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第12章整式的乘除小结与复习
1．幂的运算法则法则名称文字表示式子表示同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数，指数am•an＝ (m、n为正整数)幂的乘方幂的乘方,底数，指数(am)n＝ (m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别，再把所得的幂(ab)n＝ (n为正整数)am＋namnanbn不变相乘相加不变相乘乘方知识梳理
同底数幂的除法同底数幂相除，底数，指数am÷an＝(a≠0,m、n为正整数，且m＞n)相同点运算中的不变，只对运算不同点（1）同底数幂相乘是指数；（2）幂的乘方是指数；（3）积的乘方是每个因式分别；（4）同底数幂相除是指数不变相减底数指数相加相乘乘方相减am－n知识梳理
注意：(1)其中的a、b代表的不仅可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时，必须先搞清楚该不该用法则，该用哪个法则．知识梳理
2．整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的、分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个.单项式与多项式相乘，用和的每一项分别相乘，再把所得的积.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的与另一个多项式的相乘，再把所得的积.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加知识梳理
3．乘法公式公式名称两数和乘以这两数的差两数和(差)的平方文字表示两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方差两数和(差)的平方，等于这两数的加上(减去)的2倍式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b2知识梳理
结构特点①左边是两个项式相乘，这两个二项式中有一项，另一项；②右边是项式，是乘式中两项的，即相同项的平方与相反项的平方的差①左边是一个项式的和(或差)的；②右边是项式，是左边二项式中两项的，再(或减去)它们的2倍顺口溜和差积，平方差首平方，尾平方，首尾倍中间放，加减看前方，同加异减二完全相同互为相反数二平方差二平方三平方和加上积两知识梳理
公式的常用变形a2＝(a－b)＋b2；b2＝－(a＋b)(a－b)a2＋b2＝(a＋b)2－,或(a－b)2＋；(a＋b)2＝(a－b)2＋.(a＋b)2ab2ab4ab注意：(1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算.(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2知识梳理
4．整式的除法(1)单项式除以单项式单项式相除，把、分别相除作为商的，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个.(2)多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个，再把所得的商.系数同底数幂因式因式单项式相加注意：多项式除以单项式实质上是用计算法则转化为单项式除以单项式．知识梳理
5．因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的的形式，叫做多项式的因式分解．因式分解的过程和的过程正好相反．6．用提公因式法分解因式公因式的确定：公因式的系数应取多项式各项整数系数的；字母取多项式各项的字母；各字母指数取次数最的．一般地，如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到外面，将多项式写成的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．积整式乘法最大公约数相同低括号因式乘积注意：提公因式法是因式分解的首选方法，在因式分解时先要考虑多项式的各项有无公因式．知识梳理
7．用公式法分解因式把反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．常用的两个公式是：(1)逆用平方差公式＝；(2)逆用两数和(差)的平方公式乘法公式(a＋b)(a－b)＝.a2－b2a2±2ab＋b2(a±b)2注意：这里的两个公式是用来分解因式的，与乘法公式刚好左右互换．运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数、次数、系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数、字母、单项式或多项式，只有符合公式的特征时才能运用公式．知识梳理
8．因式分解的步骤(1)如果多项式的各项有公因式，那么先；(2)在各项提出公因式后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式分解因式；三项式可以尝试运用公式分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式在指定的范围内都不能为止．9．图形面积与代数恒等式很多代数恒等式(如平方差公式、两数和(差)的平方公式等)都可以用平面几何图形的来说明其正确性，方法是把图形的面积用不同的方式表示，根据列出的代数式，然后得到代数恒等式．提取公因式平方差两数和(差)的再分解面积相等知识梳理
【例1】计算：（1）(2a)3(b3)2÷4a3b4；（2）(-8)2018×0.1252017.【解析】（1）幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除；（2）可以先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2018化为（-8）×（-8）2017，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算.解：（1）原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.（2）原式=（-8）×（-8）2017×0.1252017=（-8）×[（-8）×0.125]2017=（-8）×（-1）2017=8.考点讲练幂的运算性质1
1.下列计算不正确的是（）A.2a3÷a=2a2B.(-a3)2=a6C.a4·a3=a7D.a2·a4=a8D【练习】【归纳总结】幂的运算性质包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.考点讲练
2.计算：0.252017×（-4）2017-8100×0.5301.解：原式=[0.25×（-4）]2017-（23）100×0.5300×0.5=-1-（2×0.5）300×0.5=-1-0.5=-1.5.解：∵420=（42）10=1610，1610>1510,∴420>1510.3.比较大小：420与1510.考点讲练
【例2】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.【解析】计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算时，一要注意运算顺序；二要熟练、正确地运用运算法则.解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2-2x2y)÷3x2y=.当x=1,y=3时，原式=.整式的运算2考点讲练
【归纳总结】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.整式的混合运算要按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行，有括号的要先算括号里的.考点讲练
4.一个长方形的面积是a2-2ab+a，宽为a，则长方形的长为.5.已知多项式2x3-4x2-x除以一个多项式A，得商为2x，则这个多项式是.a2-2b+1【练习】考点讲练
【例3】先化简，再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算.解：原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y.当x=3，y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.整式的乘法公式的运用3考点讲练
【归纳总结】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.考点讲练
6.求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解.解：∵x2+9y2+4x-6y+5=0,∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y-1)2=0.∴x+2=0，3y-1=0，解得x=-2,y=,∴7.已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.解：原方程可化为-5x+5=0，解得x=1.【练习】考点讲练
【例4】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2;(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.解：（1）不是.理由：最后不是做乘法运算，不是积的形式.（2）不是.理由：从左到右是做乘法运算.（3）是.（4）不是.理由：3x2-2xy+x=x(3x-2y+1).【解析】（1）因式分解的定义包括两点：一是等式的左边是一个多项式；二是等式的右边要化成几个整式乘积的形式，即等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.因式分解4考点讲练
【归纳总结】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算.分解因式的方法主要是提公因式法和公式法.因式分解时，一般先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.考点讲练
8.下列变形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3C【练习】考点讲练
【例5】计算：(1)-2a·3a2b3·(;(2)（-2x+5+x2）·（-6x3）.【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.解：（1）原式=（2）原式=（-2x）·（-6x3）+5·（-6x3）+x2·（-6x3）=12x4-30x3-6x5.数学思想和解题方法转化思想5考点讲练
【归纳总结】将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式单项式×多项式单项式×单项式有理数的乘法和同底数幂的乘法.9.计算：（4a-b）•（-2b）2．.解：原式=（4a-b）•4b2=16ab2-4b3．【练习】考点讲练
【例6】若2a+5b-3=0，则4a·32b=.【解析】由2a+5b-3=0，无法求出a，b的值，因此可以逆用积的乘方先把4a·32b化简为含有与已知条件相关的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看作一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.8整体思想考点讲练
【归纳总结】在本章中，应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看作一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.10.若xn=5，则（x3n）2-5（x2）2n=.1250011.若x+y=2，则=.2【练习】考点讲练
【例7】如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，可验证的公式是.baaaabbbbba-ba2-b2=(a+b)(a-b)数形结合思想考点讲练
【归纳总结】本章中，数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形.由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．考点讲练
12.我们已知道完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图①和图②等图形的面积表示.aaabbabababa2a2b2图①b2a2a2abababaaabb图②【练习】考点讲练
（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2图③解：(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.(2)如图④.图④a2baababababb2b2b2考点讲练
13.图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．(1)求出图①的长方形面积；(2)将四块小长方形拼成如图②所示的正方形，利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式(a＋b)2、(a－b)2、ab之间的等量关系．解：(1)(a＋a)(b＋b)＝4ab.(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab.考点讲练
幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除因式分解提公因式法公式法课堂总结
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