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椭圆的顶点是它与坐标轴的交点

2022-09-28
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2.1椭圆理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章圆锥曲线与方程考点一考点二考点三2.1.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质提示：有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．（1）椭圆的简单几何性质－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距|F1F2|＝A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c2b2a x轴和y轴(0,0)(2)当椭圆的离心率越1，则椭圆越扁；当的椭圆离心率越0，则椭圆越接近于圆．接近于1接近于0 2．椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．3．椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)． [例1]求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[思路点拨]化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质． [一点通]已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．答案：A [一点通]利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．答案：D [例3]如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．[思路点拨]通过已知条件MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°，得到Rt△MF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a，b，c之间的关系，进而求出椭圆的离心率．[精解详析]设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．答案：B 6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P．若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．点击下图进入查看更多

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