资料简介
1
认识三角形
第四章 三角形
第
1
课时 三角形的内角和
1.
了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形
;
2.
会按角的大小对三角形进行分类
;
3.
掌握三角形的内角和等于
180
°，并会据此解决简单
的问题
.
（重点、难点）
学习目标
导入新课
埃及金字塔
氨气分子结构示意图
飞机机翼
问题：
（
1
）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑
物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（
2
）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例
.
讲授新课
三角形的概念
一
问题
1
：
观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形
?
定义：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形
.
问题
2
：
三角形中有几条线段
?
有几个角
?
A
B
C
边：
线段
AB
，
BC
，
CA
是三角形的边
.
顶点
：点
A
，
B
，
C
是三角形的顶点，
角：
∠
A
，
∠
B
，
∠
C
叫作三角形的内角，简称三角
形的角
.
有
三
条线段，
三
个角
记法：
三角形
ABC
用符号表示
________.
边的表示：
三角形
ABC
的边
AB
、
AC
和
BC
可用小写字母分别表示为
________.
△
ABC
c
，
a
，
b
边
c
边
b
边
a
顶点
C
角
角
角
顶点
A
顶点
B
辨一辨：
下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次相接
.
三角形应满足以下两个条件：
要点提醒
表示方法：
三角形用符号“
△
”表示；记作“
△
ABC
”，读作“三角形
ABC
”，除此
△
ABC
还可记作
△
BCA
,
△
CAB
, △
ACB
等
.
基本要素：
三角形的
边
：边
AB
、
BC
、
CA
；
三角形的
顶点
：顶点
A
、
B
、
C
；
三角形的内角
(
简称为三角形的
角
）：
∠
A
、 ∠
B
、 ∠
C
.
特别规定：
三角形
ABC
的三边
,
一般的顶点
A
所对的边记作
a
,
顶点
B
所对的边记作
b
,
顶点
C
所对的边记作
c
.
5
个，它们分别是△
ABE
,
△
ABC
,
△
BEC
,
△
BCD
,
△
ECD
.
找一找
：
(1)
图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
(2)
以
AB
为边的三角形有哪些？
△
ABC
、△
ABE.
（
3
）
以
E
为顶点的三角形有哪些？
△
ABE
、△
BCE
、 △
CDE.
（
4
）
以
∠
D
为角的三角形有哪些？
△
BCD
、 △
DEC.
（
5
）
说出△
BCD
的三个角和三个顶点所对的边
.
△
BCD
的三个角是
∠
BCD
、
∠
BDC
、
∠
CBD
.
顶点
B
所对应的边为
DC
，顶点
C
所对应的边为
BD
，顶点
D
所对应的边为
BC
.
A
B
C
D
E
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角
.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明
.
从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
还有其他的拼接方法吗？
三角形的内角和
二
探究：
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起
.
验证结论
三角形三个内角的和等于
180
°
.
求证：
∠
A
+∠
B
+∠
C
=180°.
已知：
△
ABC.
证法
1
：过点
A
作
l
∥BC
，
∴∠
B
=∠1.
(
两直线平行
,
内错角相等
)
∠
C
=∠2.
(
两直线平行
,
内错角相等
)
∵∠2+∠1+∠
BAC
=180°
，
∴∠
B
+∠
C
+∠
BAC
=180°.
1
2
证法
2
：
延长
BC
到
D
，
过点
C
作
CE∥BA
，
∴
∠
A
=∠1 .
(
两直线平行，内错角相等
)
∠
B
=∠2.
(
两直线平行，同位角相等
)
又
∵∠
1+∠2+∠
ACB
=180°
，
∴∠
A
+∠
B
+∠
ACB
=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法
3
：过
D
作
DE
∥
AC
,
作
DF
∥
AB
.
∴ ∠
C
=∠
EDB
,
∠
B
=∠
FDC.
(
两直线平行，同位角相等
)
∠
A
+∠
AED
=180
°
,
∠
AED
+∠
EDF
=180
°，
(
两直线平行，同旁内角相补
)
∴
∠
A=
∠
EDF.
∵∠
EDB
+∠
EDF
+∠
FDC
=180°
，
∴∠
A
+∠
B
+∠
C
=180°.
想一想：
同学们还有其他的方法吗？
思考：
多种方法证明三角形内角和等于
180
°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角
.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例
1
已知，如图，
D
是
△
ABC
中
BC
边延长线上一点，
F
为
AB
上一点，直线
FD
交
AC
于
E
，
∠
DFB
＝
90°
，
∠
A
＝
46°
，
∠
D
＝
50°.
求
∠
ACB
的度数．
解：在
△
DFB
中
，
∵∠
DFB
＝
90
°
，
∠
D
＝
50
°
，
∠
DFB
＋
∠
D
＋
∠
B
＝
180
°
，
∴∠
B
＝
40
°
.
在
△
ABC
中
，
∵∠
A
＝
46
°
，
∠
B
＝
40
°
，
∴∠
ACB
＝
180
°
－
∠
A
－
∠
B
＝
94
°
.
典例精析
同学们手中有直角三角板，请再画一个内角都不是
90°
的三角形
.
三角形按角分类
三
三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形
.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形
ABC
可以写成Rt△
ABC
；
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
根据
“
三角形的内角和为
180
°
”
易得
“
直角三角形的两个锐角互余
”.
例
2
一个三角形的三个内角的度数之比为
1∶2∶3
，这个三角形一定是
(
)
A
．直角三角形
B
．锐角三角形
C
．钝角三角形
D
．无法判定
解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是
x
，
2
x
，
3
x
，根据三角形的内角和为
180
°
，得
x
＋
2
x
＋
3
x
＝
180
°
，解得
x
＝
30
°
，
∴
这个三角形的三个内角的度数分别是
30°
，
60°
，
90°
，即这个三角形是直角三角形．
典例精析
A
例
3
如图，
CE
⊥
AF
，
垂足为
E
，
CE
与
BF
相交于点
D
，
∠
F
＝
40
°
，
∠C
＝
30°
，
求
∠
EDF
、
∠
DBC
的度数
．
解：
∵
CE
⊥
AF
，
∴
∠
DEF
＝
90
°
，
∴
∠
EDF
＝
90
°
－
∠
F
＝
90
°
－
40
°
＝
50°
.
由三角形的内角和定理得
∠
C
＋
∠
DBC
＋
∠
CDB
＝
∠
F
＋
∠
DEF
＋
∠
EDF
，
又
∵
∠
CDB
＝
∠
EDF
，
∴30°
＋
∠
DBC
＝
40°
＋
90°
，
∴
∠
DBC
＝
100°.
1.
三角形是指（ ）
A
．
由三条线段所组成的封闭图形
B
．
由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相
接组成的图形
C
．
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相
接组成的图形
D
．
由三条线段首尾顺次相接组成的图形
C
当堂练习
2.
（口答）下列各组角是同一个三角形的内角
吗？为什么？
（
2
）
60°
，
40°
，
90°
（
3
）
30°
，
60°
，
50°
（
1
）
3°
，
150°
，
27°
是
不是
不是
提醒：三角形的内角和为
180°.
3.
（
1
）在△
ABC
中
,∠
A
=35°,
∠
B
=43°
，
则∠
C
=_______;
（
2
）在△
ABC
中
,∠
C
=90°,∠
B
=50°,
则∠
A
=
_______;
（
3
）在△
ABC
中
, ∠
A
=40°,
∠
A
=2∠
B
，
则∠
C
=
________.
102
°
40
°
120
°
4
.在△
ABC
中，∠
A
的度数是∠
B
的度数的3倍，
∠
C
比∠
B
大15°，求∠
A
，∠
B
，∠
C
的度数.
设∠
B
为
x
°
，则∠
A
为
(3
x
)°
，∠
C
为
(
x
+ 15)°.
3
x
+
x
+(
x
+15)=180
，解得
x
=33.
所以
3
x
=99
，
x
+15 =48.
即∠
A
,
∠
B
,
∠
C
的度数分别为
99°
，
33°
，
48°.
根据三角形的内角和等于180°， 得
解：
5.
如图，△
ABC
中
BD
⊥
AC
，垂足为
D
，∠
ABD
=54°，
∠
DBC
=18°,求∠
A
和∠
C
的度数.
∵∠
A
+∠
ABD
+∠
ADB
=180°,
∵
BD
⊥
AC
，∴∠
ADB
=∠
CDB
=90°
.
∠
ABD
=54°，∠
ADB
=90°，
∴∠
A
=180°－∠
ABD
－∠
ADB
=180
°
－54°－90°=36°
.
解：
C
A
B
D
∠
C
=180°－
∠
A
－（∠
ABD
+∠
DBC
）
=180°－36°－（54°+18°）
=72°
.
三角形
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形
.
课堂小结
三角形按角分类
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的内角和等于
180°
直角三角形的两个锐角互余
1
认识三角形
第
2
课时 三角形的三边关系
第四章 三角形
1.
掌握三角形按边分类的方法，能够判定三角形
是否为特殊三角形
;
2.
探索并
掌握三角形三边之间的关系，
运用三角形
三边关系解决有关问题
．（重点、难点）
学习目标
三角形按角的大小关系，可分为：
导入新课
复习导入
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形若按边来分类，可分为哪几类？
三角形按边分类
一
腰
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
你能找出下列三角形各自的特点吗？
讲授新课
三边均不相等
有两条边相等
三条边均相等
三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形 ；
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫作等边三角形．
等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
总结归纳
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等
的三角形）
三角形的三边关系
二
小明
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
小明家
A
B
C
路线
1
：从
A
到
C
再到
B
的路线走；
路线
2
：沿线段
AB
走
.
请问：路线
1
、路线
2
哪条路程较短，你能说出根据吗？
解：路线
2
较短；两点之间线段最短
.
由此可以得到：
归纳总结
三角形两边的和大于第三边
.
三角形两边的差小于第三边
.
议一议
1.
在同一个三角形中
,
任意两边之和与第三边有什么
大小关系
?
2.
在同一个三角形中
,
任意两边之差与第三边有什么
大小关系
?
3.
三角形三边有怎样的不等关系
?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论
?
理由是什么？
例
1
有两根长度分别为
5cm
和
8cm
的
木棒
，用长度
为
2cm
的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长
度为
13cm
的木棒呢？
判断三条线段是否可以组成三角形，只需
说明
两条较短线段之和大于第三条线段
即可
.
解：取长度为
2cm
的木棒时，由于
2+5=7
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