资料简介
第1课时 常量和变量
第十九章 一次函数
19．1.1 变量与函数
1．某人要在规定的时间内加工200个零件，对于工作效率n与时间t
之间的关系，下列说法正确的是( )
A．200和n，t都是常量 B．200和n都是变量
C．n和t都是变量 D．200和t都是变量
2．圆周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是( )
A．π，R是变量，2为常量
B．R是变量，2，π，C为常量
C．C是变量，2，π，R为常量
D．C，R是变量，2，π为常量
C
D
A
V，R
0.58 x，y
6．设地面气温是20 ℃，如果每升高1 km，气温就下降6 ℃，气温
t(℃)与高度h(km)的关系式是t＝20－6h，变量是________，常量是
______________．
7．如图，△ABC底边BC上的高是6 cm，当三角形的顶点C沿底边
所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化，在这个变化过程
中，变量是______________________，常量是__________________．
t，h
20，－6
△ABC的底边的长和面积 三角形的高6cm
8．(练习变式)写出满足下列各问题的关系式，并指出各个关系式中，
哪些量是常量，哪些量是变量？
(1)等腰三角形的顶角y(度)与底角x(度)之间的关系；
(2)在100米赛跑中，成绩t(秒)与平均速度v(米/秒)之间的关系；
(3)用总长为20 m的绳子围成一个长方形，则长方形面积S(m2)与一
边长x(m)之间的关系．
9．以固定的速度v0(m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球
运动的时间t(s)之间的关系式是h＝v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、
变量分别为( )
A．常量为4.9，变量为t，h
B．常量为v0，变量为t，h
C．常量为－4.9，v0，变量为t，h
D．常量为4.9，变量为v0，t，h
C
10．下表是某报纸公布的世界人口的数据情况：
上表中的变量是( )
A．仅有一个是时间(年份)
B．仅有一个是人口数
C．有两个变量，一个是时间(年份)，一个是人口数
D．没有变量
年份 1957 1974 1987 1999 2010
人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿
C
11．小明带10元钱去文具店买日记本，已知每本日记本定价2元，则小
明剩余的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系可表示为y＝10－2x.
在这个问题中______是变量，_________是常量．
12．长方形的面积公式为S＝ab，当长a不变时，____是常量，________
是变量；当面积S不变时，____是常量，________是变量．
x，y 10，－2
a S，b
S a，b
13．小明随妈妈到超市购买苹果，消费清单如表：
(1)请你根据观察和经验，指出其中的常量是什么？变量是什么？
(2)根据(1)中的发现，请你用字母表示变量，然后写出关系式．
解：(1)常量是单价，变量是重量和金额 (2)设重量为x(千克)，金额为
y(元)，则y＝2.4x
金额(元)：6.00
重量(千克)：2.50
单价(元/千克)：2.40
14．如图，矩形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AD＝20
cm，当B，C在平行线上运动时，矩形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，常量、变量各是什么？
(2)如果矩形的一边AB的长为x(cm)，那么矩形的面积y(cm2)可以表示
为______________；
(3)当AB的长从25 cm变到40 cm时，矩形的面积从_______cm2变到
________cm2.
解：常量是AD，BC的长，变量是AB，CD的长与矩形ABCD的面积
y＝20x
500
800
15．如图将一个边长为1的正方形纸片，剪成四个大小一样的正方形，
然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个正方形，如此循环
下去，观察图形和所给表格中的数据后回答问题：
设操作的次数为n，写出正方形总个数s与次数n之间的关系式并指出
其中的变量和常量．
操作的次数 1 2 3 4 5 …
正方形的总个数 4 7 10 13 16 …
解：s＝3n＋1，变量是s，n；常量是3，1
方法技能：
1．一个变化过程中的量包含变量与常量，常量是一个已知数，在整个变
化过程中保持不变；变量是指在一个变化过程中，数值发生变化的量．
2．变量和常量是相对的，前提条件是“在一个变化过程中”，一个量在
某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量．如在s
＝vt中，当s一定时，v与t是变量，s是常量；当t一定时，s与v是变量，t是
常量．
易错提示：
对常量、变量的意义理解不透彻，忽视π为常数而出错．
第2课时 函数
知识点1：函数的概念及表示方法
1．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间变化而变化，在这
一问题中，自变量是( )
A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼
2．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y
不是x的函数的选项是( )
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
C
D
D
4x x，y
y x
B
B
15
±2
知识点3：求函数解析式
9．汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30
千米/时，则汽车距天津的路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数关
系及自变量的取值范围是( )
A．s＝120－30t(0≤t≤4)
B．s＝30t(0≤t≤4)
C．s＝120－30t(t＞0)
D．s＝30t(t＞0)
A
10．(练习1变式)下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变
量的函数？试写出函数的解析式．
(1)购买单价为4元的笔记本，总金额y(元)随笔记本的数量
x(个)的变化而变化；
(2)汽车离开A站4 km后，以40 km/h的平均速度前进了t h，汽
车离开A站的距离s(km)随时间t(h)的变化而变化．
解：(1)购买的笔记本的数量x(个)是自变量，总金额y(元)是自
变量的函数，y＝4x (2)时间t(h)是自变量，汽车离开A站的距
离s(km)是自变量的函数，s＝40t＋4
B
B
x＞－2且x≠2
－5
15．(例1变式)汽车油箱中有汽油50升，如果不再加油，那么油箱中的
油量y(升)随行驶路程x(千米)的增加而减少，平均耗油量为0.1升/千米．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)指出自变量x的取值范围；
(3)汽车行驶400千米时，油箱中还有多少汽油？
(4)油箱中有油20升时，汽车行驶了多少千米？
解：(1)y＝50－0.1x (2)0≤x≤500 (3)令x＝400，则y＝50－0.1×400＝
10(升) (4)令y＝20，则20＝50－0.1x，解得x＝300(千米)
16．某学校组织学生到离校6 km的光明科技馆参观，学生小明因事没
能乘上校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的
收费标准如下表：
(1)写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)(x≥3)之间的函数关系式；
(2)小明身上仅有14元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理
由．
解：(1)y＝8＋(x－3)×1.8，即y＝1.8x＋2.6(x≥3) (2)当x＝6时，y＝
13.4＜14，车费够
路程 收费
3 km以下(含3 km) 8.00元
3 km以上每1 km 1.80元
17．将长为30 cm，宽为10 cm的矩形白纸按如图的方法粘合起来，粘
合部分宽为3 cm.
(1)求5张白纸粘合后的长度；
(2)设x张白纸粘合后的总长度为y(cm)，写出y与x之间的函数关系式，
并求出x＝20时y的值及y＝813时x的值．
解：(1)30×5－4×3＝138(cm) (2)y＝27x＋3(x取正整数)；当x＝20
时，y＝27×20＋3＝543(cm)；当y＝813时，27x＋3＝813，解得x＝30
18．如图，矩形ABCD中，当点P在边AD(不包括A，D两点)上从A向
D移动时，有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变，而有些则发
生了变化．
(1)试分别写出长度变化和不变的线段，面积变化和不变的三角形；
(2)假设矩形的长AD为10 cm，宽AB为4 cm，线段AP的长为x cm，分
别写出线段PD的长度(y)，△PCD的面积(S)与x之间的函数解析式，并指
出自变量的取值范围．
方法技能：
1．在理解函数的定义时要抓住三点：①有一个变化的过程；②有两个变
量x和y；③变量x的值确定后，变量y都有唯一值与之对应．
2．在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表
示y.
3．确定自变量的取值范围时，不仅要使函数解析式有意义，还要使实际
问题有意义．
易错提示：
1．对函数的定义理解不透彻，导致判断出错．
2．求自变量取值范围时，考虑问题不全面而出错．
第1课时 函数的图象及其画法
知识点1：函数的图象
1．(2016·南宁)下列各曲线中表示y是x的函数是( )D
2．(2016·六盘水)为了加强爱国主义教育，每周一学校都要举行庄严
的升旗仪式，同学们凝视着冉冉上升的国旗，下列哪个函数图象能近
似地刻画上升的国旗离旗杆顶端的距离与时间的关系( )A
3．小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，
打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离
家的距离y(米)与时间t(分钟)之间关系的大致图象是( )B
4．均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随
时间t变化的函数图象是( )A
5．如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季
某天气温T随时间t的变化而变化的关系，观察图象得到下列信
息，其中错误的是( )
A．凌晨4时气温最低为－3 ℃
B．14时气温最高为8 ℃
C．从0时至14时，气温随时间增长而上升
D．从14时至24时，气温随时间增长而下降
C
B
A
8．(例2变式)今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的
过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t(分钟)，
所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图，下列说法错误的是(
)
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
C
9．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程s(米)与时间t(分钟)之
间的函数关系如图，则下列说法错误的是( )
A．甲、乙两人进行1000米赛跑
B．甲先慢后快，乙先快后慢
C．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
D．甲先到达终点
C
10．已知点P(3，m)，Q(n，2)都
在函数y＝－x＋1的图象上，则m
＋n＝_______．－3
11．(练习2变式)画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的
图象上；
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
x … －1 0 1 …
y … …
解：(1)(2)略 (3)点A，B不在其图象上，点C在其图象上 (4)m＝5
12．某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们生产的零件
个数y(个)与生产时间t(小时)之间的函数关系如图所示．
(1)根据图象填空：
①甲、乙中，____先完成40个零件的生产任务；在生产过程中，____因
机器故障停止生产____小时；
②当t＝_________时，甲、乙生产的零件个数相同．
(2)谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产
零件的个数．
甲 甲
2
3，5.5
13．(例2变式)如图是某汽车的速度随时间变化的情况．
(1)这辆汽车的最高时速是多少？
(2)汽车在行驶了多长时间后停了下来，停了多长时间？
(3)汽车在第一次匀速行驶时共用了几分钟？速度是多少？在这段时间
内，它走了多远？
解：(1)120千米/时 (2)10分钟后，停了2分钟 (3)4分钟，90千米/时，
6千米
14．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时
出发．设慢车行驶的时间为x(单位：h)，两车之间的距离为y(单位：km)，
图中的折线表示y与x之间的函数关系．
根据图象可以读取下列信息：
(1)甲、乙两地之间的距离为______km；
(2)图中点B的实际意义为________________________；
(3)根据图象中的信息求慢车和快车的速度．
900
行驶了4h两车相遇
解：设快车和慢车的速度分别是a km/h，b km/h，根据题意可知
慢车行驶的时间为12 h，行驶的路程为900 km，所以b＝
900÷12＝75(km/h)，根据图象可知，两车经过4 h相遇，即4a＋
4b＝900，即4a＋4×75＝900，解得a＝150，所以慢车和快车
的速度分别为75 km/h，150 km/h
方法技能：
1．函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足其函数解析式；满足函数
解析式的任意一对x，y的值所对应的点一定在函数图象上．
2．画函数图象，列表时要先确定自变量的取值范围，然后按照由小到大
的顺序取值，使之能较全面地反映图象的情况；连线时要按照自变量由小
到大的顺序连接，连线要平滑，能反映图象的变化趋势．
易错提示：
画函数图象时易忽视自变量的取值范围而出错．
第2课时 函数的表示方法
知识点1：列表法
1．每支晨光自动笔的价格是2元，请你根据所给条件完成下表：
解：略
x(支) 1 2 3 4 5 6 …
y(元) 2 …
知识点2：解析式法
2．汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶的
时间为t小时，则s与t的函数解析式为___________．
3．校园里栽下一棵1.8米高的小树，以后每年生长0.3米，则n年后的树
高L与年数n之间的函数关系式是________________．
s＝60t
L＝1.8＋0.3n
4．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2
个图案由7个基础图形组成，…设第n(n是正整数)个图案是由y个基
础图形组成，则y与n之间的关系式是( )
A．y＝4n B．y＝3n C．y＝6n D．y＝3n＋1
D
知识点3：图象法
5．由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库
的蓄水量V(万立方米)与干旱的时间t(天)的关系如图，则下列说法正确
的是( )
A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万立方米
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万立方米
C．干旱开始时，蓄水量为200万立方米
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万立方米
A
6．(2016·安徽)一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，
AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时
的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑
至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确
反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系
的图象是( )A
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是
每升________元．5.09
7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是
每升________元．5.09
8．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生匀速跑步运动的函数图象，
图中s和t分别表示运动路程和时间．根据图象判断跑步快者比慢者每秒
快____m.1.5
9．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，
在销售了一部分西瓜后，余下的每千克降价0.4元，全部售完，销售金额
与所卖西瓜数量之间的关系如图，求小李一共赚了多少元钱？
解：64÷40＝1.6(元/千克)，(76－64)÷(1.6－0.4)＝10(千克)，76－(40＋
10)×0.8＝76－40＝36(元)，故小李一共赚了36元钱
10．在某次实验中，测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表，
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的( )
A.v＝2m－2 B．v＝m2－1
C．v＝3m－3 D．v＝m＋1
B
m 1 2 3 4
v 0.01 2.9 8.03 15.1
11．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M
方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如
果y关于x的函数图象如图②，则当x＝9时，点R应运动到( )
A．M处 B．N处 C．P处 D．Q处
D
12．小亮早晨从家骑车去学校，先走下坡路，然后走上坡路，去时
行程情况如图．若返回时，他的下坡和上坡速度仍保持不变，那么小亮
从学校按原路返回家用的时间是____分．34
13．(例4变式)下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：
(1)如果用x表示时间，y表示电话费，上表反映了哪两个变量之间的关
系？哪个是自变量？哪个是函数，请用式子表示它们的关系；
(2)随x的变化，y的变化趋势是什么？
(3)丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付多少元？
(4)你能帮丽丽预测一下，如果打10分钟的电话，需付多少元话费？
解：(1)电话费与时间之间的关系，时间是自变量，y是x的函数，y＝
0.6x (2)上升 (3)3.0元 (4)6.0元
时间(分) 1 2 3 4 5 6 7
电话费(元) 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
14．(习题13变式)有一天，龟、兔进行了600米赛跑，如图表示龟兔赛
跑的路程s(米)与时间t(分钟)的关系(兔子睡觉前后速度保持不变)，根据图
象回答以下问题：
(1)赛跑中，兔子共睡了多少时间？
(2)赛跑开始后，乌龟在第几分钟时从睡觉的兔子旁经过？
(3)兔子跑到终点时，乌龟已经到了多长时间？并求兔子赛跑的平均速
度．
15．小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，行驶若
干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(升)与行驶时间
t(小时)之间的关系如图．
(1)请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升？
(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；
(3)已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站
距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理
由．
解：(1)3小时，31升 (2)因为汽车出发前油箱
有油50升，汽车每小时用油12升，所以y＝－
12t＋50(0≤t≤3) (3)汽车要准备油
210÷70×12＝36(升)，因为45升＞36升，所
以油箱中的油够用
方法技能：
1．函数的表示方法共有三种：列表法、解析式法、图象法，它们分别从
数、式和形的角度反映了函数的本质．
2．根据图象读取信息时要把握三个方面：(1)横轴和纵轴的意义及横轴、
纵轴分别表示的量；(2)关于某个具体点，可向横、纵轴作垂线，从而求
得该点的坐标；(3)在实际问题中，要注意图象与横、纵轴的交点坐标代
表的具体意义．
易错提示：
对实际问题中函数图象的意义理解易出错．
第1课时 正比例函数的定义
知识点1：正比例函数的定义
1．在下列关系中，是正比例关系的是( )
A．当路程s一定时，速度v与时间t
B．圆的面积S与圆的半径R
C．正方体的体积V与棱长a
D．正方形的周长C与它的边长a
D
C
C
A
6．(练习2变式)写出下列函数关系式，并判断哪个是正比例函数：
(1)已知圆的周长C是半径r的函数；
(2)油箱中有油30升，若油从油管中均匀流出，150分钟流尽，则油箱
中余油量Q(升)是流出时间t(分)的函数；
(3)若小明以4千米/时的速度匀速前进，则他所走的路程s(千米)是时间
t(时)的函数；
(4)某种商品每件进价100元，售出每件获利20%，销售额y(元)是售出
商品x(件)的函数．
解：(1)C＝2πr，是正比例函数 (2)Q＝30－ t，不是正比例函数
(3)s＝4t，是正比例函数 (4)y＝120x，是正比例函数
①④⑥
B
10．已知A，B两地相距30 km，小明以6 km/h的速度从A地步行到B地，
若设他步行的路程为y km，步行的时间为x h.
(1)求y与x之间的函数解析式，并指出y是x的什么函数；
(2)写出该函数自变量的取值范围．
解：(1)y＝6x，正比例函数 (2)0≤x≤5
方法技能：
理解正比例函数的定义应注意三点：①自变量x的指数为1；②比例系数
k≠0；③函数式是含自变量x的单项式．
易错提示：
忽略正比例函数定义中条件k≠0而出错．
第2课时 正比例函数的图象和性质
知识点：正比例函数的图象与性质
1．当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象大致是( )A
2．(2016·丽水)在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上
的是( )
A．M(2，－3)，N(－4，6)
B．M(－2，3)，N(4，6)
C．M(－2，－3)，N(4，－6)
D．M(2，3)，N(－4，6)
A
C
4．已知正比例函数y＝(m＋2)x经过第二、四象限，则m_______，y随
x的增大而________．
5．若点(－3，m)和点(4，n)都在函数y＝－5x的图象上，则m，n的大
小关系是__________．
＜－2
减小
m＞n
6．如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax；②y＝
bx；③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为__________．a＜c＜b
7．已知正比例函数y＝(1－2a)x.
(1)a为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)a为何值时，y随x的增大而减小？
(3)若函数图象经过(－1，2)，求此函数的解析式并作出图象．
B
A
10．(2016·眉山)若函数y＝(m－1)x|m|是正比例函数，则该函数的图象
经过第___________象限．二、四
11．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，点A，D分别是x
轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，求k的值．
解：设A点坐标为(a，0)，则B点坐标为(a，2a)，即AB＝2a，∴D点坐
标为(3a，0)，由此可得C点坐标为(3a，3ak)，又∵DC＝AB＝2a，∴3ak
＝2a，解得k＝
方法技能：
1．因为两点确定一条直线，所以可用“两点法”画正比例函数y＝
kx(k≠0)的图象．一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数y＝
kx的图象，有时也要根据实际情况灵活选择．
2．有些正比例函数的图象根据自变量的取值范围的不同会有所变化，表
现为一条射线或一条线段，或是直线上的点等．
易错提示：
画正比例函数的图象时，易忽视自变量的取值范围．
第1课时 一次函数
C
B
4．若函数y＝(n＋2)x＋(n2－4)是一次函数，则n________；若函数y＝
(n＋2)x＋(n2－4)是正比例函数，则n＝____．
≠－2
2
知识点2：列一次函数解析式
5．据调查，某地铁自行车存放处在某星期天的存车量为4000辆次，
其中变速车存车费是每辆一次0.30元，普通自行车存车费是每辆一次
0.20元，若普通自行车存车数为x辆，存车费总收入为y元，则y关于x的
函数关系式为( )
A．y＝0.10x＋800(0≤x≤4000)
B．y＝0.10x＋1200(0≤x≤4000)
C．y＝－0.10x＋800(0≤x≤4000)
D．y＝－0.10x＋1200(0≤x≤4000)
D
6．一棵白杨树现在高30 cm，每年长高40 cm，x年后这棵树的高度
h(cm)与年数x的关系式为___________________，它____(填“是”或
“不是”)一次函数．
7．水池中有水465 m3，每小时排水15 m3，排水t h后，水池中还有水y
m3，则y与t之间的函数关系式为______________，它是_______函数．
h＝40x＋30 是
y＝465－15t 一次
8．(练习3变式)写出下列各题中y与x之间的解析式，并判断y是否是x
的一次函数．
(1)民用电费标准是每千瓦时0.53元，则电费y(元)与用电量x(千瓦时)之
间的关系；
(2)张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生
票每张5元，则门票总费用y(元)与学生数x(人)的关系；
(3)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千
克收取1.5元的行李费，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千
克)(x＞20)的关系．
解：(1)y＝0.53x，是 (2)y＝10＋5x，是 (3)y＝1.5x－30，是
知识点3：一次函数与求值
9．(练习2变式)一次函数y＝kx＋3中，当x＝2时，y＝－3，则当x＝－
2时，y的值为( )
A．－1 B．－3 C．7 D．9
10．(习题6变式)若一次函数y＝kx＋b，当x＝－2时，y＝7；当x＝1时，
y＝－11，则k，b的值为( )
A．k＝6，b＝5 B．k＝－1，b＝－5
C．k＝－6，b＝－5 D．k＝1，b＝5
D
C
11．下列说法中错误的是( )
A．一般地，如果y＝kx＋b，那么y是x的一次函数
B．y＝－5x是一次函数，也是正比例函数
C．在3x－y＝0中，y与x成正比例
D．若y＝(m2－4)x－3是一次函数，则m≠±2
A
12．(习题3变式)某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km
时，油箱中的汽油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x
km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围
分别是( )
A．y＝0.12x，x＞0
B．y＝60－0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
D
B
②④⑤⑥
⑤⑥
15．某种手机月租费为15元，每通话一次话费为0.2元，则月费用y(元)
与通话次数x(次)之间的函数关系式为__________________，自变量x的取
值范围是__________________．
16．当m＝__________________时，函数y＝(m＋3)xm＋1＋4x－5(x≠0)是
一次函数．
17．已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
解：(1)根据一次函数的定义，有m＋1≠0，且 2－|m|＝1，解得m＝1，
∴m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)根据正比例函数的定
义，有m＋1≠0且2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝1，n＝－4，∴当m＝1，n
＝－4时，这个函数是正比例函数
y＝0.2x＋15
x≥0且x为整数
－3或－1或0
19．小明受《乌鸦喝水》的故事启发，利用水桶和体积相同的小球进行
了如下操作，请根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球后水桶中水面升高____cm；
(2)求放入小球后水桶中水面的高度y(cm)与小球的个数x(个)之间的一次
函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)
(3)水桶中至少放入几个小球时有水溢出？
解：(2)因为每放入一个小球后，水面升高2 cm，所以y＝30＋2x (3)由
2x＋30＞49，得x＞9.5，即至少放入10个小球时有水溢出
2
方法技能：
1．判断函数是否是一次函数的方法：一看形式是否为y＝kx＋b；二看自
变量x的次数是否为1，三看k是否为0.
2．正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是特殊的一次函数(b＝0)，
一次函数包含正比例函数．
易错提示：
对一次函数的定义理解不透彻而导致判断失误．
第2课时 一次函数的图象和性质
知识点1：一次函数的图象
1．(2016·牡丹江)在平面直角坐标系中，直线y＝2x－6不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2016·河北)若k≠0，b＜0，则y＝kx＋b的图象可能是( )
B
B
3．若点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，则k的值是____．1
知识点2：一次函数的性质
4．若一次函数y＝(m－3)x＋4的函数值y随x的增大而增大，则( )
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞3 D．m＜3
5．(习题12变式)若一次函数y＝kx＋b的函数值y随x的增大而减小，
且图象与y轴的正半轴相交，那么对k和b的符号判断正确的是( )
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
6．已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－3x＋5图象上的两点，
则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．以上都不对
C
C
A
7．(2016·玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是(
)
A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1，0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
D
8．已知一次函数y＝(2m＋4)x＋m－3.
(1)当m为何值时，y随x的增大而增大？
(2)当m为何值时，图象与y轴的交点在x轴下方？
(3)当m为何值时，函数图象经过原点？
(4)当m为何值时，函数图象平行于直线y＝－x?
知识点3：一次函数图象的平移
9．将函数y＝－3x的图象沿y轴向上平移2个单位长度后，所得图象对
应的函数关系式为( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2
C．y＝－3(x＋2) D．y＝－3(x－2)
10．(2016·娄底)将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的
解析式是________________．
A
y＝2x－2
11．(2017·宿迁模拟)在平面直角坐标系中，若直线y＝kx＋b经过第
一、三、四象限，则直线y＝bx＋k不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
C
13．在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到
直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是( )
A．将l1向右平移3个单位长度
B．将l1向右平移6个单位长度
C．将l1向右平移2个单位长度
D．将l1向右平移4个单位长度
A
B
15．(2016·永州)已知一次函数y＝kx＋2k＋3的图象与y轴的交点在y轴的
正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k可能取得的整数值为____．
16．如图是一次函数y＝kx＋b的图象．
(1)试确定k，b的符号；
(2)若两点(－2，m)，(3，n)在这个函数的图象上，试比较m，n的大小．
解：(1)k＜0，b＞0 (2)m＞n
－1
18．如图，点B是直线y＝－x＋8在第一象限的一个动点，A(6，0)，设
△AOB的面积为S，点B的横坐标为x.
(1)写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
(2)画出S与x之间的函数图象；
(3)△AOB的面积能等于30吗？为什么？
解：(1)S＝－3x＋24(0＜x＜8) (2)图象略 (3)不能，因为S＝30时，x＝
－2，点B在第二象限
第3课时 用待定系数法求一次函数解析式
知识点1：用待定系数法求一次函数解析式
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)和(1，0)，则这个函数的
解析式是( )
A．y＝2x＋3 B．y＝3x＋2
C．y＝x＋2 D．y＝－2x＋2
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A．k＝2 B．k＝3 C．b＝2 D．b＝3
D
D
3．如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于
点B，则这个一次函数的解析式是( )
A．y＝2x＋3 B．y＝x－3
C．y＝2x－3 D．y＝－x＋3
4．根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为(
)
A.1 B．－1 C．3 D．－3
D
A x －2 0 1
y 3 p 0
知识点2：一次函数的图象与坐标轴围成的面积
6．一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点坐标是___________，与y
轴的交点坐标是________，图象与坐标轴所围成的三角形的面积是
____．
(2，0)
(0，4)
4
B
C
10．(2016·温州)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B
两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂
线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式是(
)
A．y＝x＋5 B．y＝x＋10
C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10
C
11．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝2x的图象
平行且经过点A(1，－2)，则kb＝________.
第11题图 第12题图
12．如图，直线y＝kx＋b与y轴交于点A(0，2)，与x轴交于点B，
若AB＝ ，则函数的解析式为__________________．
－8
y＝－2x＋2
13．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象过点(0，2)，且与两坐标轴围成
的三角形面积为2，则这个一次函数的解析式是_________________．
14．如图，一条直线过点A(0，4)，B(2，0)，将这条直线向左平移与x
轴、y轴的负半轴分别交于点C，D，使DB＝DC.求过点C，D的一次函数
解析式．
解：y＝－2x－4
y＝x＋2或y＝－x＋2
16．如图，已知直线y＝x＋3的图象与x轴、y轴分别交
于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把
△AOB的面积分为2∶ 1的两部分，求直线l的解析式．
方法技能：
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：①设：设解析式为y＝kx＋b；
②代：将已知的值代入所设的解析式，得到关于k，b的方程组；③解：解
方程组求k，b的值；④写：将k，b的值代回解析式中，并写出解析式．
易错提示：
1．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积，求直线解析式，由于用
坐标表示线段长度时不加绝对值符号而造成漏解．
2．已知一次函数y＝kx＋b中x及对应的y的取值范围求k，b值，未分类
讨论而造成漏解．
第4课时 一次函数的应用
知识点1：一次函数的简单应用
1．弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，由图可知，不挂
物体时，弹簧的长度为( )
A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm
D
2．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y(升)
与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达
乙地时油箱剩余油量是____升．20
3．鞋子的鞋码和鞋长(cm)存在一种换算关系，下表是几组鞋码与鞋长
换算的对应数值：(注：鞋码是表示鞋子大小的一种号码)
鞋长(cm) 16 19 21 24
鞋码 22 28 32 38
(1)通过分析观察，鞋码y与鞋长x之间的关系是一次函数的
关系，试求此一次函数的解析式；
(2)如果某人穿44号鞋码的鞋，那么他的鞋长是多少？
解：(1)y＝2x－10 (2)27 cm
知识点2：分段函数
4．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反
映的是每月收取水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系，当每月用水
量8吨时，水费是_______元；当每月用水量14吨时，水费是____元．17.6 36
5．(2016·阜新)一辆汽车由A地开往B地，它距离B地的路程
s(km)与行驶时间t(h)的关系如图所示，如果汽车一直快速行驶，
那么可以提前____小时到达B地．2
6．(2017·绵阳模拟)一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4
分内只进水不出水，在随后的8分内既进水又出水，每分的进水量和出
水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的
关系如图所示．
(1)当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出每分进水、出水各多少升．
7．某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2
小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的进度均保持不变)，储运
部库存物资s(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从
开始调进到全部调出需要的时间是( )
A．4小时 B．4.4小时
C．4.8小时 D．5小时
B
8．(练习2变式)如图①，在某个盛水容器中，有一个小水杯，小
水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯
后，继续注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间x(s)之间的关系
满足图②中的图象，则至少需要____s能把小水杯注满水．5
9．(2017·武汉模拟)某医药研究所研发了一种新药，在试验药效时发
现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时血液中含药量最高，
达每毫升6微克(1微克＝10－3毫克)，接着逐渐衰减，服药后10小时血液
中含药量为3微克，含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成
人按规定剂量服药后：
(1)分别求出当0≤x≤2和x＞2时，y和x之间的函数解析式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有
效的，那么这个有效时间是多长？
10．(例5变式)某玉米种子的价格为a元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，
超过2千克部分的种子价格打8折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量
的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制
的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为(2，10)，请你结合表格和图象：
付款金额(元) a 7.5 10 12 b
购买量(千克) 1 1.5 2 2.5 3
(1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量x，并写
出表中a，b的值；
(2)求出当x＞2时，y关于x的函数解析式；
(3)甲农户将8.8元钱全部用于购买该玉米种子，乙农户购买
了4165克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额．
11．(2017·黑龙江模拟)某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时
妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要
下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终
在同一条笔直的公路上行走)．如图是两人离家的距离y(米)与张强出发
的时间x(分)之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
(1)求张强返回时的速度；
(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
(3)请直接写出张强与妈妈何时相距1000米？
方法技能：
一次函数的应用：一般将实际问题抽象为函数模型，再利用函数的性质
解决问题；有的函数随着自变量取值范围的变化有着不同的解析式，我们
称这样的函数为分段函数，分段函数在各解析式后面要注明自变量的取值
范围．
易错提示：
运用分段函数的解析式时，不分类讨论导致漏解．
第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式
知识点1：一次函数与一元一次方程
1．(2016·桂林)如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方
程ax＋b＝0的解是( )
A．x＝2
B．x＝0
C．x＝－1
D．x＝－3
D
2．一元一次方程ax－b＝0的解是x＝5，则函数y＝ax－b的图象与x轴
的交点坐标是( )
A．(－5，0) B．(5，0)
C．(a，0) D．(－b，0)
B
3．已知一次函数y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)中，x与y的部分对应值
如表，那么关于x的方程ax＋b＝0的解是________．x＝2
x －1 0 1 2 3 4
y 6 4 2 0 －2 －4
4.已知直线y＝kx＋b经过点(2，1)，则方程kx＋b＝1的解为_______．x＝2
知识点2：一次函数与一元一次不等式
5．如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A(－2，0)，B(0，3)两点，则不等
式kx＋b＞0的解集是( )
A．x＞3 B．－2＜x＜3
C．x＜－2 D．x＞－2
D
6．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点(0，1)，则关
于x的不等式kx＋b＞1的解集是( )
A．x＞0 B．x＜0
C．x＞1 D．x＜1
7．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x＜0时，y的取
值范围是( )
A．y＞0 B．y＜0
C．－2＜y＜0 D．y＜－2
B
D
8．若不等式ax＜b的解集为x＞2，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是
( )D
9．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过两点A(0，1)，B(2，0)，则当
x____时，y≤0.≥2
10．(原创题)如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于点A(－3，0)，B(0，5)
两点，则方程－kx－b＝0的解为( )
A．x＝－3 B．x＝－5
C．x＝3 D．x＝5
A
11．如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不
等式 x＞kx＋b＞－2的解集为( )
A．x＜2 B．x＞－1
C．x＜1或x＞2 D．－1＜x＜2
D
12．已知y＝kx＋2，当x＜－1时，其图象在x轴下方；当x＞－1时，
其图象在x轴上方，则k＝____．
13．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x＋
2)＋2b＞0的解集为__________．
2
x＞－8
15．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧时间
x(h)之间为一次函数关系．根据下图提供的信息，解答下列问题：
(1)求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式；
(2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．
解：(1)y＝－6x＋24 (2)由图象可知，当x＝4时，y
＝0，所以蜡烛从点燃到燃尽所用时间为4 h
方法技能：
1．一次函数与一次方程的关系：ax＋b＝0(a≠0)的解⇔函数y＝ax＋
b(a≠0)中，y＝0时x的值；ax＋b＝0(a≠0)的解⇔函数y＝ax＋b(a≠0)的图
象与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式的关系，任何一元一次不等式都可以化
为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等
式就可以看成当一次函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范
围．从图象上看，ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集⇔直线y＝ax＋b(a≠0)位于x
轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
易错提示：
因数形不对应而导致错解一元一次不等式．
第2课时 一次函数与二元一次方程组
B
B
A
C
5
x＞－2
解：4
8．若方程2x＋1＝－x＋m的解是x＝1，则直线y＝2x＋1与y＝－x＋
m的交点的坐标是( )
A．(1，0) B．(1，3)
C．(－1，－1) D．(－1，5)
9．如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，
3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是( )
A．x＞－2 B．x＞0
C．x＞1 D．x＜1
B
C
10．直线y＝x＋1与y＝－2x＋a的交点在第一象限，则a的取值
可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
11．(2016·葫芦岛)甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶
过程中，汽车离开A城的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)的函数图象
如图所示，下列说法正确的有( )
①甲车的速度为50 km/h；②乙车用了3 h到达B城；③甲车出发4
h时，乙车追上甲车；④乙车出发后经过1 h或3 h两车相距50 km.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
D
14．某中学八年级甲、乙两班准备举行一次远足活动，A，B两地相
距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行
到A地，两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班
离A地的距离分别为y1千米、y2千米，y1，y2与x的函数关系图象如图
所示，根据图象解答下列问题：
(1)直接写出y1，y2与x的函数关系式；
(2)求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少
千米？
(3)甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？
方法技能：
一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应着两条
直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数
的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于
确定两条直线交点的坐标．
19．3 课题学习 选择方案
知识点：方案选择
1．(2017·贵阳模拟)一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式
供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式
的通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系如图所示．小红
根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描
述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500分钟时，选
择有月租费的收费方式省钱．其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
D
2．(2016·临沂)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高
速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递
公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22
元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：
按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千
克)之间的函数关系式；
(2)小明选择哪家快递公司更省钱？
3．(问题1变式)随着信息技术的快速发展，“互联网”渗透到我们
日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦．现有某教学网
站策划了A，B两种上网学习的月收费方式：
收费
方式
月使用
费/元
包时上网
时间/h
超时费
(元/min)
A 7 25 0.01
B m n 0.01
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB.
(1)下图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝____，n
＝____；
(2)写出yA与x之间的函数关系式；
10
50
4．(2017·梧州模拟)某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推
出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳
x次时，所需总费用为y元．
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图，请求出
点A，B，C的坐标；
(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
5．某单位准备印刷一批证书，现有两个印刷
厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部
分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两
厂的印刷费用y(千元)与证书数量x(千个)的函数
关系图象分别如图中甲、乙所示．
(1)请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数
解析式，并求出其证书印刷单价；
(2)当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节
省费用，节省费用多少元？
(3)如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下
来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降
低多少元？
6．(问题2变式)(2016·黄冈)某农机租赁公司共有50台收割机，其中
甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水
稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机公司商定
的每天租赁价格如下表：
每台甲型收
割机的租金
每台乙型收
割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一
天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元，
试写出满足条件的所有分派方案；
(3)为农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获
得租金最高，并说明理由．
解：(1)由于派往A地乙型收割机x台，则派往B地乙型收割机为(30－x)
台，派往A，B地区的甲型收割机分别为(30－x)台和(x－10)台，∴y＝
1600x＋1200(30－x)＋1800(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋
74000(10≤x≤30且x为整数) (2)由题意得200x＋74000≥79600，解得x≥28，
∵28≤x≤30，x是正整数，∴x＝28，29，30，∴有3种不同分派方案：
①当x＝28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，余者全
部派往B地区；②当x＝29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割
机29台，余者全部派往B地区；③当x＝30时，即30台乙型收割机全部
派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区 (3)∵y＝200x＋74000中
y随x的增大而增大，∴当x＝30时，y取得最大值，此时，y＝200×30＋
74000＝80000, 建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，
20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得租金最高，最高租
金为80000元
方法技能：
用数学方法选择方案一般可分为三步：
①构建函数模型，找出函数关系式；
②确定自变量的取值范围或是针对自变量的取值进行讨论；
③由函数的性质(或经过比较后)直接得出最佳方案．
易错提示：
利用一次函数解决实际问题时，因忽视或弄错自变量的取值范围而
出错．
综合训练(四) 一次函数
C
C
3．A，B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图
中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(小时)之
间的关系，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后
追上甲；③甲的速度是4千米/小时；④乙先到达B地．其中正
确的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
B
4．对于一次函数y＝kx＋k－1(k≠0)，下列叙述正确的是( )
A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
B．当k＞0时，y随x的增大而减小
C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D．函数图象一定经过点(－1，－2)
C
A
6．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量
y(单位：件)与时间t(单位：天)的函数关系，图②是一件产品的销售利
润z(单位：元)与时间t(单位：天)的函数关系，已知日销售利润＝日销
售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是( )
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
C
3
＜
四
11．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则kx＋b＞x＋a的
解集是____________．x＜－2
12．正方形A1B1C1O和A2B2C2C1按如图方式放置，点A1，A2在直线
y＝x＋1上，点C1，C2在x轴上．已知A1点的坐标是(0，1)，则点B2
的坐标为__________．(3，2)
13．(2016·重庆)甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，
分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知
甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的
距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，
甲距终点的距离是____米．175
三、解答题
14．一次函数y＝kx＋b的图象经过M(0，2)，N(1，3)两点．
(1)求k，b的值；
(2)若一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b交x轴于点A，交y
轴于点B，线段AB的中点E的坐标为(2，1)．
(1)求k，b的值；
(2)P为直线AB上一点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，若四边形
PCOD为正方形，求点P的坐标．
17．1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升．与此同时，
2号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升，两个气球都匀
速上升了50 min.设气球上升时间为x min(0≤x≤50)．
(1)根据题意，填写下表：
上升时间/min 10 30 … x
1号探测气球所在位置
的海拔/m 15 35 … x＋5
2号探测气球所在位置
的海拔/m 20 30 … 0.5x＋15
(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了
多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；
(3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
解：(2)两个气球能位于同一高度．根据题意得x＋5＝0.5x＋15，解
得x＝20，∴x＋5＝25，则此时，气球上升了20 min，都位于海拔25 m
的高度 (3)当30≤x≤50时，由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始
终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在的位置的海拔相差y m，
则y＝(x＋5)－(0.5x＋15)＝0.5x－10，∵0.5＞0，∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y取得最大值15，即两个气球所在的位置海拔最多相差
15 m
18．如图①，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行
驶，图②为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图象．
(1)填空：甲、丙两地距离_______千米；
(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式，并写出x
的取值范围．
1050
19．如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴
以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随
之移动，设移动时间为t秒．
(1)当t＝3时，求l的解析式；
(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；
(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．
解：(1)直线y＝－x＋b交y轴于点P(0，b)，b＝1＋t，当t＝3时，b＝4，
∴y＝－x＋4 (2)当直线y＝－x＋b过M(3，2)时，2＝－3＋b，解得b＝
5，∴5＝1＋t，∴t＝4；当直线y＝－x＋b过N(4，4)时，4＝－4＋b ，
解得b＝8，∴8＝1＋t，∴t＝7，∴4＜t＜7 (3)t＝1时，落在y轴上；t
＝2时，落在x轴上
20．(2016·荆门)A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这
些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需
要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分
别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为
150元/台和240元/台．
(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关
于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多
少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；
(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a
元(a≤200)作为优惠，其他费用不变，如何调运，使总费用最少？
解：(1)W＝250x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)，即W＝140x
＋12540(0≤x≤30) (2)根据题意得140x＋12540≥16460，∴x≥28，
∵x≤30，∴28≤x≤30，∴有3种不同的调运方案：从A城至C乡运28台，
A城至D乡运2台，从B城至C乡运6台，B城至D乡运34台；从A城至C乡
运29台，A城至D乡运1台，从B城至C乡运5台，B城至D乡运35台；从A
城至C乡运30台，A城至D乡运0台，从B城至C乡运4台，B城至D乡运36
台 (3)W＝(250－a)x＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(6＋x)＝(140－a)x
＋12540，当0＜a＜140时，140－a>0，x＝0时，W最小，此时从A城至
C乡运0台，A城至D乡运30台，从B城至C乡运34台，B城至D乡运6台；
当a＝140时，W＝12540，各种方案费用一样多；当140＜a＜200时，
140－a＜0，x＝30时，W最小，此时从A城至C乡运30台，A城至D乡运
0台，从B城至C乡运4台，B城至D乡运36台
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