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更上一层楼基础・巩固1.无论k为何值，直线(k+2)x+(l・k)y・4k・5=0都过一个定点，则定点坐标为()A.(l,3)B.(-l,3)C.(3,l)D.(3,-l)思路解析:直线方程展开按是否含参数k合并同类项，得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,由直线系方程,[x・y・4=0,fx=3,知此直线过两直线的交点，即为7解得彳[2x+y-5=0.[y=-1.交点为(3,-1).答案:D2.已知直线mx+4y-2=0与2x・5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p),则m・n+p为()A.24B.20C.OD.-4m2思路解析:由两直线互相垂直得-一•-=-l.Am=10.由垂足(1,p)分别在两直线上，得45[m+4p-2=0,t[p=-2，得A(3,[2x・y・2=0,x=3,由彳得B(3,-6).[x+y+3=0,由于羊土1=_iho,2・・・P不为线段AB的屮点.若直线斜率存在，设为k,贝!J方程为y=k(x-3).).y=g3)，得3^-2_4£
2x-y-2=0,k_2、k_2
由[y=k(x・3)g乂[x+y+3=0,k+1k+1•・・P(3,0)为线段AB的中点，3k_23k—3_.k-2+k+\~.f2k-16=0,…4k6kn*|k2-8k=0..k,_2£+1k=&•:所求直线方程为y=8(x-3),B|J8x-y-24=0.思路解析二：设出A(xPyj,由P(3,0)为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求Hix】、力的值，再由两点式求直线的方程.解:设A点坐标为(xi，yj,则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-xp-yi).・・•点A、B分别在己知两直线上，112X|-Y)-2=0,(6・xJ+(・y])+30.=—解得[Ji16,.A呼舟,•，点A、P都在直线AB上,・・・直线AB的方程为—二2=韦二丄，即8x-y-24=0.匹-0耳-333思路解析三：由于P(3,0)为线段AB的屮点，可对称地将A、B坐标设为(3+a,b)、(3-a,-b),代入已知方程.解:・・・P(3,0)为线段AB的中点，.••可设A(3+a,b),B(3・a,・b).23516T•・•点A、B分别在己知直线上，2(3+a)-b-2=0,3+a+(-b)+3=0.・・・直线AB的斜率即直线AP的斜率值为b_°=-=8.3+q-3a•I所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.综合・应用9.求经过直线h：2x-3y+10=0与b：3x+4y・2=0的交点，且与直线b：3x・2y+4=O垂直的直线1的方程.思路解析:本题主要是考查两直线的交点和直线方程的求法•求过两条已知直线交点的直线
由[y=k(x・3)g乂[x+y+3=0,k+1k+1•・・P(3,0)为线段AB的中点，3k_23k—3_.k-2+k+\~.f2k-16=0,…4k6kn*|k2-8k=0..k,_2£+1k=&•:所求直线方程为y=8(x-3),B|J8x-y-24=0.思路解析二：设出A(xPyj,由P(3,0)为AB的中点，易求出B的坐标，而点B在另一直线上，从而求Hix】、力的值，再由两点式求直线的方程.解:设A点坐标为(xi，yj,则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-xp-yi).・・•点A、B分别在己知两直线上，112X|-Y)-2=0,(6・xJ+(・y])+30.=—解得[Ji16,.A呼舟,•，点A、P都在直线AB上,・・・直线AB的方程为—二2=韦二丄，即8x-y-24=0.匹-0耳-333思路解析三：由于P(3,0)为线段AB的屮点，可对称地将A、B坐标设为(3+a,b)、(3-a,-b),代入已知方程.解:・・・P(3,0)为线段AB的中点，.••可设A(3+a,b),B(3・a,・b).23516T•・•点A、B分别在己知直线上，2(3+a)-b-2=0,3+a+(-b)+3=0.・・・直线AB的斜率即直线AP的斜率值为b_°=-=8.3+q-3a•I所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.综合・应用9.求经过直线h：2x-3y+10=0与b：3x+4y・2=0的交点，且与直线b：3x・2y+4=O垂直的直线1的方程.思路解析:本题主要是考查两直线的交点和直线方程的求法•求过两条已知直线交点的直线
方程吋，可先求两条已知直线的交点，然后再根据其他条件设直线方程.除此之外，当所求直线过两条已知直线的交点时，可利用经过两直线交点的直线系方程.解:(方法一)由『X・3y+10=0,得h与12的交点坐标为(22),13x+4y-2=0,2又直线1与13：3x・2y+4=0垂直，所以直线1的斜率为-一.由直线的点斜式方程可得直线12的方程为y-2=(x+2),即2x+3y・2=0.(方法二)设直线方程为2x・3y+10+m(3x+4y-2)=0,即(3m+2)x+(4m・3)y+10-2m=0.•「I丄13,・•・3(3m+2)+(・2)(4m・3)=0.解得m=-12.・••所求直线方程为2x-3y+10-12(3x+4y-2)=0,即2x+3y・2=0.10.在Z\ABC中，AD、BE、CF分别为三边上的高，求证：AD、BE、CF三线共点.思路解析:考查利用能标法证明几何问题以及求•直线的方程和两直线的交点.利用朋标法解的关键是选择适当的直角坐标系•如果坐标系选择得当，解答就比较简单;如果坐标系选择不得当，解答就比饺麻烦甚至解不出来.因此，在建立直角坐标系时,常以互相垂直的直线为坐标轴，而以特殊的点为坐标原点(如线段的中点).F(0,0),则直线CF的方程为x=0.由直线的截距式方程可得直线AC的方程为兰+丄=1,ac即cx+ay-ac=0.同理，可得直线BC的方程为cx+by・bc=0.由于AD为BC边上的高，则直线AD的斜率为？,C由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y=-(x-a).c同理,得直线BE的方程为y=^(x・b).C设直线CF和直线AD交于点O,y=-(x-a),ah得O点的坐标为(0,)•x=0,又O点处标也满足直线BE的方程，所以直线BE也过点O.所以AD、BE、CF三线共点.
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