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第12章整式的乘除12.5因式分解第2课时公式法 学习目标认识平方差公式、完全平方公式的特点,会运用这两种公式将多项式分解因式.(重点)(难点) 1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解.2.下列式子从左到右的变形,哪个是因式分解?哪个是整式乘法?它们有什么关系?(1)a(x+y)=ax+ay;(2)ax+ay=a(x+y).整式乘法因式分解它们是方向相反的变形.复习引入 还记得前面学过的乘法公式吗?平方差公式:两数和(差)的平方公式:复习引入 运用平方差公式因式分解【想一想】多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?是a,b两数的平方差的形式.))((baba-+=22ba-))((22bababa-+=-整式乘法因式分解两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式:1新课讲解 √√××【辨一辨】下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么?√√★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解,即能写成:()2-()2的形式.两数是平方,减号在中央.(1)x2+y2;(2)x2-y2;(3)-x2-y2;-(x2+y2)y2-x2(4)-x2+y2;(5)x2-25y2;(x+5y)(x-5y)(6)m2-1.(m+1)(m-1)新课讲解 【例1】分解因式:解:(1)原式=(2)原式解题技巧:公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式分解因式.新课讲解 【例2】分解因式:解:(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2)(x2-y2)分解因式后,一定要检查是否还有能继续分解的因式,若有,则需继续分解.=(x2+y2)(x+y)(x-y).(2)原式=ab(a2-1)分解因式时,一般先用提公因式法进行分解,然后再用公式法,最后进行检查.=ab(a+1)(a-1).新课讲解 运用完全平方公式因式分解完全平方公式:完全平方式的特点:1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个同号的数或式的平方;3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.=(a±b)2凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.22ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2新课讲解 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照公式a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解,你会吗?mm-33x2m3利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式、完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.新课讲解 下列各式是不是完全平方式?(1)a2-4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是(2)只有两项;不是(3)4b²与-1的符号不统一;不是分析:不是是(4)ab不是a与b的积的2倍.新课讲解 【例3】分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2abb2a2(2)中,首项有负号,一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.新课讲解 解:(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2·4x·3+32(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.=-[x2-2·x·2y+(2y)2]新课讲解 【例4】分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解;(2)中,将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.新课讲解 【例5】把下列完全平方公式分解因式:1002-2×100×99+99²解:原式=(100-99)²=1.本题利用完全平方公式分解因式的方法,大大减少计算量,结果准确.新课讲解 2.把下列各式分解因式:(1)16a2-9b2;(2)(a+b)2-(a-b)2;(3)9xy3-36x3y;(4)-a4+16.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)1.多项式4a²+ma+9是完全平方式,那么m的值是()A.6B.12C.-12D.±12D随堂即练 解:原式4.计算:5.分解因式:解:原式3.把下列多项式因式分解.(1)x2-12x+36;(2)4a2-4a+1.解:(1)原式=x2-2·x·6+62=(x-6)2.(2)原式=(2a)²-2·2a·1+1²=(2a-1)2.随堂即练 公式法因式分解公式平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)步骤一提:公因式;二套:公式;三查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2课堂总结 查看更多

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