资料简介
期中检测题
【本检测题满分:120 分，时间:120 分钟】
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大到原来的 2 倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ）
A.都缩小到原来的 1
2 B.都扩大到原来的 2 倍
C.都没有变化 D.不能确定
2.如图，菱形 的对角线 =6， =8，∠ = ，则下列结论正确的是（ ）
A.sin = 4
5 B.cos = 3
5 C.tan = 4
3 D.tan = 3
4
第 2 题图
3.如图，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3 ，堤高 BC=10 m，则坡面 AB 的长度是（ ）
A.15 m B.20 3 m C.20 m D.10 3 m
4.如图，在△ 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，则点 到 的距离是（ ）
A.10-5 3 B.5+5 3 C.15-5 3 D.15-10 3
5.（2015·贵州铜仁中考）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的
平面直角坐标系，其函数的关系式为 y=- ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这
时水面宽度 AB 为（ ）
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
6.用配方法将函数 = 1
2
2-2 +1 写成 = ( - )2+ 的形式是（ ）
A. = 1
2 ( -2)2-1 B. = 1
2 ( -1)2-1
C. = 1
2 ( -2)2-3 D. = 1
2 ( -1)2-3
7.如图所示，二次函数 = 2-4 +3 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点，则△ 的面积为（ ）
A. B. C. D. 第 7 题图
8.上午 9 时，一船从 处出发，以每小时 40 海里的速度向正东方向航行，9 时 30 分到达 处，
如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东 45°和北偏东 15°方向，那么 处与小岛
的距离为（ ）
A.20 海里 B.20 2 海里
C.15 3 海里 D.20 3 海里
9.函数 的部分图象与 的交点分别为 A（1，0），
B（0，3），对称轴是 ，在下列结论中，错误的是（ ）
A.顶点坐标为（-1，4）
B.函数的表达式为
C.当
D.抛物线与 轴的另一个交点是（-3，0） 第 8 题图
10. （2015·山东潍坊中考）已知二次函数 y= +bx+c+2 的图象如图所示，顶点为
(-1，0)，下列结论：
①abc2；④4a-2b+c>0.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C. 3 D.4
第 10 题图
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11.在离旗杆 20 m 的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高 1.5 m，那么旗杆
的高为________m.
12.如果 sin = 3
2
，则锐角 的余角是__________.
13.（湖北襄阳中考）如图，在建筑平台 CD 的顶部 C 处，测得大树 AB 的顶部 A 的仰角为
45°，测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°，已知平台 CD 的高度为 5 m，则大树的高
度为 m.（结果保留根号）
14.如图，在离地面高度为 5 m 的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的
长为__________m(用 的三角函数值表示).
15.图中阴影部分的面积相等的是 .
第 15 题图
16.如图，已知抛物线 经过点（0，－3），请你确定一个 的值使该抛物线与
轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的 的值是 ．
第 17 题图
第 14 题图
第 16 题图
第 18 题图
17.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 =1.6 m，涵洞顶点 到水面的
距离为 2.4 m，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是___________.
18.（2015·山东潍坊中考）观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先
在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°，然后爬到该楼房顶端 B
点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°，已知楼房高 AB 约是 45 m，根据以上观测数据
可求观光塔的高 CD 是______m.
三、解答题（共 66 分）
19.(7 分)计算:6tan230°－cos 30°·tan 60°－2sin 45°+cos 60°.
20.(7 分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌
溉，已知 到水池 处的距离 是 50 米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，
此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过 10 米，否则无法抽取水池中的水， 试问抽水
泵站能否建在 处?
第 20 题图 第 21 题图
21.(8 分)如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面正常水位时 AB 宽 20 m，水位上升 3 m 就达到
警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中求抛物线的表达式.
(2)若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才
能到达拱桥顶?
22.(8 分)某电视塔 和楼 的水平距离为 100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角
分别为 45°和 60°，试求楼高和电视塔高(精确到 0.1 m).
第 22 题图
23.(8 分)如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点 A 处出手，出手时球离地面约 .铅球落
地点在 B 处，铅球运行中在运动员前 4 m 处(即 m)达到最高点，最高点高为 3 m.
已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗?
第 23 题图
A
D
x
y
CO B
24.（8 分）（2015·广东珠海中考）已知抛物线 y=a bx+3 的对称轴是直线 x=1.
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于 x 的方程 a +bx-8＝0 的一个根为 4，求方程的另一个根.
25.(10 分)如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘测飞机在距离海平
面垂直高度为 1 100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前
方一海岛顶端 A 的俯角是 60°，然后沿平行于 AB 的方向水平
飞行 1.99×104 米到达点 D 处，在 D 处测得正前方另一海岛顶
端 B 的俯角是 45°，求两海岛间的距离 AB.
26.（10 分）（杭州中考）复习课中，教师给出关于 x 的函数 y=2kx2-
（4k+1）x-k+1（k 是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选
择如下四条：
①存在函数，其图象经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 x>1 时，不是 y 随 x 的增大而增大就是 y 随 x 的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数.
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学
方法.
期中检测题参考答案
一、选择题
1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知:如果各边的长度都扩大到原来的 2 倍，那么锐角
的各三角函数没有变化．故选 C．
2.D 解析：菱形 的对角线 =6， =8，
则 ⊥ ，且 =3， =4．
在 Rt△ 中，根据勾股定理得 =5，
则 sin = ，cos = ，tan = ，故选 D．
3. C 解析：在 Rt△ABC 中，BC=10 m，tan A=1∶ .
∴ AC=BC÷tan A=10 （m），
∴ AB= 2 2AC BC =20（m）.
4.C 解析：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在 Rt△ 中，∠ =60°，∴ = ．
在 Rt△ 中，∠ =45°，∴ = . 第 4 题答图
∵ BC=BD+CD,BC=10，∴ 10= + ,解得 =15﹣5 ．
故选 C．
5. C 解析：已知 OD=4 m，故点 B 的纵坐标为-4．
设点 B 的坐标为（x,-4）.把 y=-4 代入 y=- 2
25
1 x ，得 x=10（负值舍去）．
即水面宽度 AB 为 20 m．
6.A 解析： = 2﹣2 +1= （ 2﹣4 +4）﹣2+1= （ ﹣2）2﹣
1.故选 A．
7.C 解析：由表达式 = 2-4 +3=（ -1）（ -3），
则与 轴交点坐标为 （1，0）， （3，0）.
令 =0，得 =3，即 （0，3）.
∴ △ 的面积为
8.B 解析：如图，过点 作 ⊥ 于点 ． 第 8 题答图
根据题意，得 =40× =20（海里），∠ =105°．
在 Rt△ 中， = • 45°=10 （海里）．
在 Rt△ 中，∠ =60°，则∠ =30°，
所以 =2 =20 （海里）．故选 B．
9. C 解析：将 A（1，0），B（0，3）分别代入表达式,得
解得 则函数表达式为 .
将 =-1 代入表达式可得其顶点坐标为（-1，4）.
当 =0 时可得 ，
解得
可见，抛物线与 轴的另一个交点是（-3，0）.
当 ＜-1 时， 随 的增大而增大．
可见，C 答案错误．故选 C．
10.Ｂ 解析：∵ 函数图象开口向上，∴ a＞0.
又∵ 顶点为（-1,0），∴ - =-1，∴ b=2a＞0.
由抛物线与 y 轴的交点坐标可知:c+2＞2，∴ c＞0，∴ abc＞0，故①错误.
∵ 抛物线顶点在 x 轴上，∴ -4a（c+2）=0,故②错误.
∵ 顶点为（-1,0），∴ a-b+c+2=0.
∵ b=2a, ∴ a=c+2. ∵ c＞0, ∴ a＞2,故③正确.
由抛物线的对称性可知 x=-2 与 x=0 时函数值相等，∴ 4a-2b+c+2＞2,
∴ 4a-2b+c＞0,故④正确.
二、填空题
11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高 20tan m，测角仪高 1.5 m，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．
12.30° 解析：∵ sin = ， 是锐角，∴ =60°．
∴ 锐角 的余角是 90°﹣60°=30°．
13.(5+5 3 ) 解析：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，
在 Rt△BCE 中，BE=CD=5 m，
CE= tan 30
BE
=5 3 m.
在 Rt△ACE 中，AE=CE·tan 45°=5 3 m，
AB=BE+AE=（5+5 3 ）m.
点拨：本题考查了仰角、俯角问题的应用，要求能借助仰角或俯角构造直角三角形，并
通过解直角三角形求解．
14. 5
sin
解析：∵ ⊥ 且 =5 m，∠CAD= ，
∴ = (m)．
15.②③ 解析：①图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条
件，无法求出阴影部分的面积；
②图中直线 y=-x+2 与坐标轴的交点坐标为（2，0），（0，2），故 S 阴影= 1
2
×2×2=2；
③图中的函数是反比例函数，阴影部分的面积为 S= 1
2 xy= 1
2
×4=2；
②③的面积相等.
④图中，抛物线与坐标轴交于（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰
直角三角形，其面积 S= 1
2
×2×1=1.
点拨：解答本题首先根据各图形的函数表达式求出函数与坐标轴交点的坐标，求得各个
阴影部分的面积，进而可比较出各阴影部分面积的大小关系，熟练掌握各函数的图象特点
是解决问题的关键．
16. （答案不唯一） 解析：由题意可知 要想抛物线与 轴的一个交点在（1，0）
和（3，0）之间，只需 和 异号即可，所
以
17. = 15
4
2 解析：设函数表达式为 = 2（a≠0），
点 坐标应该是（﹣0.8，﹣2.4），
则有﹣2.4=（﹣0.8）2 ，
即 =﹣ ，即 =﹣ 2．
18. 135 解析：在 Rt△ABD 中，∠BAD=90°, = ,
∵ ∠ADB=30°，AB=45 m,∴ = ,∴ AD=45 m.
在 Rt△ADC 中，∠ADC=90°, = ,
∵ ∠CAD=60°，AD=45 m, ∴ = ,∴ DC=135 m.
三、解答题
19.解：原式=
2
3 3 2 1 3 16 3 2 2 2 1 23 2 2 2 2 2
.
20.解：∵ =50 米，∠ =15°，
又 sin∠ = AB
AC
，
∴ = ·sin∠ = 50sin 15°≈13(米) 10 米，
故抽水泵站不能建在 处.
21.解：设其函数表达式为 = 2（a≠0），设拱桥顶到警戒线的距离为 m，
则 点坐标为(-5， - ， 点坐标为(-10，- -3)，
故有
2
2
( 5) ,
3 ( 10) .
m a
m a
解得
1 ,25
1.
a
m
所以， (1)抛物线的表达式为 = 1
25
2.
(2)1÷0.2=5(h).
22.解：设 = m，∵ =100 m，∠ =45°，
∴ ·tan 45°=100 m.∴ =(100+ )m.
在 Rt△ 中，∵∠ =60°，∠ =90°，
∴ tan 60°= AB
BD
，
∴ = 3 ，即 +100=100 3 ， =100 3 -100 73.2(m)，
即楼高约为 73.2 m，电视塔高约为 173.2 m.
23．解:能.∵ OC=4 m,CD=3 m，∴ 顶点 坐标为(4，3).
设 +3（a≠0），把 代入上式，得 ，
∴ ，
∴ 即 .
令 ，得 ∴ (舍去)， [来源:Z§xx§k.Com]
故该运动员的成绩为 .
24.（1）证明：由抛物线 y=a +bx+3 的对称轴为 x=1 得，
＝1.∴ 2a+b=0.
（2）解：因为抛物线 y=a +bx-8 与 y=a +bx+3 有相同对称轴 x=1，
且方程 a +bx-8=0 的一个根为 4.
设 a +bx-8=0 的另一个根 ，则满足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即 b=-2a,
∴ 4+ =2，∴ =-2.
25.分析：首先过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF
⊥CD 于点 F，连接 AB,易得四边形 ABFE 为矩形.根据
矩形的性质，可得 AB=EF，AE=BF.由题意可知：
AE=BF=1 100-200＝900(米)，CD=1.99×104 米，然后分
别在 Rt△AEC 与 Rt△BFD 中，利用三角函数即可求得
CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离.
解：如图，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD，交 CD 的延长线于点 F，连
接 AB.∵ AB∥CD,
∴ ∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴ 四边形 ABFE 为矩形，∴ AB=EF，AE=BF.
由题意可知：AE=BF=1 100-200=900(米)，
CD=1.99×104 米＝19 900 米.
∴ 在 Rt△AEC 中，∠C=60°,AE=900 米,
∴ CE= tan 60
AE
= 900
3 =300 3 （米）.
在 Rt△BFD 中，∠BDF=45°，BF=900 米，
∴ DF= tan 45
BF
= 900
1 =900（米）.
∴ AB=EF=CD+DF-CE=19 900+900-300 3 =20 800-300 3 （米）.
答：两海岛之间的距离 AB 是(20 800-300 3 ）米.
点拨：此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角
三角形并解直角三角形是求解此题的关键，注意数形结合思想的应用.
26.分析：①把 x=1，y=0 代入函数表达式，存在 k 值即可.②需要考虑函数是一次函数的情
况.③分 k=0，k0 三种情况进行讨论.④由题意知 k≠0，分 k0 两种情况进行
讨论.
解：①真命题，当 k=0 时，y=2kx2-（4k+1）x-k+1=-x+1，此时图象经过点（1，0）.
②假命题，如①当 k=0 时，y=-x+1,y 为关于 x 的一次函数,此时图象与坐标轴有两个交点.
③假命题，分情况讨论：当 k=0 时，y=-x+1，在 x>1 时，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，二次函数的图象开口向上，对称轴为 x=1+ 1
4k >1，所以在 10 时，结论不成立.
④真命题，若函数有最值，则必然是二次函数，此时 k≠0，Δ=24k2+1>0，二次函数的图
象与 x 轴有两个交点.当取得最大值时，二次函数的图象开口向下，最大值必为正数；当
取得最小值时，二次函数的图象开口向上，最小值必为负数.所用到的数学方法：数形结
合思想、方程思想等.
点拨：本题是关于二次函数图象与性质的辨别是非题，掌握二次函数的图象与性质并分
类讨论是解题的关键.
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