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竞赛讲座25－绝对值与二次根式1． 绝对值 例1 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？ 解由已知条件可得 T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x. ∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15. 例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间. 证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）. ∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0. ∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1. 同理可证|a|＞1. ∴a、b都不在-1与1之间. 例3 设a、b是实数，证明 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立. 当|a|-|b|＞0时，由于 （|a|-|b|）2-|a+b|2 =（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab） =-2（|ab|-ab）≤0， ∴|a|-|b|≤|a+b|. 同理可证|a+b|≤|a|+|b|. 2． 根式 在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下： （1） 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式. 例4 (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故x=2,y=2-, ∴x+y+ =4-+2+=6.
例5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分： 当x＜-3时 原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4； 当-3≤x＜1时， 原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2； 当1≤x≤2时， 原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x； 当x＞2时， 原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4. 说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧. 例6 化简（a＞＞0）. 解 原式= = = ∵a＞＞0. ∴a2＞2b2， ∴原式= 例7 求证： 证明：∵ = ∴原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明:∵ ∴ 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得（x+y+z）3=27xyz. 例9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 ∴A+B= = = 由 A+B=a， 得
∴ （2） 比较系数法 例10 求满足条件的自然数a、x、y. 解 将等式两边平方得 ∵x、y、a都是自然数. ∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾. ∴x+y=a，xy=6. 由条件可知 x＞y且x、y是自然数. 当x=6时，y=1，得a=7. 当x=3时，y=2，得a=5. 故x=6,y=1,a=7. 或x=3,y=2,a=5. 例11 化简 分析 被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+2 =x+y+z+2 比较系数,得 ①②③④ 由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非负）， ∴=1， ∴原式=1+ （4）设参法 例12 （1986年数理化接力赛题） 设（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数）.求证: = 证明 设 且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk. 左边= = 右边= · = ∴左边=右边 （5）公式法、代数变换及其他 例13 已知x=求x3+12x的值. 解 由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得
· =8-3 =8-12x. ∴x3+12x=8. 例14 设 求x4+y4+（x+y）4. 解 由条件知 ∴x+y=5，xy=1. ∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4 =[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4 =(25-2)2-2+54 =1152. 例15 (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值. 解 记y=. ① 先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得 ② 即 ③ 再平方，整理后得 ④ 从而 ≥0. 由②知 y2＜2a2+2-2=2. 再由⑤知 y2≤1，∴0≤y＜1. 反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y2＞0，故可由⑤逆推出②和①
，因而在a≥0时，的值域为（0，1）. 同样在a＜0时，的值域为（-1，0），综上的值域是（-1，1）. 练习十七 1． 选择题 （1）若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（ ）. （A）x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E）-1 （2）方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为（ ）. （A）-6 （B）3 （C）-3 （D）6 （E）-18 （3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值（ ）. （A） 不存在 （B）有一组 （C）有二组 （D）多于二组 2． 空题 （1） 已知|x-8y|+（4y-1）2+则x+y+z=_________. （2） 若a＞b＞c＞0，l1=乘积中最小的一个是__________. （3） 已知0＜x＜1，化简 （4） 已知则 （5）（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于__________. 3.化简(a＞0). 4.已知ab＜0，a2+b2=a2b2，化简 5．如果x＞0，y＞0，且试求的值. 6．（第8届美国教学邀请赛试题） 求的值. 7．求适合下列各式的x、y； （1）若x、y为有理数，且 （2）若x、y为整数， 8．已知求证a2+b2=1. 9．已知A=求证 11＜A3-B3＜12＜A3+B3＜13. 10．（1985年武汉初二数学竞赛题）已知其中a、b都是正数. （1） 当b取什么样的值时，的值恰好为b？ （2） 当b取什么样的值时，的值恰好为？ 练习十七 1.略 2．（1）3 （2）l （3）2x （4）a2-2 （5）6. ３．当时，ｙ＝ａ，当ｘ＞２ａ２时，ｙ＝ ４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ． ５．原式＝２． ６．原式＝８２８． ７．（１） （２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２． ８．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1. 9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)= ８．当b≥0时，原式值为b， 当0＜b＜1时，原式值为
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