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年级髙二学科数学版本人教版(文)内容标题线面角、点到面距离、直线到平面距离编稿老师刘震【本讲教育信息】一.教学内容：线面角、点到面距离、直线到平面距离二.重点、难点：1•点到平面距离。平面外一点向平面引垂线有且只有一条，这个点和垂足间距离，叫做这个点到平面的距离。2.直线与平面的距离。直线与平面平行，直线上任意一点到平面的距离，叫做直线到平面的距离，计算线面距离应转化为点到平面距离。3•直线与平面所成角。［0,兰］2/丄Q规定为90。lua或///a规定为0。/与a斜交，为/与其在面内射影所夹锐角。【典型例题】［例1］长方体AC】中，AB=屈,BC=BBX=\(1)求d(D,面D}AC)(2)求d(B,面DiAC)(3)求d(A|C］,面DjAC)(4)求〃(BBi，AC)解：(1)过D作DE±AC于E,连D]E过D作DF±D)E于F*DD｝丄AC]*DD、丄面ABCD=>1AC丄面DE。
DE丄AC1
=>"丄DF|=>DF丄面AC。DFA.D}E\1>=>£>,£=—12厂nAD=1AB=V3=>AC=2=>2DD、=1・•・df鲁（2）连BD交AC于H,H为BD屮点二d（D,面D|AC）=d（B,血D】AC）:.d（B,而DiAC）=——（证明见例2）7（3）AC〃AC=>AG〃面D{AC:.d（AC,ED}AC）=d（A〕，面D}AC）AD中点在面D^AC内•:d（A「面DjAC）=d（D,面D】AC）/•d（AC，面£>]AC）(4)过B作BM丄AC于M。BM为界面直线AC、BBi的中垂线bm=4［例2］平面Q过线段AB中点。求证d(A,a)=d(B,a)证：过作AC丄a于C,过B作BD丄a于DAC丄M门\=>AC//BD确定平面0,ABr\a=HBDla:.C、D、H三点共线CD,aC卩=CD
AH=BH=>\ACH三\BDHAC=BDZAHC=ZBHDZACH=ZBDH=90°:.d(A,a)=d(B,a)［例3］四血体PABC中，PA=PB=PC=1,PA丄PB,PB丄PC,PC丄PA,求PA与面ABC所成角。B解：显然：AB=BC=CA=V2连PD过P作PH丄AD于HD为BC屮点JAD丄BC,PD丄BC&AD丄BC\=>BC丄面PD4=>"丄BC\BC丄PH\^pH丄面ABC初丄PHJ•••ZPAD为PA与面BAC所成角AD=—PD=—22PA=\ZDPA=90°cosZPAH76~T［例4］求证：两条平行直线与同一平而所成角相等。己知allb，平面Q,求证b与Q所成角相等。(1)d丄Z?丄Q均为90°(2)a(za或d//a=>buo或b//a均为0°(3)ab与Q斜角
如图AC丄Q于C,ar\a=E•:ZAEC为a与a所成角丄。于D,bca=FZBFD为b与a所成角AC//BDAE//BF=>且方向相同'EAC"BD\A£C=ZBFDZACE=ZBDF=90°\［例5］线段AB//Q,且AB二3,AC丄AB,ACCQ二C,BD丄AB,BDca二D，AC、BD与Q所成角为30。、60。且CD=5,求〃CAB,a)rr二Bi；7A.D;，•瑚从宜解：过A作AA丄a于过B作BB|丄0于3「AAJ/BB、确定平面0(1)AC.BD在0同侧，设AA}—xCA}—V3x,DB}=xA.B,=3CD=5x=2V3(2)AC、BD在0异侧，设AA}—x,CA}—y/3x,DB}=xA.B,=3CD=5ACA}M〜NDB\Mx=a/3【模拟试题】(答题时间：6()分钟)一.选择题：1.dua,p©a,d(p,a)=d、,d(p,d)=d2,则有()A.d］d2C.dxd22.与空间四边形四个顶点等距的平面有()个。A.1B.5C.7D.103.allbllc,d(a,c)=17,d(b,c)=25,a,方确定平面a,d(c,a)=15，则d(a,b)=()A.28B.12C.28或12D.以上均不正确24.若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=-,\ABC的边长为1,则PC3与平面ABC所成角是()
A.30°B.45°C.60°D.90°5.若斜线段AB长是它在平面Q内的射影长的2倍，则AB与Q所成的角为（）A.30°B.60°C.30。或150。D.60。或120。6.长方体ABCD-\B,C,D{中ZCfiC,=（3,AAC{B=d,则°、0、&满足（）A.sin0二sina•siB.sina=sin0・cos&C.cosa=cos0cos0D.cos0=cosa・cos0二.解答题：1.如图，ABAC=90°,在平面a内，PA是a的斜线，ZPAB=ZPAC=60°,求PA与平面a所成的角。求证：ZAB'C'=90°o2.已知空间四边形ABCD中，AO|丄平面BCD,并且0】为ABCD垂心，BO?丄平面ACD于02,求证:你热爰生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生命的材料__富兰克林
【试题答案】1.C2.C3.C4.A5.B6.B1.解：作PO丄平面Q于O,作OM丄AC于M,ON丄AB于N,连结PM、PN,则PM丄AC,PN±AB,在Rt\PMA和心APNA中，ZPAM=ZPAN=60°・•・\PMAa\PNA:.PM=PN・・・OM、ON分别是PM、PN在平面Q内的射影・・・OM二ON,于是AO是ABAC的平分线，设PA=ci,ZPAM=60°•••AO=^a2在厶POA中，cosZPAO=—=—・•・ZPAO=45°PA2即PA与平面a所成的角为45。2.证明：JBB'丄a,CC'丄。・•・BB'IICC'设与CC‘确定的平面为0,则0ca=B'C‘又・・・BC//Q・・・BCIIBfcf・・・AB'为AB在a内的射影3.证明：连结DO】、AO?、CO2・・・BC丄AB・・・B'C'丄AB・・・AB\即ZAB'C'=90°・・・Ch是ABDC的垂心・・・BC丄DO、・.・AO｝丄平面BDC・•・AD在平面BDC内的射影为・•・BC-LAD・・・BOr丄平面ACD:.BC在平面ACD内的射影为CO?•••AD丄CO?同理CD丄:.O’是"CD的垂心
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