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考点32两直线的位置关系、直线的交点坐标与距离公式【命题解读】两直线位置关系及交点坐标、距离公式是高考中常考知识点，在近几年的高考中主要是以选择或者填空题的形式出现，题目难度以中低档题为主，主要是考查学生的计算能力和思维转化能力。【命题预测】预计2021年的高考两直线的位置关系及交点坐标、距离公式还是以选择或者填空为主，其中距离的考查出题可能性比较大，主要是考查计算能力。【复习建议】1.掌握两直线的位置关系，会判断两直线的平行和垂直；2.会用联立方程求解两直线的交点坐标；3.掌握平面内两点间的距离公式、点到直线距离公式及平行线间距离公式。考向一 两直线的位置关系、两直线的交点1.直线的平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．2.直线的垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．3.直线的交点坐标
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的交点坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解. (1)若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标; (2)若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行,反之,亦成立.1.【2020全国高二课时练习】已知直线与直线互相垂直，垂足为，则的值为（）A．20B．－4C．0D．24【答案】B【解析】直线的斜率为,直线的斜率为,两直线垂直,可知，将垂足坐标代入直线方程，得到，代入直线方程，得到，所以，故选B．2.【2020全国高二课时练习】直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2，-1)，则m+n的值为 ( )A．12B．10C．-8D．-6【答案】B【解析】∵直线与的交点为∴将点代入得，即将点代入得，即∴故选B考向二距离公式1.点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)22.点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2
3.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A2+B21.【2020福建高二开学考试】已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（）A．B．6C．D．【答案】D【解析】直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，如图，则，，联立解得，．，光线所经过的路程为．故选：D．2.【2020上海市七宝中学月考】若动点､分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵在直线上，在直线上，是中点，∴点在到两直线与距
离相等的平行线上，直线和，因此点所在直线为，则的最小值为．故选：C．3.【2020苏州大学附属中学开学考试】若直线与平行，则与间的距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题：直线与平行，则，即，解得或，当时，直线与重合；当时，直线与平行，两直线之间的距离为.故选：B题组一（真题在线）1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点到直线距离的最大值为A．1B．C．D．22.【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为
A．B．C．D．3.【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为A．4B．5C．6D．7题组二1.【2020湖南开福·周南中学二模（理）】已知直线：，：，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.【2019高二期中】已知点在直线上，若，则直线的斜率为（ ）A．2B．﹣2C．D．3.【2019湖北襄阳·高二期中】若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（）A．1B．C．2D．4.【2020湖北武汉高三月考】已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为（）A．B．C．4D．55.【2020江苏江阴期中】若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（）A．B．C．D．6.【2019高三月考】设三条不同的直线：
，若它们交于同一点，则的值为_____________.7.【2020河北石家庄新世纪外国语学校高一期中】己知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________8.【2020全国高二课时练习】已知m，n，a，，且满足，，则的最小值为________.9.【2020全国高二课时练习】已知，，.（1）求点的坐标，满足，；（2）若点在轴上，且，求直线的倾斜角.10.【2020福建高二考试】已知直线经过点．(1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程；(2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．题组一1.B【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B．2.B【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为.
由题意可得，可得，解得或，所以圆心的坐标为或，圆心到直线距离均为；圆心到直线的距离均为圆心到直线的距离均为；所以，圆心到直线的距离为.故选：B．3.A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A．题组二1.A【解析】若，则，解得或，即或，所以“”是“或”的充分不必要条件.故选：A.2.A【解析】∵点A（2，3）在直线11：2x+ay﹣1＝0上，∴2×2+3a﹣1＝0，
解得a＝﹣1，∴直线l1：2x﹣y﹣1＝0，∵l2∥l1，∴直线l2的斜率k＝2．故选：A．3.B【解析】直线与直线平行，则，解得，当时，直线与直线重合，故舍去．当时，直线与直线平行，故两平行线间的距离．故选．4.B【解析】根据题意画出图形，如图所示：设点关于直线的对称点，连接，则即为的最小值，且.故选：.5.AB【解析】由题意，，，所以，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或，所以或.故选：AB6.【解析】设，三条直线相交于点，则有（※）消去得，即，把代入得，当时，解得，不合题意，舍去；所以，解得，故答案为：.7.【解析】由解得又∵直线和直线的交点在第一象限，∴解得．故答案为.
8.1【解析】设点，，直线，直线，由题意知点在直线上，点在直线上，所以，显然，所以的最小值就是两平行线之间的距离，即.故答案为：1.9.见解析【解析】（1）设，由已知得：，又，可得：，即：①由已知得：，又，可得：，即：②联立①②求解得：，，即；（2）设，∵，∴，又∵，，∴，即，∴，又∵，
∴轴，故直线的倾斜角为.10.【答案】见解析【解析】(1)①直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为．②当直线斜率存在时，设直线方程为，由原点到直线的距离为2得，解得，故直线的方程为，即，综上，所求直线方程为或．(2)设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），、的坐标分别设为、，因为被点平分，所以，，于是，由于在上，在上，即，解得，，即的坐标是，故直线的方程是，即．
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