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题型48一类貌似神离的不等式求最值【方法点拨】1.已知，求的最值型（其中、、、均为正数）.此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和不等式”求解.2.已知，求的最值型.此类问题应采取“强分”的方法，即将分解为，然后直接使用基本不等式求解为最简单途径.说明:关键要分清题设的条件的不同，根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口，决不要“张冠李戴”.【典型题示例】例1已知，求的最小值.【答案】【解析一】对两边同时除以得（等号成立条件略）即的最小值.【解析二】（权方和不等式）对两边同时除以得所以所以（等号成立条件略）即的最小值.说明：
1.已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值.2.此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定.例2已知，求的最小值.【解析】因为所以所以，即.说明：此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定.
【巩固训练】1.已知正实数满足，则的最小值为__________2.已知，，则的最小值为.3.如图，已知三角形ABC中，AB＝1，AC＝2，若点M为线段BC的三等分点(靠近B点)，则的最小值为 ． 4．已知a＞0，b＞0，且则的最小值是．5.已知x＞1，y＞1，则的最小值是．6.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是．7.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．8.已知正数满足，则的最小值为.9.已知，则的最小值为.10.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是 ．11.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是．
【答案与提示】1.【答案】【提示】由强分即可.2.【答案】【提示】权方和不等式立得，或换元等.3.【答案】【解析】，，.4.【答案】【解析】,当，即时，等号成立．5.【答案】8【解析】令当，即，两个等号同时成立．6.【答案】【解析】
当，即，．7.【答案】：9【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴，且∴，当且仅当时取“＝”．8.【答案】【解析】当且仅当，等号成立.9.【答案】【解析】当且仅当时,等号成立.10.【答案】15【解析】x+y＝xy可化为，.11.【答案】【解析】当，即，．
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