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《2.1.4 两条直线的交点》同步练习知识点一 直线的交点1.直线3x+5y-1=0与直线4x+3y-5=0的交点是__________.解析:联立两直线方程解得交点坐标为(2,-1).答案:(2,-1)2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则k的值为__________.解析:易求直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点为(-1,-2),代入x+ky=0得k=-.答案:-3.已知直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,求直线l倾斜角的取值范围.解析:由⇒于是有∴k>,故直线l的倾斜角的取值范围是(30°,90°).知识点二 直线公共点的判定与求解4.当a取不同实数时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一个定点,这个定点是__________.解析:将直线方程化为a(x+2)+(-x-y+1)=0,
当即时等式成立,即直线过定点(-2,3).答案:(-2,3)5.若直线x+my+1=0和直线(m-2)x+3y+m=0相交,则m的取值范围是__________.解析:两条直线相交,即两直线不重合也不平行,∴m(m-2)-1×3≠0,∴m2-2m-3≠0,∴m≠-1且m≠3.答案:(-∞,-1)∪(-1,3)∪(3,+∞)6.已知直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,求a的值.解析:由3a-a2(a-2)=0得:a(a+1)(a-3)=0.∴a=0或a=-1或a=3,其中当a=3时,两直线重合,当a=0或-1时,两直线平行,没有公共点.故a=0或-1.知识点三 利用交点求字母参数的范围7.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是__________.解析:两直线联立,求出交点坐标为,,又交点在第一象限,得>0且>0,解得-<k<.答案:8.当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形.解析:当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时,它们不能围成三角形.由解得将x=1,y=-1代入l1的方程中,得m=2.
即m=2时,三条直线共点;由-6-3m=0,即m=-2时,l1∥l2;由3-6m=0,即m=时,l1∥l3.∴当m=±2或m=时,l1、l2、l3不能围成三角形.综合点一 求过直线交点的直线方程9.求过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且过点(4,0)的直线方程为__________.解析:设所求直线方程为2x-y+4+λ(x-y+5)=0(λ∈R),则2×4-0+4+λ(4-0+5)=0,即λ=-.∴所求直线方程为2x-y+4-(x-y+5)=0,即2x+y-8=0.答案:2x+y-8=010.求经过两直线7x+7y-24=0和x-y=0的交点,并且与直线7x-14y-3=0平行的直线方程.解析:方法一 由方程组解得两直线的交点为A.设与直线7x-14y-3=0平行的直线方程为7x-14y+C=0,将点A的坐标代入,求得C=12,故所求的直线方程为7x-14y+12=0.方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为7x+7y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(7-λ)y-24=0.又所求直线与直线7x-14y-3=0平行,∴=≠,解得λ=-21.故所求的直线方程为7x-14y+12=0.
综合点二 对称的应用11.直线x-2y+1=0关于直线y=x对称的直线方程是__________.解析:设M(x,y)为所求直线上的任意一点,则M(x,y)关于直线y=x的对称点M′(y,x)在已知直线x-2y+1=0上,故y-2x+1=0.即:2x-y-1=0.答案:2x-y-1=012.在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.解析:(1)如右下图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标为(a,b),则kBB′·kl=-1,即3·=-1,∴a+3b-12=0.①又由于BB′的中点坐标为,且在直线l上,∴3×--1=0,即3a-b-6=0. ②解①②得a=3,b=3.∴B′(3,3).于是直线AB′的方程为:=,即2x+y-9=0.
∵|PA-PB|=|PA-PB′|≤AB′,∴当且仅当A,B′,P三点共线时|PA-PB|最大.由l与AB′的方程组解得x=2,y=5,即l与AB′的交点坐标为(2,5),所以P点坐标为(2,5).(2)如右图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为.∴AC′所在直线的方程为:19x+17y-93=0,∵PA+PC=PA+PC′≥AC′,∴当且仅当P,A,C′三点共线时,PA+PC最小.∵AC′和l交点坐标为,故P点坐标为.
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