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一次函数与反比例函数综合题
【例 1】.如图，直线l：y=ax+b 交x 轴于点A(3，0)，交 y 轴于点B(0，-3)，交反比例函数 y k
x
于第一
象限的点 P，点 P 的横坐标为 4.
（1）求反比例函数 y k
x
的解析式；
（2）过点 P 作直线 l 的垂线 l1，交反比例函数 y k
x
的图象于点 C，求△OPC 的面积.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵y=ax+b 交x 轴于点A(3，0)，交 y 轴于点 B(0，-3)，
∴3a+b=0，b=－3，
解得：a=1，
即 l1 的解析式为：y=x－3，
当 x=4 时，y=1，即 P（4,1），
将 P 点坐标代入 y k
x
得：k=4，
即反比函数的解析式为：y 4
x
；
（2）设直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 E，D，
∵OA=OB=3，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵l⊥l1，
∴∠DPB=90°，
∴∠ODP=45°，
设直线 l1 的解析式为：y=－x+b，
将点 P(4,1)代入得：b=5，
联立：y=－x+5，y 4
x
，解得：
x=1，y=4 或 x=4，y=1，
即 C(1,4)，
∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE
= 1
2
×5×5－ 1
2
×5×1－ 1
2
×5×1
= 15
2
.
【变式 1-1】.如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，A，C 分别在坐标轴上，
点 B 的坐标为（4，2），直线 y=– 1
2
x+3 交 AB，BC 于点 M，N，反比例函数 ky x
的图象经过点 M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 P 在 x 轴上，且△OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵B（4,2），四边形 OABC 为矩形，
∴OA=BC=2，
在 y=– 1
2
x+3 中，y=2 时，x=2，
即 M(2,2),
将 M（2，2）代入 ky x
得：k=4，
∴反比例函数的解析式为： 4y x
.
（2）在 4y x
中，当 x=4 时，y=1，
即 CN=1，
∵S 四边形 BMON=S 矩形 OABC－S△AOM－S△CON
=4×2－ 1
2
×2×2－ 1
2
×4×1
=4，
∴S△OPM=4，
即 1
2
·OP·OA=4，
∵OA=2，
∴OP=4，
∴点 P 的坐标为（4,0）或（－4,0）.
【例 2】.已知：如图，一次函数 y=kx+3 的图象与反比例函数 y m
x
（x＞0）的图象交于点 P，PA⊥x
轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，一次函数的图象分别交 x 轴、y 轴于点 C，D，且 S△DBP=27， 1
2
OC
CA
.
（1）求点 D 的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出 x 取何值时，一次函数 y=kx+3 的值小于反比例函数 y m
x
的值．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交，
∴令 x=0，解得 y=3，
∴D 的坐标为（0，3）；
（2）∵OD⊥OA，AP⊥OA，∠DCO=∠ACP，∠DOC=∠CAP=90°，
∴Rt△COD∽Rt△CAP，
∴ 1
2
OD OC
AP AC
，OD=3，
∴AP=OB=6，
∴DB=OD+OB=9，
∵S△DBP=27，
即
2
DP BP ＝27，
∴BP=6，
∴P（6，-6），
把 P 坐标代入 y=kx+3，得到 k= 3
2
，
则一次函数的解析式为：y＝ 3
2
x+3；
把 P 坐标代入反比例函数解析式得：m=－36，
则反比例解析式为：y＝− 36
x
；
（3）联立 y＝− 36
x
，y＝ 3
2
x+3 得：
x=－4，y=9 或 x=6，y=－6，
即直线与双曲线两个交点坐标为（－4,9），（6，－6），
∴当 x＞6 或－4＜x＜0 时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【变式 2-1】.如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数 y= k
x
上（k＞0，x
＞0），横坐标分别为 1
2
和 2，对角线 BC∥x 轴，菱形 ABDC 的面积为 9．
（1）求 k 的值及直线 CD 的解析式；
（2）连接 OD，OC，求△OCD 的面积．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接 AD，
∵菱形 ABDC 的顶点 D，C 在反比例函数 y= k
x
上，横坐标分别为 1
2
和 2，
∴D( 1
2
,2k)，C(2,
2
k ),
∵BC∥x 轴，∴B(－1，
2
k ),A( 1
2
,－k),
∴BC=3，AD=3k，
∵S 菱形 ABCD=9，
∴ 1
2
×3×3k=9，解得：k=2，
∴D( 1
2
,4)，C(2, 1),
设直线 CD 的解析式为 y=mx+n，
∴ 1
2
m+n=4，2m+n=1，
解得：m=－2，n=5，
即直线 CD 的解析式为 y=－2x+5.
（2）设直线 y=－2x+5 交 x 轴、y 轴于点 F，E，
则 F( 5
2
,0),E(0,5)，
∴S△OCD=S△EOF－S△OED－S△OCF
= 1
2
×5× 5
2
－ 1
2
×5× 1
2
－ 1
2
×1× 5
2
= 15
4
，
即△OCD 的面积为： 15
4
.
【例 3】.如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，点 F 是 AB 上的一个动点（F 不与 A，B 重合），过点 F
的反比例函数 y= k
x
的图象与 BC 边交于点 E．
（1）当 F 为 AB 的中点时，求该函数的解析式；
（2）当 k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵矩形 OABC 中，OA=3，OC=2，
∴B（3，2），
∵F 为 AB 的中点，
∴F（3，1），
∵点 F 在反比例函数 y= k
x
的图象上，
∴k=3，
即函数的解析式为 y= 3
x
；
（2）E，F 两点坐标为：E（
2
k ，2），F（3，
3
k ），
∴S△EFA= 1
2
AF•BE
= 1
2
×
3
k （3﹣
2
k ），
= 21 3312 4k ，
∴当 k=3 时，S△EFA 有最大值，最大值 3
4
．
【变式 3-1】.如图，一次函数 y＝kx+b 的图象与反比例函数 y＝ m
x
的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于
点 C（﹣2，0），点 A 的纵坐标为 6，AC＝3CB．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式组 m
x
＜kx+b＜4 的解集；
（3）点 P（x，y）是直线 y＝k+b 上的一个动点，且满足（2）中的不等式组，过点 P 作 PQ⊥y 轴交 y
轴于点 Q，若△BPQ 的面积记为 S，求 S 的最大值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）过点 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，
则∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴ AD AC CD
BE BC CE
，即 6 23 CE
BE CE
，
解得：BE＝2，CE＝1，
∴A（1，6），
∴反比例函数解析式为 y＝ 6
x
；
（2）将 A（1，6），C（﹣2，0）代入 y＝kx+b，
得： 6
2 0
k b
k b
，解得： 2
4
k
b
，
即直线解析式为：y＝2x+4，
由 B（﹣3，﹣2），得不等式组 6
x
＜2x+4＜4 的解集为：﹣3＜x＜0；
（3）设 P（m，2m+4）（﹣3＜m＜0），
则 PQ＝﹣m，△BPQ 中 PQ 边上的高为 2m+4﹣（﹣2）＝2m+6，
∴S＝ 1
2
•（﹣m）（2m+6）
＝﹣m2﹣3m
＝﹣（m+ 3
2
）2+ 9
4
，
∴当 m＝﹣ 3
2
时，S 取得最大值，最大值为 9
4
．
1..如图所示，在平面直角坐标系中，直线 l1：y= 1
2
x 与反比例函数 y= k
x
的图象交于 A、B 两点，点 A
在点 B 左侧，已知 A 点的纵坐标为 2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出 1
2
x> k
x
的解集；
（3）将直线 y= 1
2
x 沿 y 轴向上平移后的直线 l2 与反比例函数 y= k
x
在第二象限内交于点 C，如果△ABC
的面积为 30，求平移后的直线 l2 的函数表达式.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）在 y= 1
2
x 中，y=2 时，x=－4，
即 A(－4,2)，
∵反比例函数 y= k
x
的图象过点 A，
∴k=－8，
即反比例函数的解析式为：y= 8
x
；
（2）联立 y= 8
x
，y= 1
2
x，解得：
x=－4，y=2（点 A）；或 x=4，y=－2，
即 B（4，－2），
∴ 1
2
x> k
x
的解集为：x0）的图象与 BC 边交于点 E.
（1）当 F 为 AB 边的中点时，求该函数的解析式；
（2）当 k 为何值时，△EFA 的面积为 2
3
？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）由题意知，AB=OC=2，BC=OA=3，
∵F 是 AB 中点，
∴F(3，1)，
将 F(3，1)代入 y= k
x
得：k=3，
即反比例函数的解析式为：y= 3
x
.
（2）由图象知，点 F 位于 B 点下方，B(3,2)，
∴当 x=3 时，y
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