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8.3直线的交点坐标与距离公式一、选择题1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0( )A．平行B．垂直C．重合D．关于直线y＝－x对称解析：直线3x＋2y＋4＝0与直线2x－3y＋4＝0的法向量分别为(3,2)、(2，－3)，由(3,2)·(2，－3)＝0知两直线垂直．答案：B2．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是( )A．2B．－3或1C．2或0D．1或0解析：直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0的法向量分别是(1，a)与(a，－(2a－3))，由两直线互相垂直得：a－a(2a－3)＝0，解得：a＝2或a＝0.答案：C3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．0或－B.或－6C．－或D．0或解析：依题意得＝，∴|3m＋5|＝|m－7|，∴(3m＋5)2＝(m－7)2，∴8m2＋44m－24＝0，∴2m2＋11m－6＝0，∴m＝或m＝－6.答案：B4．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinAx＋ay＋c＝0与bx－sinBy＋sinC＝0的位置关系是( )A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直解析：由＝得bsinA－asinB＝0.∴两直线垂直．答案：C二、填空题5．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．解析：当l与过两点的直线垂直时，(2，－1)与直线l的距离最远，因此所求直线的方程为y－1＝－·(x＋1)即3x－2y＋5＝0.答案：3x－2y＋5＝0
6．过直线l1：x－2y＋3＝0与l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．答案：y＝2或4x－3y＋2＝07．在△ABC中，BC边上的高所在直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线为y＝0，点B(1,2)，则点A和点C的坐标分别是________．解析：由得顶点A(－1,0)，kAB＝1，∴kAC＝－1，∴AC方程为y＝－x－1.①又BC方程y＝－2x＋4，②解①和②得C(5，－6)．答案：(－1,0)，(5，－6)三、解答题8．求过点P(1,2)且与A(2,3)和B(4，－5)等距离的直线方程．解答：解法一：所求直线有两条，一条是过P(1,2)点且过AB的中点，另一条是过P(1,2)与A、B两点所确定的直线平行．AB的中点M的坐标为(3，－1)，∴过P、M两点的直线方程为y－2＝(x－1)，整理得3x＋2y－7＝0；过P点与AB平行的直线为y－2＝(x－1)，整理得4x＋y－6＝0；因此所求的直线方程为3x＋2y－7＝0，或4x＋y－6＝0.解法二：设所求的直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，根据题意：＝，即|k－1|＝|3k＋7|，解得：k＝－4或k＝－.因此所求的直线方程分别为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.9．在直角梯形OABC中，OA∥BC，OA⊥OC，在OA、BC边上分别有两点P、Q，若PQ平分梯形的面积，求证：直线PQ必过一定点．证明：如图所示，以OA所在直线为x轴，O为原点，建立坐标系设A、B、P、Q的坐标分别为(a,0)、(b，c)、(t1,0)、(t2，c)，
∴直线PQ的方程为：y＝(x－t1)．由PQ平分梯形ABCO的面积，∴2S梯形PQCO＝S梯形ABCO.即2·＝，∴t1＋t2＝，即t2＝－t1.直线PQ的方程为y＝(x－t1)，整理得：2cx－(a＋b－4t1)y－2ct1＝0即(4y－2c)t1＋2cx－(a＋b)y＝0，∴y＝，x＝.因此直线PQ必过定点(，)．10．已知直线l过P(3，－2)点，求：(1)原点到直线l距离最大的l的方程；(2)原点到直线l距离为3的l的方程．解答：(1)∵kOP＝－，∴直线l的斜率为k＝－＝.则直线l的方程为y＋2＝(x－3)，即3x－2y－13＝0.(2)设所求直线的方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0.由＝3，解得k＝，则l的方程为5x－12y－39＝0，又斜率不存在时的直线方程x＝3符合题意，因此直线l的方程为x＝3或5x－12y－39＝0.1．k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．解答：由，得∵两直线的交点在第一象限，∴，∴
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