资料简介
说课内容点到直线的距离教师姓名：张炎学校：保定市第三中学教材分析本节教材选自人教版A版数学必修2的第三章第三节——点到直线的距离.本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到高中解析几何的定量计算，内容仍是直线方程的应用，是坐标法的继续。对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．教学目标（一）知识与技能目标让学生掌握点到直线距离公式推导过程，并能正确使用公式解决简单问题（二）过程与方法目标通过对公式推导方法的探索，深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想，由浅入深，由特殊到一般,由具体到抽象地研究数学问题。（三）情感态度价值观目标通过对问题的探究活动，使学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进学习数学的信心，优化数学思维品质。教学重点和难点分析（一）教学重点：1.点到直线的距离公式。2.领悟蕴涵于公式推导中的数形结合的数学思想和方法。（二）教学难点：坐标法理解。教法和学法1、学情分析学生已经学习了两点之间的距离公式，具备直线的有关知识，如直线方程,斜率与倾斜角，交点、垂直等。学生对坐标法解决几何问题有了初步的认识,数形结合的思想正逐渐趋于成熟。基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．2.教学方法与学法指导：采用“导引探究”的教学方法,在教学中始终坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过问题设置让学生主动参与思考和探究,让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程，注重数与形的内在联系，逐步将知识内化为自身的认知结构。教学设计（一）复习回顾，温故知新首先以提问的方式引导学生进行复习：1、如何求两条直线的交点坐标（联立方程）——指出解析法就是坐标法，是用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程来判断两条曲线的位置关系。2、两点间的距离公式是什么？公式又是如何推导的？（结合图形构建直角三角形）——借此指出解析几何的基础是平面几何，是用代数的方法来研究平面几何问题，很多时候要先进行几何分析，这样可以使计算简化。【设计意图】通过对已学知识和方法的回顾，为后面理解坐标法做好铺垫。6
（二）创设情境，引入课题引例：学校要在甬路边建一个喷泉如图，为防止水落下来溅到行人身上，问落水点距离甬路最近点多远？我们把甬路看成直线，落水点到直线距离就是水飞溅到直线的最短距离。所以本题的实质是点到直线的距离问题。[给学生时间进行思考讨论，抽象出这其实就是点与直线的位置关系问题]【设计意图】以学生熟悉的实际生活为背景，学生可知可感，如同身临其境，激发学生求知欲，实例既可点燃数形结合的思想，又可唤醒两点间距离公式。（二）小中见大，代数几何相得益彰问题1：已知点P(1,3),M(5，1)过M点分别作三条直线，直线方程分别为L1:x=5L2:y=1L3:x-y-4=o求点P到各直线的距离。教师：使用几何画板辅助教学，让学生给出解题思路学生：从图形中感知，并进行思考。【设计意图：学生的思维发展总是从简单到复杂、从具体到抽象、从特殊到一般，于是我给出问题1，这样可以激活学生课堂思维活动，让教学过程富有节奏感和逻辑性。】我进一步启发学生“还可以有什么样的解法？”由于学生初中平面几何知识的积累，加之课本上有现成的等面积法，学生很容易想到构建直角三角形去解决，但对于什么这样做，学生可能还是一知半解，所以接下来的教学中我主要引导学生挖掘“坐标法”。让学生充分感受到几何是坐标法的基础，几何性质的分析才是关键。①“点线距离”就是点点距离。回想两点间距离公式，类比它的推导，我们可以尝试过点P分别作x轴、y轴平行线，这样立刻发现构建了一个直角三角形，而所求的正是斜边上的高。该方法并不是凭空想出来的，具有合理性，体现了降维思想。②“点线距离”就是点点距离。给出点的坐标，图形中就定位了这个点，而点的坐标的外显形式就是横向与纵向，所以试着过点P引x轴y轴的垂线，这样自然会出现直角三角形，而所求的正是斜边上的高。③“点线距离”也是线段长。给出直线的方程我们就会明确斜率是1，倾斜角是45度，而在平面几何中这些要素就可以很自然地放在一个可解的直角三角形中，从而问题得解。如果倾斜角不是特殊角，只需将正切转化为正余弦即可。【设计意图】：6
没有丝毫的技巧，没有强制性的引领，在问题的本质上下足功夫，让学生充分体会和理解坐标法的实质，自始至终贯穿数形结合的思想。在图形的研究过程中，注意代数方法的使用；在代数方法的使用过程中，加强与图形的联系。而这种开放式的学习使学生自始至终全身心地乐于参与教学活动的全过程，思维的变式、发散、求异等优秀的思维品质在这一环节中落到了实处。（三）释疑解惑，合作学习现在，我们已经基本掌握了求点到直线距离的方法，我们设想如果能有点到直线距离的公式该多好？这样的话语立刻激发学生的兴趣，调动学生主动学习。于是给出问题2.而由具体数字到字母运算，到底选择哪个方法？疑难问题渐渐暴露出来，这就需要合作学习。合作学习是新课程极力提倡的学习方式，也是充分发挥班集体整体学习效应的必要形式。它的优势在于更能突出学生的主体地位，培养主动参与的意识，提高学生创造思维的能力，激发学生的求知欲，同时能为学生提供一个较为轻松、自主的学习环境。问题2：求点o到直线（）的距离。XY0PoQ小组成果展示：小组A（类比问题一的坐标法）：运算的确很繁，但思路很清晰。能坚持做到最后的很少，学生大部分会主动放弃。我并不否定学生的做法，鼓励学生继续迎难而上，转换观念，启发学生其实可以使用函数思想，设而不求的观点，由于技巧性较强，时间有限，可指导学生开展第二课堂，讲合作延续到课下。小组B（利用等面积法）：由于前面的铺垫和引导，学生很容易想到用等面积法去解决。运算速度很快。（教师板书，已达到学生印象深刻的目的。）6
xy0P0QlRS小组C（利用三角函数解直角边）学生虽然由正切转化余弦用了些时间，但推导出来还是很顺利的。│PoQ│=│PoR│cosθ(θ=∠QPR=---α,tanα=－) =×=XY0PoQlRXY0PoQlS6
小组D…小组E…【我在反思“等面积法”和“三角函数法”在推导的过程中都体现了“先几何分析再代数运算”的思想，运算量不是很大。那么，为什么新教材要推出“等面积法”，而不采用后者呢？我的体会是前者是对两点间距离公式的继承，可以让学生很容易类比体会，体现了降维思想；运算比后者稍大，是因为解析几何必须保证一定量的计算;而后者主要是三角函数的转化，而且由于直线的斜率的正负，所以在角的转化中要注意分类讨论。因此，前者更能准确地体现坐标法。】（四）公式得出，观察记忆1.组织学生分析，并请学生举手发言，我适时补充、纠正和肯定：①．公式的结构特征：分子是将点的坐标代入直线方程一般式的左边得到的代数式加绝对值，分母是。 ②．公式的适用范围：①该公式对于任何位置的点P（包括直线上的点）及任意直线都适合。②当A=0或B=0时，公式仍成立，但计算时常用图形直接求解。③．使用公式时应注意的问题：使用点到直线距离的公式时，应先将直线方程化为一般式。2.记忆公式：从数学美的角度记忆【设计意图】前置到预设环节之前，首先明确公式，有了归属感，再用其他方法验证本公式。预设环节学生想到就讲，想不到我可以解释其实数学各个知识间都有联系，不是孤立存在的，譬如向量法,建议学生复习后再来解决，还鼓励学生利用多种渠道探究公式的证明，如图书馆借阅，网上查阅等等，从而实现问题解决的最大化。XY0PoQl:Ax+By+C=0（五）及时训练,巩固新知6
例1．求点P0(-1，2)到直线l:3x=2的距离。【让学生体会公式的普遍适用性。】例2.已知点A（1,3），B（3,1）C（-1,0），求三角形ABC的面积。【数形结合，开拓思维】（六）反思总结，深化认识提问:（1）点到直线的距离公式（2）点到直线的距离公式的推导过程中所蕴涵的数学方法．【设计意图】让学生自己呈现新知识及新知识的形成过程，有利于学生对知识的掌握，以及对数学思想方法的理解和运用。（七）作业布置，分层教学必做题：教材P110习题A组39题；B组2,4选做题：教材P110B组5.9板书设计§3.3.3点到直线的距离公式：问题1问题2公式推导例1例2教学评价成功的教学过程中，师生应形成一个“学习共同体”，他们一起在参与学习过程，进行心灵的沟通与精神的交融。波利亚曾说：“教师讲了什么并非不重要，但更重要千万倍的是学生想了些什么。”学生的思路应该在学生自己的头脑中产生，教师的作用在于“系统地给学生发现事物的机会”。所以说一切有利于激发学生学习兴趣，开发学生的学习潜能，促进学生学习数学知识、陶冶情操、增长技能等都是其目标。6
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