 CD
BD
＝ 3
2
，则 CE
CA
的值为（ ）
A． 3
5 B． 2
3 C． 4
5 D． 3
2
3．如图，在△ABC 中，DE∥BC，下列各式不正确的是（ ）
A． AD AE
AB AC
B． AD AE
BD CE
C． AD AE
AC AB
D． AD AB
AE AC
4．如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确
的是（ ）
A． AD AE
BD AC
B． DE AE
BF AC
C． AD AE
AB AC
D． AD DF
BD AC
4 题图 5 题图
5．如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交
AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． AE CF
AB CD
B． AE DF
EB FC
C． EG FG
BD AC D． AE AD
AG AB
6．如图，在 6×6 的菱形网格中，连结两网格线上的点 A，B，线段 AB 与网格线
的交点为 M，N，则 AM︰MN︰NB 为（ ）
A．3︰5︰4 B．1︰3︰2 C．1︰4︰2 D．3︰6︰5
6 题图 7 题图
7. 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 上一点，且 AE︰ED=1︰2，BE 的延长
线交 AC 于 F，则 AF︰FC=（ ）
A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5
8．如图，已知 AB∥MN，BC∥NG，求证：OA
OM
＝OC
OG.
8 题图
9．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，联结 AE 并延长交 DC
的延长线于点 M，交 BD 于点 G，过点 G 作 GF∥BC 交 DC 于点 F， 3
2
DF
FC
．
（1）若 BD=20，求 BG 的长；
（2）求 CM
CD
的值．
9 题图
10．已知：平行四边形 ABCD，E 是 BA 延长线上一点，CE 与 AD、BD 交于 G、
F．
求证：CF2=GF·EF．
10 题图
知识点二：平行于三角形一边的直线所截三角形与原三角形相似
11．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是( )
A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对
11 题图 12 题图 13 题图
12.如图,过梯形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 作 EF∥AD, 分别交两腰 AB、
DC 于 E、F 两点，则图中的相似三角形共有( )
A.7 对 B.6 对 C.5 对 D.4 对
13. 如图, 正方形 ABCD 内接于等腰三角形 PQR，则 PA∶PQ 等于( )
A.1∶ 2 B.1∶2 C.1∶3 D.2∶3
14．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于
点 F，则 EF∶FC 等于( D)
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
14 题图 15 题图 16 题图
15．如图，在△ABC 中，DE∥BC，且 AD＝2，DB＝3，则DE
BC
＝ ．
16. 如图，AB、CD 相交于点 O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD. EF 是△ODB 的中
位线，且 EF＝2，则 AC 的长为 ．
17．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 AB 延长线上一点，AB＝3BE，DE 与
BC 相交于点 F，请找出图中各对相似三角形及其相似比．
17 题图
18．已知△OAC∽△OBD，且 OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：
(1)△OAC 与△OBD 的相似比；
(2)BD 的长．
18 题图
19．如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交 DE 的延长线于点 F.
若 AD＝1，BD＝2，BC＝4，求 EF.
19 题图
20．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和 BC 是两根互相平行的固定架，
DE＝10 m，BC＝18 m，小明从底部固定点 B 开始攀登，攀行 8 米，遇上第二个
固定点 D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部 A?
20 题图
课时达标
1．如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 边上，DE∥BC，EF∥AB，
则下列比例式中错误的是（ ）
A． CE EA
CF BF
B． AE BF
EC FC
C． AD AB
BF BC
D． EF DE
AB BC
1 题图 2 题图 3 题图
2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上一点，连结 CE 并延长交 BA 的延
长线于点 F，则下列结论中错误的是 ( )
A．∠AEF=∠DEC B．AB=DC
C．FA︰AB=FE︰EC D．FA︰CD=AE︰BC
3．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则 AC 的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=12，AD=8，∠ABC 的平分线交 CD 于点
F，交 AD 的延长线于点 E，CG⊥BE，垂足为 G，若 EF=2，则线段 CG 的长为
（ ）
A．15
2 B． 4 3 C． 2 15 D． 55
4 题图 5 题图 6 题图
5．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，BC= 6 2 ，点 D 是 CB 延长线上一
点，过 AB 的中点 E 作 CD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 F，
则 DF 的长为( )
A． 2 2 B．4 C．3 D．3 2
6．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是( )
A . AD
AC
＝AE
AB
＝DE
BC B . AD
AB
＝AE
AC
C. AD
AE
＝AC
AB
＝DE
BC D . AE
EC
＝DE
BC
7．如图，AB∥CD∥EF．若 AD︰AF=3︰5，BC=6，则 CE 的长为_________．
7 题图 8 题图
8．如图，l1//l2//l3，直线 a、b 与 l1、l2、l3 分别交于点 A、B、C 和点 D、E、F，
若 BC＝2AB，AD＝2，CF＝6，则 BE 的长为_____．
9. 如图,在△ABC 中, DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于 D、E,若 AD=4, DB=2，
求 DE︰BC 的值.
9 题图
10. 如图，小明从路灯下向前走了 5 米，发现自己在地面上的影子长 DE 是 2 米，
如果小明的身高为 1.6 米，那么路灯离地面的高度 AB 为多少米？
10 题图
11．如右图，△ABC 中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2 =AB·AD
11 题图
12．如图，延长正方形 ABCD 的一边 CB 至点 E，ED 与 AB 相交于点 F，过点 F
作 FG∥BE 交 AE 于点 G，求证：GF＝FB.
12 题图
13．如图，AD∥EG∥BC，EG 分别交 AB，DB，AC 于点 E，F，G，已知 AD＝
6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求 EG，FG 的长．
13 题图
拓展探究
1．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别为 AB、AC 的中点，连接 DE，线段 BE、
CD 相交于点 O，
（1）求 OD
OC
和 OE
OB
的值？
（2）若连结 AO 并延长交 BC 于 F 点，那么 OF
OA
的值是多少？
1 题图
2．如图，在△ABC 中，DE 分别是 BC、AC 边上的两点，AD、BE 相交于点 G，
已知 AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求 AE∶EC 的值？
2 题图
27.2.1 相似三角形的判定（第 1 课时）答案
自主预习
1. 3, 1
3
2. 1
2 , 1
2 , 2.
3. B.
4. 15. 解析：∵△ADE∽△ACB，AD
AC
＝2
3
，∴ AD DE
AC BC
,即 10 2
3BC
, BC=15.
5. 解：∵直线 l1∥l2∥l3，∴ AB DE
AC DF
,即 3 =3 5 16
DE
,
∴DE=6, EF=DF-DE=16-6=10. ∴DE=6, EF=10.
互动训练
1. C. 解析：∵AD∥BE∥CF，∴ AB DE
AC DF
.
又∵AB=2，AC=6，DE=1.5，∴DF= 6 1.5 4.52
. 故选 C.
2. A. 解析：∵DE//AB，∴ 3
2
CE CD
AE BD
∴ CE
CA
的值为 3
5
．故答案为 A．
3. C. 解析：∵ //DE BC ,∴ AD AE
BD CE
， AD AE
AB AC
，即 AD AB
AE AC
，，
∴选项 A、B、D 均正确，故选：C．
4. C. 解析：A.由已知有 AD AE
BD EC
，所以错误；B.由已知有 DE AE
BF DF
，所以错
误；
C.由已知有 AD AE
AB AC
，所以正确；D.由已知有 BD DF
BA AC
，所以错误．故选 C．
5. A. 解析：∵GE∥BD，∴ AE AG
AB AD
∵GF∥AC，∴ CF AG
CD AD
∴ AE CF
AB CD
，
∴A 选项正确；
∵GE∥BD，∴ AE AG
EB GD
∵GF∥AC，∴ AG CF
GD FD
∴ AE CF
EB FD
，B 选项错误；
∵GE∥BD，∴ EG AG
BD AD
∵GF∥AC，∴ GF DG
AC AD
∴ EG GF
BD AC
，C 选项错误；
∵GE∥BD，∴ AE AB
AG AD
，D 选项错误故选：A
6. B. 解析：如图，∵AE∥MF∥NG∥BH，
∴AM︰MN︰BN=EF︰FG︰GH=1︰3︰2,故选：B．
6 题图 7 题图
7. C. 解析：作 DH∥BF 交 AC 于 H，∵AD 是△ABC 的中线，
∴FH=HC，∵DH∥BF，∴ 1
2
AF AE
FH ED
，∴AF︰FC=1︰4，故选：C．
8．证明：∵AB∥MN，∴OA
OM
＝OB
ON.
又∵BC∥NG，∴OB
ON
＝OC
OG
，∴OA
OM
＝OC
OG.
9. 解：（1）∵GF∥BC，∴ DF DG
FC BG
，∵BD=20， 3
2
DF
FC
，∴BG=8；
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∴ DM DG
AB BG
，∴ 3
2
DM
AB
，∴ 3
2
DM
CD
，∴ 1
2
CM
CD
.
10. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．
∴ GF DF
CF BF
， CF DF
EF BF
∴ GF CF
CF EF
，即 CF2=GF·EF．
11. C. 解析：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC. 共有 3 对，
故选 C.
12. C. 解析：△ADB∽△EOB, △ABC∽△AEO, △ADC∽△OFC,
△DBC∽△DOF, △AOD∽△CDB. 共有 5 对，故选 C.
13. C. 解析：∵ △PAD∽△PQR， ∴
QR
AD
PQ
PA .
又∵QR=QB+BC+CR=3AD, ∴C 正确. 答案：C
14. D. 解析：在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，∴AD=2DE, 又
AD=BC,
∴BC=2DE, 又∵AD∥BC, ∴△DEF∽△BCF,∴ EF∶FC=DE∶BC=1︰2. 故
选 D.
15. 2
5 . 解析：在△ABC 中，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，∴AD︰AB=2︰5,
又∵△ADE∽△ABC, ∴DE︰BC=AD︰AB=2︰5.
16. 8
3 . 解析：∵EF 是△ODB 的中位线，EF＝2，∴BD=2EF=4,
∵AC∥BD, ∴△AOC∽△BOD, ∴AC ︰ BD=OC ︰ OD, 即 AC ︰ 4=2 ︰ 3,
∴AC= 8
3 .
17. 解：根据平行四边形性质得出 DC∥AB，AD∥BC，
由 DC∥AB，得△DFC∽△EFB.
由 AB＝3BE，AB＝CD，得BE
CD
＝1
3.
由 AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA.
由 AB＝3BE，得CD
AE
＝3
4.
18. 解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴线段 OA 与线段 OB 是对应边．
∴△OAC 与△OBD 的相似比为OA
OB
＝4
2
＝2
1.
(2)∵△OAC∽△OBD，∴AC
BD
＝OA
OB.
∴BD＝OB·AC
OA
＝2×2
4
＝1.
19. 解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，
∵BF 平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，
∴∠DFB=∠DBF，∴DF=DB=2，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC,
∴DE︰BC=AD︰AB, ∴DE︰4=1︰3,
∴DE= 4
3 , ∴EF=DF-DE=2- 4
3 = 2
3 .
20. 解：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∴AD
AB
＝DE
BC
，即 AD
AD＋8
＝10
18. ∴AD＝10.
答：小明再攀行 10 米可到达这个攀登架的顶部 A.
课时达标
1. D. 解析：A．∵EF//AB，∴ CE CF
EA BF
，∴ CE EA
CF BF
，故本选项正确；
B．∵EF//AB，∴ AE BF
EC FC
，故本选项正确；
C．∵DE//BC，∴ AD DE
AB BC
，∵EF//AB，∴DE=BF，∴ AD BF
AB BC
，∴ AD AB
BF BC
，
故本选项正确；
D．∵EF//AB，∴ EF CF
AB BC
，∵CF≠DE，∴ EF DE
AB BC
，故本选项错误；故选：
D．
2. D. 解析：∵DC∥AB，∴△DCE∽△AFE．∴ FA AE
CD DE
，故结论 D 错误．
∵AE∥BC，∴ AB EC
FA FE
，即 FA︰AB=FE︰EC，故结论 C 正确，
而 A、B 正确，∴应选 D．
3. C. 解析：∵DE∥BC，∴ AD AE
DB EC
，即 9
3 2
AE ，∴AE=6，
∴AC=AE+EC=6+2=8．故选 C．
4. C. 解析：∵∠ABC 的平分线交 CD 于点 F，∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，
∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴ DE EF
AE EB
，∴ 4 2
12 EB
，∴EB=6，
∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG= 1
2 BF=2，在 Rt△BCG 中，BC=8，BG=2，
根据勾股定理得，CG= 2 2BC BG = 2 28 2 =2 15 ，故选 C．
5. C. 解析：如图 延长 FE 与 AC 交于点 M，
5 题图
∵FE∥BC，∴EM∥BC，又∵E 点为 AB 的中点，∴ 1
2
BE MC
AB AC
∵∠A=90°，AB=AC，BC= 6 2 ∴ 2 2 2 22 72AB AC AB BC
∴AB=AC=6，∴ 1 32MC AC ，
∵DF∥AC，FM∥CD，∴四边形 FDCM 为平行四边形，
∴FD=MC=3，故答案为 C.
6. A. 解析：相似三角形的对应边成比例，注意这里的“对应”，只有 A 正确.
7. 4. 解析：如图，连接 AE 交中间的直线于点 G，
根据平行线分线段成比例的定理，有 AD AG BC
AF AE BE
，则 3 6
5 BE
，解得 BE=10，
∴ 10 6 4CE BE BC ．故答案是：4．
7 题图 8 题图
8. 10
3
．解析：如图所示，过 A 作 DF 的平行线，交 BE 于 G，交 CF 于 H，
则 AD＝GE＝HF＝2，CH＝6﹣2＝4，
∵BG//CH，∴ AB
AC
＝ BG
CH
，即 1
3
＝
4
BG ，∴BG＝ 4
3
，
∴BE＝BG+GE＝ 4
3 +2＝10
3
，故答案为：10
3
．
9. 解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ AD DE
AB BC ，∴ 4 2
6 3
DE
BC
10. 解:∵DC∥AB， ∴△DCE∽△ABE，
∴ DC DE
AB AE ， ∴ 1.6 2
2 5AB ， ∴AB=5.6，
答:路灯离地面的高度为 5.6 米.
11. 证明：∵DG∥EC，∴ AD AG
AE AC
∵EG∥BC，∴ AG AE
AC AB
，∴ AD AE
AE AB
， ∴AE2 =AB·AD
12. 证明：∵GF∥AD，∴GF
AD
＝EF
ED.
又 FB∥DC，∴FB
DC
＝EF
ED.
又 AD＝DC，∴GF
AD
＝FB
AD. ∴GF＝FB.
13. 解：∵在△ABC 中，EG∥BC，
∴ △AEG∽△ABC.
∴EG
BC
＝AE
AB. ∴EG
10
＝3
5.∴EG＝6.
∵在△BAD 中，EF∥AD，
∴ △BEF∽△BAD. ∴EF
AD
＝BE
AB.
∴EF
6
＝5－3
5 . ∴EF＝12
5 . ∴FG＝EG－EF＝18
5 .
拓展探究
1. 解：（1）∵D、E 分别为 AB、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE∥BC, DE= 1
2 BC. ∴△DOE∽△BOC, ∴ OD
OC = OE
OB = DE
BC = 1
2
（2）根据（1）中的证明可知， OF
OA = 1
2
2. 解：过点 D 作 DF∥BE 交 AC 于点 F.
∵AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，
∴AG∶GD = AE∶EF=4∶1， BD∶DC＝EF∶FC＝2∶3，
∴AE∶EF=4∶1，EF∶FC＝2∶3，
∴AE∶EF∶FC＝8∶2∶3，
∴AE∶EC＝8∶5.
2 题图
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