资料简介
人教版 数学 九年级 下册
导入新知
导入新知
导入新知
我们刚才所见到的图形有什么联系？
其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到的.
导入新知
3.能根据多边形相似进行相关的计算。
1.了解相似图形和相似比的概念.
2.理解相似多边形的定义.
素养目标
全等图形
指能够完全重合的两个图形，
观察
即它们的形状和大小完全相同。
探究新知
知识点 1
黄山松
天坛
观察两张黄山松、
两张天坛的照片
有什么特点?
探究新知
【思考】这两张中国地图的照片有什么关系?
探究新知
【想一想】我们刚才所见到的图形有什么
相同和不同的地方?
相同点：
不同点：
形状相同．
大小不同．
探究新知
两个图形的形状 ________，但图形的
大小位置 __________，这样的图形叫做相似
图形。
完全相同
不一定相同
探究新知
归纳总结
图形的放大
探究新知
图形的放大
探究新知
图形的缩小
两个图形相似
探究新知
两个图形相似，其中一个图形可以
看作由另一个图形放大或缩小得到。
相似图形的关系
探究新知
【思考】你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪
一个与你本人相似？
探究新知
1.在下列图形中，找出相似图形.
巩固练习
下图是两个等边三角形，它们相似吗?它们的对应角、
对应边分别有什么关系?
B C
A
B′ C
A ′
′
∠A= ∠A′ ∠B= ∠B′ ∠C= ∠C′
CA
AC
CB
BC
BA
AB
两个等边三角形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
探究新知
观
察
与
思
考
知识点 2
【思考】下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的
对应角、对应边分别有什么关系?
两个正六边形相似,它们的对应角相等,对应边成比例.
从上述两个问题的探索中你能得到什么结论?
两个边数相等的正多边形相似,且对应角相等、对
应边成比例.
探究新知
任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗?对
应边成比例吗?
【结论】任意两个相似三角形,它们的对应角相等!对
应边成比例!
探究新知
图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对
应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？
【结论】任意两个相似多边形,它们的对应角相等!对应边
成比例!
探究新知
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
探究新知
【思考】任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
探究新知
例1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角α，β的大
小和EH的长度 x.
D
A
B C
18
21
78° 83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
探究新知
素养考点 1 利用相似多边形的定义求线段、角的值
在四边形ABCD中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
D
A
B C
18
21
78° 83°
β 24
G
E
F
H
α
x
118°
探究新知
∵ 四边形ABCD和EFGH相似，
∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x ＝ 28 .
24
21 18
x E H E F
A D A B
，即 .
探究新知
D
A
B C
18
21
78° 83°
β 24
G
E
F
H
α
x
118°
2. 如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的
长度．
5
3 2
c d
7.5
b a
6 9
巩固练习
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
7.5
3 5
b 6 7.5
5c
9 7.5
5d
7.5
2 5
a ， ， ， ，
解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.
所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.
1.（2018•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120
元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边
都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（
）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
连 接 中 考
巩固练习
C
2.（2018•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个
三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短
边长为2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
C
连 接 中 考
巩固练习
D
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得甲、乙
两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际距离是（ ）
A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m
D
基 础 巩 固 题
课堂检测
1. 下列说法正确的是 （ ）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业
时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.
D．国旗的五角星都是相似的.
3. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，
相似比是多少？
GF
E H1.5
1
A D
CB
3
2
解：矩形ABCD相似于矩形EFGH
因为它们的对应角相等，对应边成比例.
相似比为: .
课堂检测
基 础 巩 固 题
4. 观察下面的图形 (a)~ (g)，其中哪些是与图形 (1)、
(2) 或 (3)相似的？
基 础 巩 固 题
课堂检测
判断下边的两个多边形是否相似？
3 正方形
3
4
4
菱形
解: ∵ 正方形，菱形的四条边都相等.
∴ 它们的对应边成比例，k = 3 : 4.
∵ 正方形的四个内角均为直角，
而菱形的内角有钝角有锐角.
∴ 它们的对应角不相等. ∴ 这一组图形不相似.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF，若矩形ABCD 与矩
形 EABF 相似，AB = 1． A
B C
DE
F
解：∵ E 是 AD 的中点，
1 1
2 2A E A D B C ∴ .
又∵矩形 ABCD 与矩形 EABF相似，AB=1，
∴ ，A B B C
A E A B
∴ AB2 = AE·BC，
∴ .2 11 2 B C B C 解得 2.BC
拓 广 探 索 题
课堂检测
（1）求BC长；
（2）求矩形 ABFE 与矩形 ABCD 的相似比.
A
B C
DE
F
解：矩形 ABEF 与矩形ABCD
的相似比为：
1 2 .22
A B
B C
拓 广 探 索 题
课堂检测
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
相似多边形对应边的比叫做
相似比
对应角相等，对应边成比例
图
形
的
相
似
相似多边形
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
第三课时
第四课时
人教版 数学 九年级 下册
第一课时
返回
1.相似多边形的特征是什么？
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1， ， 那么△ABC与
△A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？
导入新知
111111 CB
BC
CA
AC
BA
AB
A
B C
A1
B1 C1
1. 理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.
2.体会用相似符号“∽”表示的相似三角形之间的
边，角对应关系.
素养目标
3. 掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论
的应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证
明和计算.
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和在l2 上截得
的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与DE：EF相等吗？任意平移
l5 , 再量度AB, BC, DE, EF的长度, 它们的比值还相等吗？
猜
想 A
B
C
D
E
F
l2
探究新知
l1 l2
l3
l4
l5
知识点 1 平行线分线段成比例定理
2
3
3
4
3
2
BC
AB若 ，那么 ?
EF
DE
若 ， 那么4
3
BC
AB
?
EF
DE
即 AB DE
BC EF
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 ，
还可以得到 ， ， 等.
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1 l2
EF
DE
BC
AB
DE
EF
AB
BC
DF
DE
AC
AB
DF
EF
AC
BC
通过探究，你
得到了什么规律
呢？
探究新知
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若a∥b∥ c ，
则 ， ， 1 2 1 2
2 3 2 3
A A B B
A A B B
归纳：
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
2 3 2 3
1 2 1 2
A A B B
A A B B
1 2 1 2
1 3 1 3
A A B B
A A B B
， 2 3 2 3
1 3 1 3
A A B B
A A B B
…
a
探究新知
1. 如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
【想一想】
探究新知
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
DF
BD
CE
AC
BF
BD
AE
AC
C E D F
A E B F
AC
BD
BF
AE
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
巩固练习
如图，直线l3∥l4∥l5，由平行线分线段成比例的基本事实，
我们可以得出图中对应成比例的线段，
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l1 l2
l3
把直线 l1向左或向右任意平
移，这些线段依然成比例.
探究新知
知识点 2 平行线分线段成比例定理的推论
【思考】 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚
好落到l3上，如图2（1），所得的对应线段的比会
相等吗？依据是什么？
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1 l2
探究新知
图1 图2（1）
A（D）
E
FC
B
【思考】如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A
刚好落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会
相等吗？依据是什么？
探究新知
图1 图2（2）
A
B
C
D
E
F
l3
l4
l5
l1 l2
B C
E
A
D
l1 l2
l3
l4
l5
l2
l3
l1
l3
平行于三角形一边的直线截其他两边(或
两边的延长线)所得的对应线段成比例.
A
B C
D E l2
A
B C
DE l1
探究新知
归纳：
巩固练习
2.如图,l1∥l2∥l3， ，DE＝6，求DF的长．2
3
BC
AB
解：∵l1∥l2∥l3，
∴ .
又∵ ，DE＝6，
∴ ，
解得EF＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6＋4＝10.
EF
DE
BC
AB
2
3
BC
AB
2
36
EF
l1
l2
l3
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ，
AB=3，EC=1.求AD和BD.
∴AE=3.
解：∵AC=4，EC=1，
∵ DE∥BC，
∴
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
AC
AE
AB
AD
探究新知
素养考点 1 利用平行线分线段成比例定理及推论求线段
3. 如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，
BE=6cm，FC=3cm，AF的长为_______． 1cm
巩固练习
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的
平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
B C
A
D E
探究新知
知识点 3
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE
的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
探究新知
B C
A
D E
【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？
2.由前面的结论，我们可以得到
什么？还需证明什么？
探究新知
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
B C
A
D E
A
B C
D E
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A
∵ DE//BC
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，
过E作EF//AB交BC于F,
∵四边形DBFE是平行四边形
F∴DE=BF
∴△ADE∽△ABC
探究新知
A D A E
A B A C
AE BF
AC BC
∴ BC
DE
AC
AE ∴ A D A E D E
A B A C B C
则
已知：如图，在△ABC中，DE//BC，且DE分别交AB ， AC
于点D、E．
求证：△ADE∽△ABC .
“A”型 “X”型
（图2）
D E
O
B C
A
B C
D E
（图1）
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成
的三角形与原三角形相似.
符号语言：
∵ DE//BC
∴△ADE∽△ABC．
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明
△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行线，
那么你应该联想到什么？
【方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，
仍可证明△ADE∽△ABC，这与教材第31页证法
雷同．题目中有平行线，可得相似三角形，然后
利用相似三角形的性质，可列出比例式．
探究新知
4. 已知：如图，AB∥EF∥CD，图中共有___对相似三角形.3
C D
A B
E F
O
相似具有传递性
巩固练习
连 接 中 考
巩固练习
（2018•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，
AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值
为（ ）
A． B． C． D．
A
3
2
2
1
4
3
5
3
1. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE=2cm，
BE=6cm，BC = 4 cm，EF 长（ ） A
A. 1cm B. cm
C. 3cm D. 2cm
A
B C
E F
4
3
课堂检测
基 础 巩 固 题
2.如图，DE∥BC， ， ；
FG∥BC， ，则 .
AB
AD
5
2
AC
AE 2
5
A
B C
E D
F G
2
CG
AG
AB
AF 2
3
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，在△ABC中， EF∥BC.
（ 1 ）如果E、F分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE=7，
FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A
B C
E F
解：∵ A E A F
B E F C
，
∴ 7
7 4
A F ，
解得 AF = 4.
课堂检测
基 础 巩 固 题
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
解：∵ A E A F
A B A C
， ∴ 6 5
10 A C
，
基 础 巩 固 题
解得 .3
25AC
3
1053
25 AFACFC
A
B C
E F
课堂检测
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，
且DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶ OA＝OE∶ OB
.OD OF
OA OC
OF OE
OC OB
，
.OD OE
OA OB
证明： ∵ DF∥AC，
∵ EF∥BC，
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm，
AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E F
∴CD∥AB， ∴ .CD DF
AE AF
设菱形的边长为 x cm，则CD
= AD = x cm，DF = (4－x ）cm，
∴ 解得 ∴菱形的边长为 cm.4
5 4
x x ， 20
9
课堂检测
拓 广 探 索 题
9
20x
两条直线被一组平行线所截，所得的对
应线段成比例.
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或
两边延长线），所得的对应线段成比例.
相似三角形判定的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
基本事实
平
行
线
分
线
段
成
比
例
课堂小结
第二课时
返回
A
B C
D E
D E
O
B C
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应
角相等．对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的
简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）．类似地，判定两个三
角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边
来判断两个三角形相似呢？
探究探究！
讨论一下？
导入新知
2. 会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似
”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理.
1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 .
素养目标
1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
如何判断两个三角形是否相似?
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
D E
A
B C
A
B C
D E
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）
相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A型 X型
探究新知
知识点 1
还有没有其
他简单的判
断方法呢？
A'B' B'C' A'C'
AB BC AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
A
B C
三边对应
成比例
探究新知
C′B′
A′
A
B CC′B′
A′
通过测量不难发现∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∠C=∠C′，又因为两个三角形的边对应成比例，
所以 △ABC ∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学的
定理证明该结论.
探究新知
已知:如图，在△ABC和△A′B′C′中，A′B′:AB=A′C′:AC=B′C′:BC.
求证:△ABC∽△A′B′C′
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
A′
B′ C′
A
B C
D E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC
∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB
∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.
因此DE=B′C′,EA=C′A′.
∴△A′B′C′∽△ABC
∴△ADE≌ △A′B′C′
探究新知
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
AC
CA
CB
BC
BA
AB
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
探究新知
【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻
找对应边？
【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，
应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别
计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两
个三角形是否相似．
探究新知
例1 已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， A′B′ =12 cm ，
B′C′=18 cm ， A′C′=24 cm ，试说明△ABC∽△ A′B′C′.
∴ △ABC∽△ A′B′C′ ＇
探究新知
素养考点 1 利用三边成比例判断三角形相似
解：∵
6 1
1 8 3
B C
B C
4 1
1 2 3
A B
A B
8 1
24 3
AC
A'C '
A B B C A C
A B B C A ' C '
∴
探究新知
方法点拨
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个
三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是
否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边
对应.
1.在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝
2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结
论是______，理由是_________________．
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形
的是（ ）
相似
C
三组对应边的比相等
巩固练习
A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④
例2 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C ′ = 90°，
且 求证：△ A′B′C′∽△ABC.
1
2
A' B' A' C' .AB AC
证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2 A′C′，
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
∴ BC=2B′C′， ' ' 1 ' ' ' ' .2
B C A B A C
BC AB AC
探究新知
素养考点 2 判断三角形相似
3. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，
CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
1 1 1=2 2 2DE AC DF BC EF AB ， ， ，
∴
1= 2
DE DF EF
AC BC AB
= ，
巩固练习
试说明∠BAD=∠CAE.
A
D C
E
B
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
.AB BC AC
AD DE AE
例3 如图已知：
.AB BC AC
AD DE AE
解：∵
探究新知
素养考点 3 利用三角形相似求角相等
解：相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
理由如下：
在 △ABC 和 △ADE 中，∵ AB : AD = BC : DE = AC : AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B= ∠ADE ，∠C=∠E.
∴∠BAC－∠CAD =∠DAE－∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，
∠B=∠ADE，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.
4. 如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角
(对顶角除外)，并说明你的理由.
A
B C
D
E
巩固练习
（2018•临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三
角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
连 接 中 考
巩固练习
B
1．下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
D
2.下列判断，不正确的是（ ）
A．两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似.
B．斜边长和一条直角边长分别是 、 4和 、2的两个直角三角形相似.
C．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似.
D．斜边长和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似.
52 5
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确
的是（ ）
A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA
A
CBP D
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A B
C
3 3.5
4
D
F
E 1.8
2.1
2.4
课堂检测
基 础 巩 固 题
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
∴ △DEF ∽ △ABC.
2.4 0.64
DE
AB
∵ ， ， ，
2.1 0.63.5
EF
BC
1.8 0.63
FD
CA
DE EF FD
AB BC CA
∴ .
课堂检测
基 础 巩 固 题
D
F
E 1.8
2.1
2.4
A B
C
3 3.5
4
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三
边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两
条边长应当是多少？你有几个答案？
方案(1)
解：设另外两条边长分别为x , y
方案(2)
方案(3)
课堂检测
能 力 提 升 题
1 5,5 2 2
x x 1 , 36 2
y y
2
1
4
2
1 k
2 8,4 5 5
x x 2 12,6 5 5
y y
5
2
2 k
1 4,4 3 3
x x 1 5,5 3 3
y y
3
1
6
2k3
如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路， 已知 AB = 14
千米，AD = 28 千米，BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD
平行吗？说出你的理由.
A
CB
D28
14
21
42
31.5解：公路 AB 与 CD 平行.
∵
2= 3
AB AD BD
BD BC DC
= ，
∴ △ABD∽△BDC，
∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.
课堂检测
拓 广 探 索 题
三边
成比
例两
个三
角形
相似
利用三边判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
课堂小结
第三课时
返回
B'
A'
C'B
A
C
1. 两个三角形全等有哪些判定方法？
2. 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）
(2)平行于三角形一边的直线
(3)三边对应成比例
导入新知
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不
能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
探究
导入新知
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似”的判定定理并且会运用.
2. 会运用“两边成比例且夹角相等”判定
两个三角形相似，并进行相关计算与推理.
素养目标
改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.
等于k ∠B =∠B' ∠C =∠C'
改变k的值具有相同的结论
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，
量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比
等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？
AB AC k.A' B' A' C'
探究新知
知识点 1
A'
B' C'
A
B C
' ' ' '
AB AC kA B A C
∠A＝∠A'
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似．
类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试
证明这个结论．
△ABC ∽ △A'B'C'
探究新知
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A' =∠A，A'B'：AB = A'C'：AC
求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝
A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
AD AE
AB AC
∴ DE//BC
∴ △ADE ∽ △ABC
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
' ' ' 'A B A C
AB AC
A'
B' C'
A
B C
D E
探究新知
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，AB AC
A' B' A' C'
，
B
A
CB'
A'
C'∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
探究新知
【思考】对于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′
: AB= A′C′ : AC. ∠C=∠C′，这两个三角形一
定会相似吗？ 不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，
其中一个和原三角形相似，另一个不相似.
A
B
C
A′
B′
B″
C′
探究新知
探究新知
归纳总结
如果两个三角形两边对应成比例，但相等
的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形
不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的
夹角.
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，
A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，并说明
理由.
∵ 7 14 7
' ' 3 ' ' 6 3
AB AC
A B A C
，
又 ∠A＝∠A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
例1
探究新知
素养考点 1
两三角形
的相似比
是多少？
△ABC∽△A'B'C ' . 理由如下：解：
A B A C
A B A ' C '
∴
1. 已知∠A=40°，AB=8，AC=15， ∠A' =40°，A'B'
=16，A'C' =30 ，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说
明理由.
解：
∴△ABC∽△A'B'C'
巩固练习
△ABC∽△A'B'C' . 理由如下：
∴
∠A=∠A'又∵
15 1
30 2
AC
A'C'
∵
解：∵ AE=1.5，AC=2，
A
CB
E D
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
3
4
AD
AB
3
4
AE AD .AC AB
∴
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
3
4
DE AD
BC AB
，∴ 3 9
4 4DE BC . ∴
探究新知
素养考点 2
提示：解题时要找准对应边.
2.如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,求CD 的长．
巩固练习
AB
C
D
解：（1）CD :CB＝BC :AC
（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．
当△CBD∽△CAB，且AD＝2， ,
有CD:CB＝BC:AC，即 ,
所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．
但x２＝－3不符合题意,应舍去．
所以CD＝1．
3BC
3BC
: 3 3 : 2x x （ ＋ ）
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
A B
C
D
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，
求证 ：∠ACB=90°．
=A D C D
C D B D
∵ AD CD
CD BD
，
探究新知
素养考点 3
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.
3.如图，已知在△ABC 中，∠C＝90°，D、E 分别
是AB、AC 上的点，AE：AD＝AB：AC．
试问:DE 与AB 垂直吗? 为什么?
A
B
C
D
E
证明：DE⊥AB．理由如下:
∵ AE：AD＝AB：AC,
∴ ．
又 ∠A＝∠A,
∴ △ABC∽△AED．
∴ ∠ADE＝∠C＝90°．
∴ DE 与AB 垂直．
=A E A D
A B A C
巩固练习
1.（2017•同仁）如图，已知：∠BAC=∠EAD，AB=20.4，
AC=48，AE=17，AD=40．
求证：△ABC∽△AED．
连 接 中 考
巩固练习
证明：∵AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40．
∵∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED．
20.4 1.217
AB
AE
48 1.240
AC
AD
AD
AC
AE
AB
∴ ， ，
∴ ，
1. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，
使△ABC ∽ △DBA的条件是 （ ）
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
C. AB2 = CD · BC
D. AB2 = BD · BC
D
A
B CDAB BC
BD AB
→
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，
BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm.
求证：△DEF∽△ABC.
A
C
B
F
ED
证明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
3
5
DF EF .AC BC
∴
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，
∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
AD AE .AB AC
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
A
B C
D
E
课堂检测
基 础 巩 固 题
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，
AC=5， ，求 AD 的长．
A
B C
D
解：∵AB=6，BC=4，AC=5， ，
4
5
AB BC .CD AC
∴
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
4
5
AC BC
AD AC
∴ ， 25
4AD .∴
课堂检测
能 力 提 升 题
2
17CD
2
17CD
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，
AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断△ADE与
△ABC是否相似，某同学的解答如下：
解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3.
∵
∴这两个三角形不相似.
你同意他的判断吗？请说明理由.
拓 广 探 索 题
课堂检测
AC
AE
AB
AD
解：他的判断是错误的.
∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，
∴AD=7.8-4.8=3.
∵ ， ，
∴ ．
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB ．
拓 广 探 索 题
课堂检测
3 1
6 2
AD
AC
2
1
8.7
9.3
AB
AE
AB
AE
AC
AD
两边成
比例且
夹角相
等的两
个三角
形相似
利用两边及夹角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
课堂小结
第四课时
返回
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与60°，
或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看
起来是相似的．一般地，如果两个三角形有两组对应角
相等，它们一定相似吗？
导入新知
1. 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的
判定方法.
2. 能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
素养目标
3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能
进行相关计算与推理.
作△ABC和△A'B'C' ，使得∠A＝∠A' ，∠B＝∠B' ，这时
它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三角形的
边长，计算 ，你有什么发现？'''''' AC
CA
CB
BC
BA
AB 、、
满足：∠C = ∠C'
探究新知
知识点 1
这两个三角形是
相似的
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
△ABC和△A'B'C'相似吗？
一样
△ABC和△A'B'C'相似
探究新知
你能试着证明△A′B′C′∽△ABC吗？
如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，
求证: △ABC∽△A'B'C'
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，
过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B'
又∵∠A=∠A ' ，AD=A'B'
∴△ADE≌ △A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC
A
B C
D E
A'
B' C'
探究新知
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'，
∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
符号语言：
C
A
B
A
'
B' C'
归纳：
探究新知
例1 如图所示，在△ABC和△A′B′C′中，
∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两
个三角形是否相似．
C'B'
A'
CB
A
解：∵ ∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，
∴ △ABC∽△A′B′C′
探究新知
利用两角相等判断三角形相似素养考点 1
A
B
D
C
ACD
ACB
B
ADC
巩固练习
1.如图，点 D 在 AB上，当∠ ＝
(或∠ ＝∠ )时，△ACD∽△ABC；
例2 弦AB和CD相交于⊙ O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD
A
C
D
证明:连接AC、BD
∵∠A、∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A=∠D
同理: ∠C=∠B
∴△PAC∽△PDB
PA PC
PD PB
即PA·PB=PC·PD
A
B
P
O
O
D
C
B
P
探究新知
素养考点 2 利用三角形相似求等积式
∴
2. 如图，⊙ O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3，
PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6
O D
C
B
A
P
巩固练习
∴
AD AE .AC AB
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA=90°.
又∠C=90 °，∠A=∠A，
∴ △AED ∽△ABC.
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，
AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为D.
求AD的长.
DA B
C
E
∴
8 5 4.10
AC AEAD AB
探究新知
知识点 2
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
归纳：
探究新知
已知：
△ABC∽△A1B1C1.求证：
你能证明吗？
可要仔细哟！
H
L
A
B C
A1
B1 C1
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1，
.
1111
kCB
BC
BA
AB
探究新知
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=90°，
∠C′=90°， .
求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
AB AC
A B A C
C
A
A'
B B'C'
要证明两个三角形
相似，即是需要
证明什么呢？
目标： BC AB AC
B' C' A' B' A' C'
探究新知
证明：设 ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′.
由 ，得
∴ .
∴ Rt △ABC ∽ Rt △A′B′C′.
2 2BC AB AC ， 2 2 .BC AB AC
.kB C kB C
AB AC kA B A C
勾股定理
BC AB AC
B C A B A C
CB
CAkBAk
CB
ACAB
CB
BC
222222
∴
C
A
A'
B B'C'
探究新知
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与
另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似.
判定两直角三角形相似的定理 H
L
A
B C
△ABC∽△A1B1C1.
即
如果
那么
√
A1
B1 C1
1 1 1 1
,AB BC kA B B C
Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
探究新知
例3 如图，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2， ，
当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC相似．
2CD
C
A
B
D
探究新知
素养考点 1 直角三角形相似的判定
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2， ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1） 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝
AB : AC， 即 ，解得 AB=3；
22 2 22 2 6.AC AD CD ∴
C
A
B
D
2
2
探究新知
2CD
6:2:6 AB
（2）当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝
AB : AC ， 即 ，解得 ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．3 2
探究新知
6:2:6 AB 23AB
C
A
B
D
2
2
3. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC = 90°，BD⊥AC
于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ，
BC= .
18
D
B C
A
4 2
12 2
巩固练习
1.（2018•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，
∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
巩固练习
连 接 中 考
B
2.（2018•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置
BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分
别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下
降的垂直距离CD为（ ）
A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m
连 接 中 考
巩固练习
C
1. 如图，△ABC中，AE 交 BC 于点 D，∠C=∠E，AD :
DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A.15
4 B.
12
5
C.
20
3 D.17
4
A
C
A
B D
E
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，若∠A=60°，∠B =40°，∠A'
= 60°，当∠C'= 时，△ABC ∽△A'B'C'.
C
A
B B' C'
A'
80°
基 础 巩 固 题
课堂检测
3. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC. A
E
FB C
D
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC.
∴ △ADE∽△EFC.
基 础 巩 固 题
课堂检测
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A－∠B=60°.
∵ 在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC ∽△DEF.
4. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，
∠E=80 °，∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
A
CB
FE
D
基 础 巩 固 题
课堂检测
证明：∵ △ABC 的高AD、BE交于点F，
∴ ∠FEA=∠FDB=90°，
∠AFE =∠BFD （对顶角相等）
∴ △FEA ∽ △ FDB，
∴
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F．
求证： .AF EF
BF FD
.AF EF
BF FD
D C
A
B
EF
课堂检测
能 力 提 升 题
解：∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C,
∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD · AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
2.已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD
是△ABC 的高， 求证：AC · BC = BE · CD.
O
D
CB
A
E
证明： 连接CE，
又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠BCE= 90°=∠ADC，
∴ ∴ AC · BC = BE · CD.
AC CD
BE BC
，
课堂检测
拓 广 探 索 题
∴△ACD∽△EBC.
∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，
则∠A=∠E.
两角分
别相等
的两个
三角形
相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
27.2.2 相似三角形的性质
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
相似三角形的判定方法有哪几种？
1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三
角形与原三角形相似.
3. 三边对应成比例的两三角形相似.
4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
5. 两角分别相等的两个三角形相似.
6. 两边对应成比例的两直角三角形相似.
导入新知
三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素?
【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素
有一些怎样的性质呢?
导入新知
1. 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角
形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积
的比等性质，并运用其进行计算与推理.
2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解
决相关的问题.
素养目标
三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？
高、角平分线、中线的长度，周长、面积等
高 角平分线 中线
探究新知
A
B C
A'
B' C'
探究新知
知识点 1
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 ，它们对
应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
2
1
A
CB
A′
B′ C′
（2）
探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
2
1
对应高的比
2
1DA
AD
D′
D
C
A′
B′ C′
（1）
探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
2
1
对应中线的比
2
1DA
AD
D′
D
A
B
C
A′
B′ C′
（3）
探究新知
△ABC ∽△A′B′C′
相似比为
2
1
对应角平分线的比
2
1DA
AD
D′
D
A
B
如图， △ABC ∽△A′B′C′ ，若相似比为k ，它们对应
高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？
A
B C
A'
B' C'
探究新知
相似三角形对应高的比等于相似比
证明：∵△ A′B′C′∽△ABC，
∴ ∠B′= ∠B．
又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°,
∴△A′B′D′∽△ABD
从而 A D A B k A D A B
如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′
上的高AD，A′D′．
求证： .'' kAD
DA
探究新知
证明：∵△ABC∽△DEF.
相似三角形对应中线的比等于相似比.
A
B CMD
E FN
.EF
BC
DE
AB
又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线.
∴△ABM∽△DEN.
求证：
已知： △ABC∽△DEF. AM、DN分别为中线
.DE
AB
DN
AM
探究新知
∴BC=2BM,EF=2EN,
.AB BM
DE EN
∴
.AM AB
DN DE
∴
∴∠B =∠E,
证明：∵△ABC∽△DEF.
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
A
B CM D
E FN
求证：
已知：△ABC∽△DEF. AM、DN分别为角平分线
.AM AB
DN DE
探究新知
.AM AB
DN DE
∴
∴∠BAM=∠EDN.
∴△AMB∽△DNE.
BACBAM
2
1 EDFEDA
2
1∴ ， ，
相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
探究新知
归纳总结
解：∵ △ABC ∽△DEF，
D
E F
H
例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和
△DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求
EH 的长.
∴ BG BC
EH EF
∴ ，解得 EH = 3.2.
4.8 6
4EH
A
G
B C
故 EH 的长为 3.2 cm.
探究新知
素养考点 1 利用相似三角形对应线段的比求线段的长度
1.相似三角形对应边的比为2∶ 3,那么相似比为________,
对应角的角平分线的比为 .
2∶ 3
2 ∶ 3
2.两个相似三角形对应边上的高的比为1∶ 4 , 若一个三角
形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______. 3或48
巩固练习
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
【想一想】
探究新知
相似三角形周长的比等于相似比.
已知：
求证：
'''''''' BA
AB
ACCBBA
CABCAB
证明1：
∴
'''''' AC
CA
CB
BC
BA
AB
∴
'''''''' BA
AB
ACCBBA
CABCAB
(等比性质)
A
CB
B′
A′
C′
探究新知
∵△ABC ∽△A′B′C′
△ABC ∽△A′B′C′
A
B C
证明2：
∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′
探究新知
相似三角形的周长比等于相似比
∵△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k
∴ AB BC AC kA'B' B'C' A'C'
k A'B'+B'C' A'C' kA'B'+B'C'+A'C'
ABC AB+BC AC
A'B'C' A'B'+B'C'+A'C'
的周长
的周长 A′
B′ C′
3.相似三角形对应边的比为2∶ 5,那么周长比为
________.2∶ 5
4.两个相似三角形周长的比为1∶ 7 , 则它们的相似
比为_______,对应边上角平分线的比为_______. 1∶ 71∶ 7
巩固练习
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们
的面积比是多少？
A
B C
A'
B' C'
探究新知
知识点 2
由前面的结论，我们有
2
' ' '
1
2 .1 ' ' ' '' ' ' '2
ABC
A B C
BC ADS BC AD k k kS B C A DB C A D
△
△
A
B C
A'
B' C'D'D
探究新知
∴
几何表述:
相似三角形性质定理:
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
探究新知
∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，
归纳:
2kS
S
CBA
ABC
∴
A′
B′ C′A
B C
5. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 k ……
周长比 ……
面积比 10000 ……
1
32
4
1
3
1
9
100
100 k
k2
巩固练习
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
A
B C
D
E F
1 .2
DE DF
AB AC
∴
例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，
AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积
为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5
探究新知
素养考点 1 利用相似三角形面积的比求面积或线段
A
B C
D
E F
面积为
21 12 5 3 5.2
探究新知
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ，362
1
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5
6. 如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9，较大三
角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高
为______.
巩固练习
12
例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面
积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积.
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 3
5
AE AD
AC AB
，
素养考点 2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比）
探究新知
3
5
AE AD
AC AB
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌
面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地
面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积
约为多少 (结果保留两位小数)？ A
DE F
CB
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米).
∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH，
巩固练习
DF AF
CH AH
，∴ 即 0 6 2
3
.
CH
，
解得 CH = 0.9米.
2 20.9 2.54CH (平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
巩固练习
∴ 阴影部分的面积为：
A
DE F
CB
H
1.（2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（
）
A． B．2：3 C．4：9 D．8：27
连 接 中 考
巩固练习
C
32：
2.（2018•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC
的面积为16，则△DEF的面积为（ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
C
2.（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，
∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽
AB=_____m．
1.（2018•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，
则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
C
2
1
课堂检测
基 础 巩 固 题
100
3
1
4
1
6
1
3. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为
原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大
为原来的______倍.
25
10
基 础 巩 固 题
课堂检测
4. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是
________________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别
是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
基 础 巩 固 题
课堂检测
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且
DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
因此面积比为 1 : 4.
1
2
AE AD .AC AB
∴
课堂检测
能 力 提 升 题
A
B C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC= 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 :4 =
课堂检测
能 力 提 升 题
1
2
如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，
S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶ S△ABC
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
1
2 21
2
ADE
DCE
AE DFS AE
S ECEC DF
△
△
，
2
3
AE .AC
∴
又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC.
A
B C
D E
F
课堂检测
拓 广 探 索 题
2 22 4
3 9
ADE
ABC
S AE
S AC
△
△
，∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
课堂检测
拓 广 探 索 题
A
B C
D E
F
相似
三角
形的
性质
相似三角形对应线段的比
等于相似比
相似三角形面积的比等于
相似比的平方
相似三角形性质的运用
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
人教版 数学 九年级 下册
1. 在前面，我们学过哪些判定三角形相似的方法？相似三角
形的性质是什么？
2. 观察下列图片，你会利用相似三角形知识解决一些不能直
接测量的物体（如塔高、河宽等）的长度或高度的问题吗？
导入新知
怎样测量
河宽？
导入新知
世界上最宽的河
——亚马逊河
导入新知
世界上最高的树
—— 红杉
导入新知
旗杆
导入新知
乐山大佛
怎样测量这些
非常高大物体
的高度？
利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物
体的高度及两物之间的距离问题.
导入新知
1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理
进行简单的几何推理.
2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转
化为相似三角形的数学模型，能利用相似三角
形的知识设计方案解决一些简单的实际问题，
如高度和宽度的测量问题.
素养目标
古希腊数学家、天文学家
泰勒斯利用相似三角形的原理，
测量金字塔的高度.
探究新知
知识点 1
例1 据史料记者，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相
似三角形的原理，在金字塔影子顶部立一根木杆，借助太阳光线
构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为
201m，求金字塔的高度BO．
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO＝∠EDF，
又∠AOB＝∠DFE＝90°
∴ △ABO∽△DEF．
因此金字塔的高为134m．
素养考点 1 利用相似三角形测物体的高
探究新知
怎样测出
OA的长？
∴
∴
【讨论】利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题？
【方法总结】在同一时刻，太阳光下不同物体的高度之比与
其影长之比相等．利用太阳光测量物体的高度需要注意：
（1）由于太阳相对于地面的位置在不停地改变，影长也随着
太阳位置的变化而发生变化，因此要在同一时刻测量影长．
（2）被测物体的底部必须在可以到达的地方，否则，测不到
被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
（3）表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
探究新知
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同
时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是多少？
∵△ABC ∽ △A'B'C'
解得 A'C'=54m
答：这栋高楼的高度是54m.
解：
A
B C
1.8m
3m
A'
B' C'90m
?
巩固练习
∴ 即
AF
E
B
O
┐┐
还可以有其他测量方法吗？
△ABO∽△AEF
平面镜
【想一想】
探究新知
AF
OA
EF
OB
AF
EFOAOB
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以
用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
探究新知
注：反射角与入射角相等是隐含条件.
2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点
P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后，
刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3
米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 （ ）
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米
B
巩固练习
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个
目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂
直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT
与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，
ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．
解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，
解得PQ＝90.
P
Q R
S T a
b
∴ △PQR∽△PST．
因此，河宽大约为90m.
探究新知
素养考点 2 利用相似三角形测物体的宽
ST
QR
PS
PQ ∴ 90
60
45, PQ
PQ
ST
QR
QSPQ
PQ即
【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？
【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，
关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，
也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三
角形的性质求出所要求的两点间的距离．该例题还可参照课
本P41页练习2设计测量方案．
探究新知
3. 如图，测得BD=200m，DC=50m，EC=70m，求河
宽AB．
A
DB
E
C
解： ∵ AB∥CE
∴△ABD∽△ECD
答：河宽AB为280m.
巩固练习
∴
200
50 70
AB即
AB=280m.解得
测量如河宽等不易直接测量的物体的
宽度，常构造相似三角形求解.
归纳：
巩固练习
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两
树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两
棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多
少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？
分析：如图（1），设观察者眼睛的位
置为点F，画出观察者的水平视线FG，
分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG
的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似
地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于
树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看
不到的区域（盲区）之内．
探究新知
素养考点 3 利用相似三角形测量有遮挡的物体
图（1）
仰角
水平线
视线
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E
与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．
由题意可知，AB⊥l，CD⊥l
∴ AB∥CD，△AEH∽△CEK
即 8 1 6 6 4
5 12 1 6 10 4
EH . .
EH . .
解得 EH＝8（m）
由此可知，如果观察者继续前进，
即她与左边树的距离小于8m时，由于这
棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者
的盲区之内，观察者看不到它．
探究新知
图（2）
EH AH EK CK
∴
【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是
怎样的?
【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作
垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，
利用相似三角形对应边的比相等解决问题．
探究新知
4. 如图，AD⊥AB，EF ⊥ AB，BC ⊥ AB，DH ⊥ BC，DH
交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三角形
是 ______∽______．
EG BH
△DGF △DHC
巩固练习
1.（2018•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标
杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（
）
A．9.3m B．10.5m
C．12.4m D．14m
连 接 中 考
巩固练习
B
2.（2018•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成
书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得
影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几
何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子
长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸
（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺
C．一丈 D．五尺
连 接 中 考
巩固练习
B
1. 如图，要测量旗杆 AB 的高度， 可在地面上竖一根竹竿 DE，
测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即
可，则下面能用来求AB长的等式是 （ ）
A． B．
C． D．
C
AB EF
DE BC
AB DE=EF BC
AB BC=DE EF
AB AC=DE DF
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学
知识测量学校旗杆的高度，当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C
处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一
时刻，其他成员测得 AC = 2 米，AB = 10 米，则旗杆的高
度是____米． 8
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标
作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再
选点 E，使 EC ⊥ BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．
此时如果测得 BD＝120米，
DC＝60米，EC＝50米，
求两岸间的大致距离 AB．
E
A
D
C
B
60m
50m120m
课堂检测
基 础 巩 固 题
解：∵ ∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD.
∴ ，即 ，AB BD
EC DC
120
50 60
AB
解得 AB = 100(m).
因此，两岸间的大致距离为 100 m. E
A
D
C
B
60m
50m120m
课堂检测
基 础 巩 固 题
如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来
测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与
地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 DE
= 0.5 米，EF = 0.25 米，目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米，到旗
杆的水平距离 DC = 20 米，
求旗杆的高度.
A
B
C D
G
E
F
课堂检测
能 力 提 升 题
A
B
C D
G
E
F
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，
则 .DE EF
DC CA
解得：AC = 10，
AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 （m）.
答：旗杆的高度为 11.5 m.
∴ 0.5 0.25
20
CA
，
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，某一时刻，旗杆 AB 的影子的一部分在地面上，
另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆 AB 在地面上的
影长 BC 为 9.6 m，在墙面上的影长 CD 为 2 m．同一时刻，小
明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m．请帮助
小明求出旗杆的高度． A
B C
D
课堂检测
拓 广 探 索 题
解：如图：过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于点 E，
∴ DE = CB = 9.6 m，BE = CD = 2 m，
∵ 在同一时刻物高与影长成正比例，
∴ EA : ED=1 : 1.2，∴ AE = 8 m，
∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m)，
故学校旗杆的高度为 10 m.
E
A
B C
D
课堂检测
拓 广 探 索 题
相似
三角
形的
应用
举例
利用相似三角形测量高度
利用相似三角形测量宽度
利用相似解决有遮挡物问题
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
第一课时
第二课时
人教版 数学 九年级 下册
第一课时
返回
导入新知
相似图形这种相似有什么
特征？
相似图形
导入新知
这种相似有什么
特征？
照相机把人物的影像缩小到底片上
相似图形
导入新知
这种相似有什么
特征？
1. 在幻灯机放映图片的过程中，这些图片有什么关系？
2. 幻灯机在哪儿呢？
3.我们能给这种有特殊位置的相似图形一个名称吗？
导入新知
1. 了解位似图形及其有关概念，了解位似与相
似的联系和区别，掌握位似图形的性质.
2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图
形的方法将一个图形放大或缩小.
素养目标
3.培养学生分类讨论问题的能力.
下列图形中有相似多边形吗？如果有，那
么这种相似有什么特征？
探究新知
知识点 1
【讨论】什么样的图形叫做位似图形？什么叫做位似中心？
如何判断两个图形是否位似图形？
两个相似多边形，如果它们对应顶点的连线相交于一点，
我们就把这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似
中心．
探究新知
【方法总结】判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面
去考察：（1）这两个图形是否相似；（2）是否有特殊的位
置关系，即每组对应顶点的连线是否都经过同一点．
ü 位似是一种具有位置关系的相似。
ü 位似图形是相似图形的特殊情形。
ü 位似图形必定是相似图形，而相似图形不
一定是位似图形。
ü 两个位似图形的位似中心只有一个。
ü 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，
也可能位于位似中心的一侧。
注意
探究新知
1. 画出下列图形的位似中心：
巩固练习
O
乙
O
甲
2. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 （ ）
A. 两个三角形是位似图形
B. 点 A 是两个三角形的位似中心
C. B 与 D、C 与 E是对应位似点
D. AE : AD是相似比
D
DE
A
B C
巩固练习
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到
了什么？
OA OB AB
OA' OB' A' B'
A B
E
C
D
O
A′ B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
探究新知
知识点 2
【总结】位似图形的所有对应点的连线交于一点．位似图形
是一种特殊的相似图形，它具有相似图形的所有性质，即对
应角相等，对应边的比相等．位似图形的相似比也叫做位似
比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于
位似比．
探究新知
【思考】位似图形和相似图形有什么联系和区别？位似
图形有何性质？
3. 如图，四边形木框 ABCD 在灯泡发出的光照射下形成
的影子是四边形 A′B′C′D′，若 OB : OB′＝1 : 2，则四边形
ABCD 的面积与四边形A′B′C′D′的面积比为 （ ）
A．4∶ 1 B．
C． D．1∶ 4
D
2 1：
1 2：
巩固练习
O
2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、C'、D'，使得
3. 顺次连接点A'、B'、C'、D'，所得四边形A'B'C'D'就是所要求的图形．
2
1''''
OD
OD
OC
OC
OB
OB
OA
OA
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似可以把一个图形放大或缩小.例如，要把四边形ABCD缩小
到原来的 ，
1. 在四边形外任选一点O（如图），
知识点 3
探究新知
2
1
【思考】 对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任
选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、
B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在
四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
OA' OB'
OA OB
1
2
OC' OD'
OC OD
探究新知
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
探究新知
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
探究新知
归纳总结
探究新知
方法点拨
画位似图形时，需要注意的事项：
（1）要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的
相似比，还是新图形与原图形的相似比．
（2）若问题没有指定位似中心的位置，则画图时位
似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一
个顶点为位似中心画图最简捷．
4. 如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
O
A
B
C
画法：①作射线OA 、OB 、 OC
②分别在OA、OB 、OC 上取点A' 、B' 、C' 使得
1
' ' ' 2
OA OB OC
OA OB OC
③顺次连结A' 、B' 、C' 就
是所要求图形
A'
B'
C'
巩固练习
（2018•青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位
似中心为点O，且 ，则 _______．
连 接 中 考
巩固练习
4
73
4
EA
OE FG
BC
A B
C D
1. 选出下面不同于其他三组的图形 ( )B
课堂检测
基 础 巩 固 题
2. 如图，正五边形 FGHMN 与正五边形 ABCDE 是位似图形，
若AB : FG = 2 : 3，
则下列结论正确的是 ( )
A. 2 DE = 3 MN B. 3DE =2MN
C. 3∠A = 2∠F D. 2∠A = 3∠F
B
A
B
E
C
D
N F
G
H
M
课堂检测
基 础 巩 固 题
3.如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？
为什么？
O
A
B
C
D
解：AB∥CD
∵△OAB与△ODC是位似图形
∴△OAB∽△OCD
∴∠OAB=∠C
∴ AB∥CD
课堂检测
基 础 巩 固 题
如图，△ABC. 根据要求作△A'B'C'，使△A' B' C'
∽△ABC，且相似比为 1 : 5.
（1）位似中心在△ABC的一条边AB上；
A
CB
O ●
A′
B′ C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB中
点，点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，B′，
C′ 的位置.
●
课堂检测
能 力 提 升 题
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′ ( C′ )
●
● ●
课堂检测
能 力 提 升 题
如图，F 在 BD 上，BC、AD 相交于点 E，且 AB∥CD∥EF，
(1) 图中有哪几对位似三角形? 选其中一对加以证明；
答案：△DFE 与 △DBA，△BFE 与 △BDC，
△AEB 与 △DEC 都是位似图形；证明略.
课堂检测
拓 广 探 索 题
(2) 若 AB=2，CD=3，求 EF 的长.
解：∵ △BFE ∽△BDC，△AEB ∽△DEC，
AB=2，CD=3，
2
3
，AB BE
DC EC
∴ 2
5
，BE EF
BC DC∴
解得 6
5
EF .
课堂检测
拓 广 探 索 题
位似的概念及画法
位似图形的概念
位似图形的性质
画位似图形
课堂小结
第二课时
返回
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两
个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴
对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两
个图形坐标之间的关系来表示呢？
导入新知
D
x
y A
BC
2.在平面直角坐标系中，利用图形与坐标的变换画
出与已知多边形位似的多边形.
1. 理解平面直角坐标系中，位似图形对应点的坐
标之间的联系 .
素养目标
3. 培养学生建立数形结合的思想，养成发散思维
的习惯.
在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，
观察对应点之间坐标的变化.
1
3
探究新知
知识点 1
2
4
6
4 6B'
－2
－4
－4 x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后
A，B 的对应点为
A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2 1
2 0
－2 －1
－2 0
探究新知
2
4
6
8
2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-2-4-6-8 O 10 12-10-12
如图，△ABC三个顶点坐
标分别为A（2，3），B（2，
1），C（6，2），以点O为位
似中心，相似比为2，将
△ABC放大，观察对应顶点坐
标的变化，你有什么发现？
A
B
C
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ）；
A" （ ， ），B" （ ， ），C" （ ， ）．
4 6 4 2 12 4
－4 －6 －4 －2 －4－12
A'
B'
C'
A"
B"
C"
探究新知
问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作几个？
问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应
顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图
形与原图形在原点的异侧呢？
探究新知
探究新知
归纳总结
1.在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位
似图形可以作两个．
2.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点坐标的比等于k或－k．
3.在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k,若
原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点
A '的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
注:当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1时，图形缩小为
原来的 ． 1
k
1. 如图所示，△AOB的A、B两顶点的坐标分别为A（3，0），
B（3，2），若△AOB与△DOE为位似图形，且位似比为3:2，
则D点坐标为__________，E点的坐标为 ．
4( 2, )3
（－2，0）
巩固练习
1
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐
标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点
O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为
3 : 2.
2
4
6
2－2－4 x
y
A
B
O
探究新知
素养考点 1
2
4
6
2－2－4 x
y
A
B
O
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，
B′ (－3，0)，O (0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就
是要画的一个图形.
还有其他
画法吗？
自己试一
试.
探究新知
提示：画三角形关键是确定它各顶点
的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的
对应点 A′ 的坐标为 ，即
(－3，6)，类似地，可以确定其他顶
点的坐标.
3 32 42 2
，
2
4
6
8
2 4 6 8
-2
-4
-6
-8
-2-4-6-8 O 10 12-10-12
2. 如图，△ABC三个顶点坐
标分别为A（2，－2），B
（4，－5），C（5，－2），
以原点O为位似中心，将这
个三角形放大为原来的2
倍．
A
B
C
解：
A'（ ， ），B ' （ ， ），C ' （ ， ），4 － 4 － 108 －410
A" （ ， ），B" （ ， ），C"（ ， ）.4－ 4 － 8 10 －10 4
A'
B '
C '
A"
B"
C"
巩固练习
x
y
将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指
出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴正向平移3个单位长度；
（2）关于x轴对称；
（3）以C为位似中心，将△ABC放大2倍；
（4）以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°．
截止现在，你总
共学了哪些图形
变换？它们有何
异同点？
探究新知
知识点 2
x
y
A
B
C
A1
A2
A3
A4
B1
B3
B4
C1
C2
(C3 )
(C4 )
B2
探究新知
名称 规律 变换方
式
平移
轴对称
旋转
位似
对应点的横坐标或纵坐标加上（或减去）
平移的单位长度.
以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，
纵坐标互为相反数；
以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，
横坐标互为相反数.
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两
个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数.
当以原点为位似中心时，变换前后两个图形
对应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比.
全等变换
相似变换
位似与平移、轴对称、旋转变换的对比
3. 如图，△ABC在方格纸中．
（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），
C（6，2），并求出B点坐标；
（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将
△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′．
（3）计算△A′B′C′的面积S．
巩固练习
解：（1）画出原点O，x轴、y轴．B（2，1）．
（2）画出图形△A′B′C′．
1= 4 62 .8=1S （3）
巩固练习
（2018•营口）如图，线段CD两个端点的坐标分别为
C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，
在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，
则线段AB的中点E的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（ , ）
C．（2，4） D．（4，2）
连 接 中 考
巩固练习
A
2
3
2
3
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，
B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内
将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则
端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1) D
x
y A
BC
D
课堂检测
基 础 巩 固 题
2
1
O
2. 如图，小朋在坐标系中以A为位似中心画了两个位似的直角
三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则 E 点坐标为 ( )
A．(4，－3) B．(4，－2)
C．(4，－4) D．(4，－6)
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
3. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，以原
点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三 个顶点分别为
A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位
似比是 .
2
3
2
3
1
3
1 : 3
课堂检测
基 础 巩 固 题
4. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼
与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的
点 .(－2a，－2b)
课堂检测
基 础 巩 固 题
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别
为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O
为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形
OABC 的相似比是 2 : 3.
能 力 提 升 题
课堂检测
O
C
解：画法一：将四边形 OABC
各顶点的坐标都乘 ；在平
面直角坐标系中描点O (0，0)，
A' (4，0)，B' (2，4)，
C′ (－2，2)，用线段顺次连接
O，A'，B'，C'.
2
3 2
4
6
4 6
B'
－2
－4
－4 x
y
A
B
A'
C'
能 力 提 升 题
课堂检测
－2 2
画法二：将四边形 OABC 各顶
点的坐标都乘 ；在平面直
角坐标系中描点O (0，0)，A″
(－4，0)，B″ (－2，－4)，C″
(2，－2)，用线段顺次连接O，
A″，B″，C″.
2
3
O
C
2
4
6
4 6
B″
－2
－4
－4 x
y
A
B
A″
C″
能 力 提 升 题
课堂检测
2－2
如图，点 A 的坐标为 (3，4)，点 O 的坐标为 (0，0)，
点 B 的坐标为 (4，0).
(1) 将 △AOB 沿 x 轴向左平移 1 个单位长
度后得△A1O1B1，则点 A1 的坐标为 ，
△A1O1B1的面积为 ；
(2，4)
8
(2) 将 △AOB 绕原点旋转 180° 后得 △A2O2B2，
则点 A2 的坐标为 ；(－3，－4)
课堂检测
拓 广 探 索 题
4 x
y
A
B
4
3O
(3) 将 △AOB 沿 x 轴翻折后得 △A3O3B3，
则点 A3 的坐标为 ；
(4) 以 O 为位似中心，按比例尺 1 : 2 将
△AOB 放大后得 △A4O4B4，若点 B 在 x 轴
负半轴上，则点 A4的坐标为 ，
△A4O4B4的面积为 .
(3，－4)
(－6，－8)
32
课堂检测
拓 广 探 索 题
4 x
y
A
B
4
3O
平面直角坐标
系中的位似
平面直角坐标系
中的位似变换
平面直角坐标系
中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中
的位似图形的画法
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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