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5.3.2极值与最值【题组一求极值及极值点】1.(2020·北京市第十三中学高三开学考试)设函数,则的极大值点和极小值点分别为()A.-2,2B.2,-2C.5,-3D.-5,3【答案】A【解析】易知函数定义域是,由题意,当或时,,当或时,,∴在和上递增,在和上递减,∴极大值点是-2,极小值点是2.故选:A.2.(2020·黑山县黑山中学高二月考)函数的极值点所在的区间为()A.B.C.D.【答案】B【解析】,且为单调函数,∴,,由,故的极值点所在的区间为,故选:B.3.(2020·河北新华·高二期末)“”是“函数在上有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】,则,令,可得.当时,;当时,.所以,函数在处取得极小值. 若函数在上有极值,则,.因此,“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件.故选:A.4.(2020·扶风县法门高中高二月考(理))设函数,则()A.为的极大值点B.为的极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D【解析】因为,所以.又,所以为的极小值点.5.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末(理))已知是函数的极小值点,那么函数的极大值为()A.15B.16C.17D.18【答案】D【解析】,又因为是函数的极小值点,所以,,所以,由,或,所以在区间上,单调递增,在区间上,单调递减,在区间上,单调递增,所以函数的极大值为,故选D.6.(2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末(理))函数在上的极大值为()A.B.0C.D.【答案】A【解析】由可得当时,单调递增 当时,单调递减所以函数在上的极大值为故选:A7.(2020·高二期中)函数f(x)=3x2+lnx-2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数个【答案】A【解析】,由得,方程无解,因此函数无极值点8.(2020·北京高二期末)已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的极值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)极小值是,无极大值.【解析】(Ⅰ)的定义域是,,,故所求切线斜率,过的切线方程是:,即;(Ⅱ),令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增,故的极小值是,无极大值.9.(2019·湖南雨花·高二期末(文))已知函数.(1)求函数的单调区间; (2)求函数的极值.【答案】(1)单调增区间为:和,单调减区间为:;(2)极大值40,极小值8.【解析】(1)∵,∴.令,则或2,200单调递增40单调递减8单调递增故的单调增区间为:和,单调减区间为:.(2)由(1)得:当时,有极大值40,当时,有极小值8.10.(2020·林芝市第二高级中学高二期中(理))已知函数,求:(1)函数的图象在点处的切线方程;(2)的单调区间及极值.【答案】(1);(2)减区间为,,增区间为;极小值为,极大值为25.【解析】(1)显然由题意有,,,∴∴由点斜式可知,切线方程为:;(2)由(1)有∴时,或时,∴的单减区间为,;单增区间为∴在处取得极小值,在处取得极大值.【题组二求最值点最值】 1.(2020·四川内江·高二期末(文))函数在区间上的最大值是(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】函数,,令,解得.∴函数在内单调递增,在内单调递减.∴时函数取得极大值即最大值..故选B.2.(2020·甘肃武威·高三月考(理))已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为,最小值为.【解析】(1)因为,所以.又因为,所以曲线在点处的切线方程为.(2)设,则,当时,,所以在区间上单调递减,所以对任意有,即,所以函数在区间上单调递减,因此在区间上的最大值为,最小值为.3.(2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考)已知函数,,.若在处与直线相切. (1)求,的值;(2)求在,上的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)函数,,函数在处与直线相切,,解得;(2),,当时,令得:,令,得,在,,上单调递增,在,上单调递减,所以函数的极大值就是最大值,(1).4.(2020·安徽庐阳·高三月考(文))已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c﹣16.(1)求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[﹣3,3]上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最小值为,最大值为28.【解析】(1)因,故,由于在点处取得极值,故有,即,解得;(2)由(1)知, 令,得,当时,故在上为增函数;当时,故在上为减函数,当时,故在上为增函数.由此可知在处取得极大值,在处取得极小值,由题设条件知,得,此时,,,因此上的最小值为,最大值为28.5.(2020·河南商丘·高三月考(文))已知的一个极值点为2.(1)求函数的单调区间;(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)函数的减区间为,增区间为,;(2)最小值是,最大值是13.【解析】(1),,的一个极值点为2,,解得.,,令,得或;令,得;令,得或;故函数的减区间为,增区间为,.(2)由(1)知,,当时,;当时,;在上为增函数,在上为减函数, 是的极大值点,又,,,所以函数在上的最小值是,最大值是13.6.(2020·重庆高二期末)已知()在处取得极值.(1)求实数的值;(2)求的单调区间;(3)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)1;(2)增区间为,,减区间为;(3)最大值为9,最小值为.【解析】(1),由于在处取得极值,故,解得,经检验,当时,在处取得极值,故.(2)由(1)得,,由得或;由得.故的单调增区间为,,单减区间为.(3)由(2)得函数的极大值为,得函数的极小值为,又,所以函数在区间上的最大值为9,最小值为.【题组三已知极值及最值求参数】1.(2020·湖南其他(理))已知函数,若时,在处取得最大值,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵,令, ∴,∴时,在单调递增;∴时,在单调递减.如图,∴,∴当时,,∴,在上单调递增,不成立;当时,在上单调增减,成立;当时,有两个根,,∵当时,,;当时,,;当时,,,∴在,上单调递增,在上单调递减,显然不成立.综上,.故选:A2.(2020·河南郑州·高三月考(文))已知函数,若在上既有极大值,又有最小值,且最小值为,则的取值范围为() A.B.C.D.【答案】C【解析】的零点为和1,因为,所以1是函数的极小值即最小值点,则是函数的极大值点,所以,且,解得.故选:C.3.(2020·广东高二期末(理))函数在,上最大值为2,最小值为0,则实数取值范围为()A.,B.,C.,D.【答案】A【解析】.,,令,则或(舍负),当时,,单调递增;当时,,单调递减.函数在,上最大值为2,最小值为0,且,(1), .故选:A.4.(2020·贵州遵义·高三其他(文))若函数无极值点则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,由函数无极值点知,至多1个实数根,,解得,实数a的取值范围是,故选:B5.(2020·四川省绵阳高二开学考试(理))函数+m在[0,2]上的最小值是2-e,则最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】,因为,所以当时,,当时,,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在处取得最小值,根据题意有,所以,当时,,当时,,所以其最大值是2,故选:B.6.(2020·四川省绵阳高二月考(理))函数在内有最小值,则的取值范围为(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】∵函数f(x)=x3﹣3ax﹣a在(0,1)内有最小值,∴f′(x)=3x2﹣3a=3(x2﹣a),①若a≤0,可得f′(x)≥0,f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在x=0处取得最小值,显然不可能,②若a>0,f′(x)=0解得x=±,当x>,f(x)为增函数,0<x<为减函数,f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,所以极小值点应该在(0,1)内,符合要求.综上所述,a的取值范围为(0,1)故答案为B7.(2020·黑龙江高二期中(理))已知函数 (1)若,求函数的极值;(2)当时,若在区间上的最小值为-2,求的取值范围.【答案】(1)函数的极大值为函数的极小值为(2)【解析】(1),,定义域为,又.当或时;当时∴函数的极大值为函数的极小值为.(2)函数的定义域为,且,令,得或,当,即时,在上单调递增,∴在上的最小值是,符号题意;当时,在上的最小值是,不合题意;当时,在上单调递减,∴在上的最小值是,不合题意故的取值范围为8.(2020·高二期末)已知函数.(1)当时,求函数在上的最小值;(2)若函数在上的最小值为1,求实数的取值范围; (3)若,讨论函数在上的零点个数.【答案】(1)1;(2);(3)答案见解析.【解析】(1)当时,,因为,所以,所以为单调递增函数,所以.(2),,当时,,所以为单调递增函数,,符合题意;当时,在上,单调递减,在上,单调递增,所以,因为,故,与的最小值为1矛盾.故实数的取值范围为(3)由(2)可知,当时,在上,为单调递增函数,,此时函数的零点个数为0;当时,,令,则,函数单调递减,令,解得,所以当,,,,,,所以当时,,此时函数在上的零点个数为0;当时,,此时函数在上的零点个数为1;,又,故在存在一个零点, ,故在存在一个零点,此时函数在上的零点个数为2.综上,可得时,函数在上的零点个数为0;时,函数在上的零点个数为1;,函数在上的零点个数为2.9.(2020·广东禅城·高二月考)已知函数;讨论的极值点的个数;若,求证:.【答案】(1)当a≤0时,f(x)无极值点;当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,无极小值点;(2)见解析【解析】(1)根据题意可得,,当时,,函数是减函数,无极值点;当时,令,得,即,又在上存在一解,不妨设为,所以函数在上是单调递增的,在上是单调递减的.所以函数有一个极大值点,无极小值点;总之:当时,无极值点;当时,函数有一个极大值点,无极小值点.(2),,由(1)可知有极大值,且满足①,又在上是增函数,且,所以, 又知:,②由①可得,代入②得,令,则恒成立,所以在上是增函数,所以,即,所以.10.(2020·四川达州·高二期末(理))已知,函数,.(1)讨论的单调性;(2)记函数,求在上的最小值.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】(1),则.当时,当时,,函数单调递增;当时,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减.综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2),,.①当时,对任意的,,函数单调递增, 所以,函数在上的最小值为;②若,对任意的,,函数单调递减,所以,函数在上的最小值为;③若时,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,又因为,,.(i)当时,即当时,,此时,函数在区间上的最小值为;(ii)当时,即当时,.此时,函数在区间上的最小值为.综上所述,.11.(2020·四川省绵阳高二期中(文))已知函数在处取得极小值1.(1)求的解析式;(2)求在上的最值. 【答案】(1)(2)最小值为1,最大值为3.【解析】(1),由,得或.当时,,则在上单调递增,在上单调递减,符合题意,由,得;当时,,则在上单调递增,在上单调递减,在处取得极大值,不符合题意.所以.(2)由(1)知在上单调递增,在上单调递减,因为,所以的最小值为1,最大值为3.12.(2020·扶风县法门高中高二月考(理))已知函数,曲线在点处切线方程为.(1)求的值;(2)讨论的单调性,并求的极大值.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1).由已知得,.故,.从而,.(2)由(1)知,,. 令得,或.从而当时,;当时,.故在,上单调递增,在上单调递减.当时,函数取得极大值,极大值为. 查看更多

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