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第一章§1.1空间向量及其运算 1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.学习目标XUEXIMUBIAO 内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练 1知识梳理PARTONE 知识点一 空间向量的夹角1.定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉.∠AOB2.范围:.特别地,当〈a,b〉=时,a⊥b.0≤〈a,b〉≤π 思考当〈a,b〉=0和〈a,b〉=π时,向量a与b有什么关系?答案当〈a,b〉=0时,a与b同向;当〈a,b〉=π时,a与b反向. 知识点二 空间向量的数量积定义已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=.规定:零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔_______②a·a=a2=|a|2运算律①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R.②a·b=b·a(交换律).③a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).|a||b|cos〈a,b〉a·b=0 思考1向量的数量积运算是否满足结合律?答案不满足结合律,(a·b)·c=a·(b·c)是错误的.答案不能,向量没有除法. 知识点三 向量a的投影1.如图(1),在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos〈a,b〉,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图(2)). 2.如图(3),向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A′,B′,得到,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 2.若a·b=0,则a=0或b=0.()3.对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.()4.若非零向量a,b为共线且同向的向量,则a·b=|a||b|.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×××√ 2题型探究PARTTWO 一、数量积的计算例1如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求: =cos60°-cos60°=0. 反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解. 跟踪训练1(1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b等于A.1B.2C.3D.4√解析∵p⊥q且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1. 2=4-0+0-2=2. 二、利用数量积证明垂直问题例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD. 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c|. 又∵OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,∴A1O⊥平面GBD. 反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 跟踪训练2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求证:PA⊥BD.证明在△ADB中,∠DAB=60°,AB=2AD,所以AD2+BD2=AB2, 三、用数量积求解夹角和模例3如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点. 延伸探究 2.(变条件)本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线CA1与AB的夹角. 所以异面直线CA1与AB的夹角为60°. 反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角:利用公式cos〈a,b〉=求cos〈a,b〉,进而确定〈a,b〉.(2)求线段长度(距离):①取此线段对应的向量;②用其他已知夹角和模的向量表示该向量;③利用|a|=,计算出|a|,即得所求长度(距离). A.30°B.60°C.90°D.120°√ (2)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=AD=1,且这三条棱彼此之间的夹角都是60°,则AC1的长为√且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, 3随堂演练PARTTHREE 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各组向量的夹角为45°的是12345√ 2.设ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,则有√12345 √12345 4.若a,b,c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量,则|a-b+2c|=_____.12345解析|a-b+2c|2=(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=5. 1234560°1 即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,方法二根据向量的线性运算可得12345 1.知识清单:(1)空间向量的夹角、投影.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳:化归转化.3.常见误区:空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0,由a·b=0可得a⊥b或b=0.课堂小结KETANGXIAOJIE 4课时对点练PARTFOUR 1.已知向量a和b的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a等于√基础巩固12345678910111213141516解析(2a-b)·a=2a2-b·a=2|a|2-|a||b|cos120° 2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=,则两直线的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°√12345678910111213141516所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°. 3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为A.-6B.6C.3D.-3√12345678910111213141516解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6. 4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为√12345678910111213141516 5.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是√解析可用排除法.因为PA⊥平面ABCD,又由AD⊥AB,AD⊥PA可得AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,12345678910111213141516 6.已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=____.1234567891011121314151622解析|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22. 7.已知a+3b与7a-5b垂直,且a-4b与7a-2b垂直,则〈a,b〉=_____.60°解析由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0,(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0,两式相减得46a·b=23|b|2,代入上面两个式子中的任意一个,得|a|=|b|,所以〈a,b〉=60°.12345678910111213141516 123456789101112131415160°0°90° 由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高,故OO1⊥平面A1B1C1D1,12345678910111213141516 9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成的角.12345678910111213141516 解不妨设正方体的棱长为1,则|a|=|b|=|c|=1,∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.12345678910111213141516 10.如图,正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC;12345678910111213141516∴BD⊥PC. 12345678910111213141516=a2+a2+a2+0+2a2cos60°+2a2cos60°=5a2, A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形√综合运用即△ABC是等腰三角形.12345678910111213141516 12.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是A.30°B.45°C.60°D.90°√12345678910111213141516 12345678910111213141516∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60°. 13.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为A.-13B.-5C.5D.13√12345678910111213141516解析∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0, 14.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则的值为______.123456789101112131415161 12345678910111213141516拓广探究 12345678910111213141516 16.如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.12345678910111213141516 解由AC⊥α,可知AC⊥AB,过点D作DD1⊥α,D1为垂足,连接BD1,则∠DBD1为BD与α所成的角,即∠DBD1=30°,所以∠BDD1=60°,因为AC⊥α,DD1⊥α,所以AC∥DD1,12345678910111213141516 因为BD⊥AB,AC⊥AB,=242+72+242+2×24×24×cos120°=625,12345678910111213141516 查看更多

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