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天天资源网 / 初中数学 / 三轮冲刺 / 2021年中考数学压轴题训练--图形规律探索题(附解析)

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图形规律探索题 【例 1】如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形 OA1A2 的直角边 OA1 在 y 轴的正半轴上,且 OA1=A1A2=1, 以 OA2 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA2A3,以 OA3 为直角边作第三个等腰直角三角形 OA3A4,…,依此规 律,得到等腰直角三角形 OA2017A2018,则点 A2017 的坐标为 O x y A1 A2 A3 A4 A5A6 A7 A8 【答案】(0,21008). 【解析】解:由题意知:A1(0,1),A2(1,1),OA2=A2A3= 2 ,OA3=2, ∴A3(2,0), 同理,A4(2,-2),A5(0,-4),A6(-4,-4),A7(-8,0),A8(-8,8),A9(0,16)…… 每隔 8 个点恰好处于同一坐标系或象限内,2017÷8=252……1, 即点 A2017 在 y 轴正半轴上,横坐标为 0, 各点纵坐标的绝对值为:20,20,21,21,22,22,23,23,…… 2017÷2=1008……1, 可得点 A2017 的纵坐标为:21008, 故答案为(0,21008). 【变式 1-1】如图,在一个单位为 1 的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,是斜边在 x 轴上、 斜边长分别为 2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1(2,0),A2(1,-1),A3(0, 0),则依图中所示规律,A2019 的横坐标为( ) A.-1008 B.2 C.1 D.1011 【答案】A. 【解析】解: 观察图形可知,奇数点在 x 轴上,偶数点在象限内, 所以 A2019 在 x 轴上, A1,A5,A9,A13……,A4n-3 在 x 正半轴,4n-3=2019,n=505.5,所以 A2019 不在 x 正半轴上; A3(0,0),A7(-2,0),A11(-4,0),A15(-8,0)……, 3=4×0+3,7=4×1+3,11=4×2+3,15=4×3+3,……,2019=4×504+3, ∴-2×504=-1008, 即 A2019 的坐标为(-1008,0), 故答案为:A. 【变式 1-2】如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形 OA1B1C1, 称为一次旋转,依此方式,……,绕点 O 连续旋转 2 019 次得到正方形OA2 019B2 019C2 019,如果点A 的 坐标为(1,0),那么点 B2 019 的坐标为 . 【答案】(- 2 ,0). 【解析】由旋转及正方形性质可得: B(1,1),B1(0, 2 ),B2(-1, 1),B3(- 2 ,0),B4(-1, -1),B5(0, - 2 ),B6(1, -1),B7( 2 , 0),B8(1, 1),…… ∴360÷45=8, 2019÷8=252……3, ∴点 B2019 落在 x 轴负半轴上, 即 B2019(- 2 ,0), 故答案为:(- 2 ,0). 【例 2】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点 A 顺指针旋转到△AB1C1 的位置,点 B、O 分别落在 点 B1、C1 处,点 B1 在 x 轴上,再将△AB1C1 绕点 B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置,点 C2 在 x 轴上,将△A1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置,点 A2 在 x 轴上,依次进行下去…,若点 A( 5 3 ,0),B(0,4),则点 B2016 的横坐标为( ) A.5 B.12 C.10070 D.10080 【答案】D. 【解析】解:由图象可知点 B2016 在第一象限, ∵OA= 5 3 ,OB=4,∠AOB=90°, 在 Rt△BOA 中,由勾股定理得:AB= 13 3 , 可得:B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),… ∴点 B2016 横坐标为 10080. 故答案为:D. 【变式 2-1】我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如 1,3,6,10…) 和“正方形数”(如 1,4,9,16…),在小于 200 的数中,设最大的“三角形数”为 m,最大的“正方形数” 为 n,则 m+n 的值为( ) A.33 B.301 C.386 D.571 【答案】C. 【解析】解:由图形知: 第 n 个三角形数为 1+2+3+…+n=  1 2 n n  , 第 n 个正方形数为 n2, 当 n=19 时,  1 2 n n  =190<200, 当 n=20 时,  1 2 n n  =210>200, 所以最大的三角形数:m=190; 当 n=14 时,n2=196<200, 当 n=15 时,n2=225>200, 所以最大的正方形数:n=196, 则 m+n=386, 所以答案为:C. 1.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.连接对角线 AC,以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1,使 ∠D1AC=60°;连接 AC1,再以 AC1 为边作第三个菱形 AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作的第 n 个菱 形的边长为 . 【答案】   1 3 n . 【解析】解:∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60°,∴AB=BC=1,∠ACB=∠CAB=30°, ∴AC= 3 AB= 3 , 同理可得:AC1= 3 AC=( 3 )2,AC2= 3 AC1=3 3 =( 3 )3,…… 第 n 个菱形的边长为:   1 3 n , 故答案为:   1 3 n . 2.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=30°,点 A 的坐标为(2,0),过点 A 作 AA1⊥OB,垂足为点 A1, 过 A1 作 A1A2⊥x 轴,垂足为点 A2;再过点 A2 作 A2A3⊥OB,垂足为点 A3;再过点 A3 作 A3A4⊥x 轴,垂足为点 A4…; 这样一直作下去,则 A2017 的横坐标为( ) A. 3 2 •( 3 2 )2015 B. 3 2 •( 3 2 )2016 C. 3 2 •( 3 2 )2017 D. 3 2 •( 3 2 )2018 【答案】B. 【解析】解:∵∠AOB=30°,点 A 坐标为(2,0), ∴OA=2, ∴OA1= 3 2 OA= 3 ,OA2= 3 2 OA1=2× 2 3 2       ,OA3= 3 2 OA2=2× 3 3 2       …, ∴OAn=( 3 2 )nOA=2( 3 2 )n.∴OA2018=2×( 3 2 )2018= 3 2 •( 3 2 )2016 故答案为:B. 3.如图,函数       4 0 2 2 8 2 4 x x xy x x          的图象记为 C1,它与 x 轴交于点 O 和点 A1,将 C1 绕点 A1 选择 180°得 C2,交 x 轴于点 A2……,如此进行下去,若点 P(103,m)在图象上,则 m 的值是( ) A. -2 B. 2 C. -3 D. 4 【答案】A. 【解析】解:由图可知:横坐标每间隔 8 个单位,函数值相同,即函数图象重复周期为 8,103÷8=12…… 5,当 x=5 时,y=-2,即 m=-2, 故答案为:A. 4.如图,弹性小球从点 P(0,1)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形 DABC 的边时反弹,反弹 时反射角等于入射角,当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1(-2,0),第 2 次碰到正方形的边时的点 为 P2,……,第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn,则点 P2 019 的坐标是( ) A.(0,1) B.(-4,1) C.(-2,0) D.(0,3) 【答案】D. 【解析】解:根据图象可得:P1(-2,0),P2(-4,1),P3(0,3),P4(-2,4),P5(-4,0),P6(0,1),P7(-2,0)…… 2019÷6=336……3, 即 P2019(0,3), 故答案为:D. 5.如图,在坐标系中放置一菱形 OABC,已知∠ABC=60°,点 B 在 y 轴上,OA=1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方向无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转 2019 次,点 B 的落点依次为 B1,B2,B3,…,则 B2 019 的坐标为( ) A. (1010,0) B.(1310.5, 3 2 ) C. (1345, 3 2 ) D. (1346,0) 【答案】D. 【解析】解:连接 AC,如图所示. ∵四边形 OABC 是菱形,∴OA=AB=BC=OC. ∵∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形. ∴AC=AB.∴AC=OA. ∵OA=1, ∴AC=1. 由图可知:每翻转 6 次,图形向右平移 4. ∵2019=336×6+3, ∴点 B3 向右平移 1344(即 336×4)到点 B2019. ∵B3 的坐标为(2,0), ∴B2019 的坐标为(1346,0), 故答案为:D. 6.如图,在直角坐标系中,已知点 A(﹣3,0),B(0,4),对△OAB 连续作旋转变换,依次得到△1, △2,△3,△4,…,则△2019 的直角顶点的坐标为( ) A.(8076,0) B.(8064,0) C.(8076, 12 5 ) D.(8064, 12 5 ) 【答案】A. 【解析】解:∵点 A(﹣3,0)、B(0,4), 由勾股定理得:AB=5, 由图可知,三个三角形为一个循环,经历一次循环前进的水平距离为:12, 2019÷3=673,直角顶点在 x 轴上, 673×12=8076, ∴△2019 的直角顶点的坐标为(8076,0). 故答案为:A. 7.如图,在平面直角坐标系中,函数 y=2x 和 y=﹣x 的图象分别为直线 l1,l2,过点(1,0)作 x 轴的 垂线交 l1 于点 A1,过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2,过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3,过点 A3 作 y 轴的垂 线交 l2 于点 A4,…依次进行下去,则点 A2017 的坐标为 . 【答案】(21008,21009). 【解析】解:由图可知:A1(1,2),A2(﹣2,2),A3(﹣2,﹣4),A4(4,﹣4),A5(4,8),…, ∵2017=504×4+1, ∴点 A2017 在第一象限, ∵2017=1008×2+1, ∴A2n+1((﹣2)n,2(﹣2)n)(n 为自然数). ∴A2017 的坐标为((﹣2)1008,2(﹣2)1008)=(21008,21009). 故答案为:(21008,21009). 8.如图,在平面直角坐标系中,将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1,依此方式, 绕点 O 连续旋转 2018 次得到正方形 OA2018B2018C2018,如果点 A 的坐标为(1,0),那么点 B2018 的坐标为( ) A.(1,1) B.(0, 2 ) C.( 2 ,0) D.(﹣1,1) 【答案】D. 【解析】解:∵四边形 OABC 是正方形,OA=1, ∴B(1,1), 连接 OB,在 Rt△OAB 中,由勾股定理得:OB= 2 , 由旋转性质得:OB=OB1=OB2=OB3=…= 2 , ∴B1(0, 2 ),B2(﹣1,1),B3(﹣ 2 ,0),…, 360÷45=8,每 8 次一循环,2018÷8=252……2, ∴点 B2018 的坐标为(﹣1,1). 故答案为:D. 9.将直角三角形纸板 OAB 按如图所示方式放置在平面直角坐标系中,OB 在 x 轴上,OB=4,OA=2 3 .将 三角形纸板绕原点 O 逆时针旋转,每秒旋转 60°,则第 2019 秒时,点 A 的对应点 A′的坐标为( ) A.(﹣3,﹣ 3 ) B.(3,﹣ 3 ) C.(﹣3, 3 ) D.(0,2 3 ) 【答案】A. 【解析】解:360÷60=6, 即每 6 秒一循环, 2019÷6=336……3, 即 2019 秒时, 点 A 与其对应点 A′关于原点 O 对称, ∵OA=4,∠AOB=30°, 可得:A(3, 3 ), ∴第 2019 秒时,点 A 的对应点 A′的坐标为(-3, - 3 ), 故答案为:A. 10.正方形 ABCD 的位置在坐标中如图所示,点 A、D 的坐标反别为(1,0)、(0,2),延长 CB 交 x 轴于 点 A1,作正方形 A1B1C1C,延长 C1B1 交 x 轴于点 A2,作正方形 A2B2C2C1,…按这样的规律进行下去,第 2017 个 正方形的面积为 【答案】 403235 2     . 【解析】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA, ∴∠ADO+∠DAO=90°,∠DAO+∠BAA1=90°, ∴∠ADO=∠BAA1, ∵∠DOA=∠ABA1, ∴△DOA∽△ABA1, ∴ 1 1 2 OA BA OD AB   , 由勾股定理得:AB=AD= 5 , ∴BA1= 5 2 , ∴第 2 个正方形 A1B1C1C 的边长 A1C=A1B+BC= 3 5 2 ,面积= 2 3 5 2       , 同理,第 3 个正方形的面积为: 2 3 3 5 2 2      , 第 4 个正方形的面积为: 2 3 3 3 5 2 2 2       ,…… ∴第 2017 个正方形的面积为: 403235 2     . 即答案为: 403235 2     . 11.如图所示,一动点从半径为 2 的⊙O 上的 A0 点出发,沿着射线 A0O 方向运动到⊙O 上的点 A1 处, 再向左沿着与射线 A1O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A2 处;接着又从 A2 点出发,沿着射线 A2O 方向运 动到⊙O 上的点 A3 处,再向左沿着与射线 A3O 夹角为 60°的方向运动到⊙O 上的点 A4 处;…… 按此规律运动 到点 A2 017 处,则点 A2 017 与点A0 间的距离是 【答案】4. 【解析】解:由图分析可知,A6 点与 A0 点重合, 2017÷6=336……1, 即点 A2 017 与 A1 重合, ∵⊙O 的半径为 2 , ∴点 A2 017 与点 A0 间的距离是 4. 12.如图,由一些点组成形如正多边形的图案,按照这样的规律摆下去,则第 n(n>0)个图案需要点 的个数是 . 【答案】n2+2n. 【解析】解:由图知,第 1 个图形点数为 3+0×3,第 2 个图形点数为 4+1×4;第 3 个图形点数为 5+2 ×5;第 4 个图形点数为 6+3×6…… 第 n 个图形点数为:(n+2)+(n-1)(n+2)=n2+2n, 即答案为:n2+2n. 13..如图所示的坐标系中放置一菱形 OABC,已知∠ABC=60°,点 B 在 y 轴上,OA=1,先将菱形 OABC 沿 x 轴的正方形无滑动翻转,每次翻转 60°,连续翻转 2017 次,点 B 的落点分别是 B1,B2,B3,……,则 B2017 的坐标为 【答案】(1345.5, 3 ). 【解析】解:由题意知:OB= 3 OA= 3 ,即 B(0, 3 ), ∴B1 的纵坐标为: 3 2 ,横坐标为: 3 × 3 2 = 3 2 , 即 B1( 3 2 , 3 2 ), 由图可知,每翻折 6 次,图形向右平移 4 个单位, 2017=336×6+1, 求得:B2017(336×4+ 3 2 , 3 ),即 B2017(1345.5, 3 ), 故答案为:(1345.5, 3 ). 14.如图,在平面直角坐标系中,点 A1,A2,A3,……和点 B1,B2,B3,……分别在直线 1 5y x b  和 x 轴上,△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3……都是等腰直角三角形,若点 A1(1,1),则点 A2019 的纵坐标是 【答案】 20183 2     . 【解析】解:如图,分别过 A1,A2,A3 作 x 轴的垂线, ∵点 A(1,1)在直线 1 5y x b  上, ∴b= 4 5 , 由△OA1B1 是等腰直角三角形,得:OB1=2, 设 A2(x,y),则 B1C2=x-2,y= x-2, ∴x-2= 1 4 5 5x  ,解得:x= 7 2 ,y= 3 2 ,即 A2 的纵坐标为: 3 2 ; 同理可得:A3 的纵坐标为: 29 3 4 2      , 即 An 的纵坐标是 An-1 纵坐标的 3 2 倍, 即 A2019 的纵坐标为: 20183 2     . 15.在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的位置如图所示,点 A 的坐标为(1,0),点 D 的坐标为(0, 2),延长 CB 交 x 轴于点 A1,作正方形 A1CC1B1;延长 C1B1 交 x 轴于点 A2,作正方形 A2C1C2B2;…,按照这 样的规律作正方形,则点 B2 019 的纵坐标为 . 【答案】 20193 2     . 【解析】解:过 B 作 BH⊥x 轴于 H, 由一线三直角模型,可知△ADO≌△BAH,即 BH=OA=1,即 B 点纵坐标为 1, 同理得:B1 点纵坐标为 3 2 ,B2 点纵坐标为 23 2     ,B3 点纵坐标为 33 2     ,……B2019 点纵坐标为 20193 2     , 即答案为: 20193 2     . 查看更多

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